Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(|A\times B|=10\), इसलिए ठीक (5) युग्म चुनने के तरीके \(\binom{10}{5}=252\) हैं। ठीक संख्या के लिए संयोजन लगाएँ। / \(|A\times B|=10\), so choosing exactly (5) pairs gives \(\binom{10}{5}=252\). Use combinations for exact-size subsets.
शर्त से ((8,3)) और ((5,4)) मिलते हैं, इसलिए (|R|=2)। समीकरण में (b) के संभावित मान व्यवस्थित रूप से जाँचें। / The condition gives ((8,3)) and ((5,4)), so (|R|=2). Check possible (b)-values systematically.
(a=0,1,2,3) के लिए (b) के क्रमशः (5,5,2,0) मान मिलते हैं, कुल (12)। हर (a) पर सीमा अलग जाँचें। / For (a=0,1,2,3), the counts of (b) are (5,5,2,0), totaling (12). Check the boundary separately for each (a).
(a=1) पर (4) और (a=2) पर (1) मान मिलते हैं, बाकी पर कोई नहीं। कुल (5) युग्म हैं। / For (a=1), there are (4) values, and for (a=2), there is (1); none for the rest. Total is (5).
क्योंकि \((2,5)\in R\), इसलिए \((5,2)\in R^{-1}\)। प्रतिलोम संबंध में क्रम उलटता है। / Since \((2,5)\in R\), we have \((5,2)\in R^{-1}\). In an inverse relation, the order reverses.
सम (a) के लिए (a=2) पर (4) और (a=4) पर (2) मान मिलते हैं। कुल (6) युग्म हैं। / For even (a), (a=2) gives (4) values and (a=4) gives (2). Total is (6) pairs.
विषम योग वाले युग्म (8) हैं, इसलिए (R) के उपसमुच्चय \(2^8=256\) हैं। पहले संबंध की कार्डिनलिटी निकालें। / There are (8) pairs with odd sum, so subsets of (R) are \(2^8=256\). First find the cardinality of the relation.
प्रत्येक (a) के लिए (b) का ठीक एक अवशेष (B) में मिलता है। इसलिए कुल (5) युग्म हैं। / For each (a), exactly one residue for (b) appears in (B). Therefore there are (5) pairs.
हर (x) के लिए (R) उसे (6-x) से और फिर वापस (x) से जोड़ता है। इसलिए \(R\circ R={(x,x):x\in A}\) में (5) युग्म हैं। / For each (x), (R) maps it to (6-x) and then back to (x). Thus \(R\circ R={(x,x):x\in A}\) has (5) pairs.
\(R^{-1}\) में (a>b) वाली शर्त होगी, जो (a<b) के साथ एक साथ संभव नहीं है। इसलिए प्रतिच्छेद रिक्त है। / \(R^{-1}\) has the condition (a>b), which cannot hold together with (a<b). Therefore the intersection is empty.
(b-a=0) से (4) और (b-a=2) से (3) युग्म मिलते हैं। कुल (7) युग्म हैं। / The condition (b-a=0) gives (4) pairs and (b-a=2) gives (3). The total is (7) pairs.
शर्त \(a+b\le5\) उलटने पर भी वही रहती है, इसलिए (R) के सभी (10) युग्म योग्य हैं। सममित शर्त को पहचानें। / The condition \(a+b\le5\) remains the same after reversal, so all (10) pairs of (R) qualify. Recognize symmetric conditions.
यदि \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), \(B=\{1,2,3,4,5,6\}\) और \(R=\{(a,b):a+b=7\}\) है, तो (R) के कितने उपसमुच्चय कम से कम एक युग्म रखते हैं जिसका पहला अवयव (1) है?
(R) में (6) युग्म हैं और पहला अवयव (1) वाला केवल ((1,6)) है। उसे रखना होगा, इसलिए बाकी (5) युग्म स्वतंत्र हैं और संख्या \(2^5=32\) है। / There are (6) pairs in (R), and only ((1,6)) has first component (1). It must be included, so the other (5) pairs are free, giving \(2^5=32\).
