Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
कुल \(^{10}P_4\) में से विशेष छात्र के सचिव बनने वाली \(^{9}P_3\) व्यवस्थाएं घटाएं। उत्तर (5040-504=4536) है। / Subtract the cases where the particular student is secretary, \(^{9}P_3\), from total \(^{10}P_4\). The answer is (5040-504=4536).
पहला अंक (3) निश्चित है और अंतिम स्थान के लिए (4) सम विकल्प हैं। बीच के (3) स्थान \(7\cdot6\cdot5\) तरीकों से भरेंगे, कुल (840) है। / The first digit is fixed as (3), and the last place has (4) even choices. The middle (3) places are filled in \(7\cdot6\cdot5\) ways, giving (840).
दो विशेष पुस्तकों में से एक \(\binom{2}{1}\) तरीकों से और बाकी (4) पुस्तकें (6) में से चुनें। फिर (5!) से सजाएं, कुल \(2\cdot\binom{6}{4}\cdot5!=3600\) है। / Choose exactly one of the two particular books in \(\binom{2}{1}\) ways and the other (4) books from (6). Then arrange (5!) ways, giving \(2\cdot\binom{6}{4}\cdot5!=3600\).
(12) अक्षरों में (E) चार, (N) तीन और (D) दो बार हैं। इसलिए \(\frac{12!}{4!3!2!}=1663200\) है। / There are (12) letters with (E) four times, (N) three times and (D) twice. Hence \(\frac{12!}{4!3!2!}=1663200\).
दो कुर्सियां खाली निश्चित हैं, इसलिए (6) व्यक्तियों को बाकी (6) कुर्सियों पर (6!) तरीकों से बैठाएं। उत्तर (720) है। / The two empty chairs are fixed, so seat (6) persons on the remaining (6) chairs in (6!) ways. The answer is (720).
तीन वस्तुओं को fixed-order ब्लॉक मानें, तब (7) इकाइयां बनती हैं। इसलिए (7!=5040) व्यवस्थाएं होंगी। / Treat the three objects as a fixed-order block, giving (7) units. Hence there are (7!=5040) arrangements.
हजार स्थान पर (1,2,3) के (3) विकल्प हैं और बाकी (3) स्थान \(8\cdot7\cdot6\) तरीकों से भरेंगे। कुल (1008) है। / The thousands place has (3) choices (1,2,3), and the remaining (3) places have \(8\cdot7\cdot6\) ways. The total is (1008).
हर जोड़े को एक ब्लॉक मानें, तो (4) ब्लॉकों की गोल व्यवस्था ((4-1)!) है और अंदर ((2!)4) तरीके हैं। कुल (96) है। / Treat each couple as one block, so (4) blocks have ((4-1)!) circular arrangements and ((2!)4) internal ways. The total is (96).
विशेष छात्र के लिए अंतिम (3) positions हैं और बाकी (3) positions (7) छात्रों से \(^{7}P_3\) तरीकों से भरते हैं। कुल \(3\cdot210=630\) है। / The particular student has (3) non-first positions, and the other (3) positions are filled from (7) students in \(^{7}P_3\) ways. The total is \(3\cdot210=630\).
(1) और (8) को ब्लॉक मानें और बाकी (3) अंक (6) में से चुनें। कुल \(\binom{6}{3}\cdot4!\cdot2!=960\) है। / Treat (1) and (8) as a block and choose the other (3) digits from (6). The total is \(\binom{6}{3}\cdot4!\cdot2!=960\).
