Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
बहुपद के शून्यक वे x-मान होते हैं जिन पर y का मान शून्य होता है। यहाँ दिए गए बिंदुओं में केवल (-4,0) और (2,0) पर y = 0 है, अतः वास्तविक शून्यक -4 और 2 हैं। विकल्प B भ्रमित करने वाला है क्योंकि (0,3) में x=0 है पर y=3 (शून्य नहीं) और (5,-1) में y=-1 है; इसलिए वे शून्यक नहीं हैं। परीक्षात्मक टिप: केवल उन बिंदुओं को चुनें जो x-अक्ष पर पड़े हों यानी जहाँ \\(y=0\\)। / Zeros of a polynomial are the x-values where the function value is zero. Among the given points only (-4,0) and (2,0) have y = 0, so the real zeros are -4 and 2. Option B is a common trap: (0,3) has x=0 but y=3 (not zero), and (5,-1) has y=-1, so neither gives a zero. Exam tip: pick points lying on the x-axis, i.e. where \(y=0\).
औसत \(\frac{-5+3}{2}=-1\) है। टिप: दो शून्यकों का औसत परवलय के मध्य से जुड़ता है। / The average is \(\frac{-5+3}{2}=-1\). Tip: the average of two zeroes is linked to the middle of a parabola.
कारक शून्य करने पर (x=-2) और (x=7) मिलते हैं। टिप: शून्यक को ((x,0)) बिंदु में बदलें। / Setting the factors to zero gives (x=-2) and (x=7). Tip: convert each zero into the point ((x,0)).
ग्राफ़ का किसी बिंदु पर कटना यानी वह बिंदु \\((p(x)=0)\\) का वास्तविक शून्यक है और उस शून्यक की घनत्व (multiplicity) सम संख्या नहीं (odd) होगी। स्पर्श होने का मतलब है कि शून्यक की घनत्व सम संख्या (even) है। यहाँ कटना x=1 और स्पर्श x=6 दो अलग x‑मान दे रहे हैं, इसलिए कुल अलग वास्तविक शून्यक 2 हैं। निकटतम भ्रामक विकल्प 'तीन' इसलिए गलत है क्योंकि स्पर्श की सम घनत्व से अतिरिक्त भिन्न x‑मान नहीं बनते—वे वही x‑मान दोहराते हैं। परीक्षा टिप: अलग वास्तविक शून्यक गिनते समय केवल अलग x‑मान गिनें; multiplicity से फर्क नहीं पड़ता। / A crossing at a point means the polynomial has a zero there (\\((p(x)=0)\\)) with odd multiplicity; a touch means a zero with even multiplicity. Crossing at x=1 and touching at x=6 are two distinct x‑values, so there are 2 distinct real zeros. The common mistake is to count multiplicities (which could give a larger total count); multiplicity does not change the number of distinct zeros. Exam tip: count distinct x‑values where \\((p(x)=0)\\) rather than multiplicities.
शून्यक (-9), (-1), (4) हैं और सबसे बड़ा (4) है। टिप: संख्या रेखा पर दाईं ओर वाला मान बड़ा होता है। / The zeroes are (-9), (-1), (4) and the greatest is (4). Tip: the value to the right on the number line is greater.
x-अक्ष पर कटान बिंदु वे बिंदु होते हैं जहाँ \(p(x)=0\) अर्थात् बिंदु का स्वरूप \((a,0)\) होता है जब \(p(a)=0\)। यहाँ \(p(-3)=0\) और \(p(8)=0\) हैं, अतः कटान बिंदु \((-3,0)\) और \((8,0)\) हैं। विकल्प B में \((2,5)\) दिया है पर \(p(2)=5\) शून्य नहीं है, इसलिए वह x-अक्ष पर नहीं है। परीक्षा सलाह: हमेशा देखें कि दिया गया बिंदु का y-निर्देशांक शून्य है या नहीं (यानी क्या \(p(a)=0\))। / An x-axis intersection occurs at points \((a,0)\) where \(p(a)=0\). Since \(p(-3)=0\) and \(p(8)=0\), the x-intercepts are \((-3,0)\) and \((8,0)\). Option B lists \((2,5)\), but \(p(2)=5\) is not zero, so that point is not on the x-axis. Exam tip: to find x-intercepts from function values, check which input values give \(p(x)=0\).
A. \(x=5\) पर स्पर्श करेगा/It will touch at \(x=5\)
Explanation
Simple Explanation
क्यों सही है: \(x^2-10x+25=(x-5)^2\) होता है, इसलिए बहुपद का शून्यक \(x=5\) पर द्विमात्रक (repeated) है और परावर्तक x-अक्ष को सिर्फ एक बिंदु पर स्पर्श करेगा।
क्यों अन्य विकल्प गलत हैं: विकल्प C गलत है क्योंकि भेदक (discriminant) \(b^2-4ac=(-10)^2-4\cdot1\cdot25=100-100=0\) है, अतः दो अलग शून्यक नहीं होते। विकल्प B गलत है क्योंकि शून्यक \(+5\) है न कि \(-5\)। विकल्प D गलत है क्योंकि वास्तविक शून्यक मौजूद है इसलिए ग्राफ़ x-अक्ष से मिलता ही है।
परीक्षा टिप: क्वाड्रेटिक के लिए तुरंत भेदक \(b^2-4ac\) निकालें — यदि यह शून्य हो तो ग्राफ़ x-अक्ष को स्पर्श करेगा। / Why correct: \(x^2-10x+25=(x-5)^2\), so the polynomial has a repeated root at \(x=5\). The parabola therefore touches the x-axis at a single point \(x=5\).
Why others are wrong: Option C is wrong because the discriminant \(b^2-4ac=100-100=0\) — not positive — so there are not two distinct x-intercepts. Option B is wrong because the root is +5, not −5. Option D is wrong because a real root exists, so the graph does meet the x-axis.
Exam tip: Use the discriminant quickly — >0 two intercepts, =0 one (touch), <0 none.
C. कोई वास्तविक शून्यक नहीं है/It has no real zero
Explanation
Simple Explanation
यह ((x+3)2+1) है इसलिए कभी (0) नहीं होता। टिप: हमेशा धनात्मक रूप (x)-अक्ष कटान नहीं देता। / It is ((x+3)2+1), so it is never (0). Tip: an always positive form gives no (x)-axis intersection.
A. क्योंकि यह y-अक्ष पर बिंदु है और यहाँ \(y\ne0\); शून्यक के लिए बिंदु x-अक्ष पर \((a,0)\) होना चाहिए/Because this is a y-axis point and here \(y\ne0\); for a zero the point must lie on the x-axis \((a,0)\).
Explanation
Simple Explanation
बिंदु \((0,-6)\) पर फलन का मान \(f(0)=-6\) है, न कि 0। किसी बहुपद का शून्यक वह x-मान \(a\) है जिसके लिए \(f(a)=0\), और वह बिंदु रूप में \((a,0)\) x-अक्ष पर होना चाहिए। विकल्प C भ्रमित करने वाला है — सिर्फ इसलिए कि x का मान 0 है नहीं मतलब है कि वह मूल है; उसे तभी मूल कहा जाएगा जब \(f(0)=0\)। परीक्षा टिप: किसी दिए बिंदु को शून्यक मानने से पहले उसकी y-समन्वय देखें — y = 0 होना अनिवार्य है। / At the point \((0,-6)\) the function value is \(f(0)=-6\), not 0. A zero (root) of a polynomial is an x-value \(a\) with \(f(a)=0\); geometrically the point must be \((a,0)\) on the x-axis. Distractor C is misleading: x=0 is not automatically a root unless \(f(0)=0\). Exam tip: always check the y-coordinate — only points with y = 0 correspond to zeros.
x-अक्ष पर दो बिंदुओं x1 और x2 के बीच की दूरी उनके x-निर्देशांकों के अंतर का परिमाण होती है। यहाँ दूरी = |9 - (-4)| = |9 + 4| = 13। विकल्प B (9) गलत है — यह केवल एक शून्यक का मान है, न कि दोनों के बीच की दूरी। विकल्प A (5) गलत होगा जब कोई गलती से 9 - 4 कर ले। विकल्प D (-13) गलत है क्योंकि दूरी हमेशा धनात्मक होती है। परीक्षा टिप: दूरी के लिये हमेशा परिमाण (absolute value) लें, यानी |x2 - x1|। / Distance on the x-axis between two points x1 and x2 is the absolute difference |x2 - x1|. Here distance = |9 - (-4)| = |9 + 4| = 13. Option B (9) is wrong — it is just one zero’s coordinate, not the separation. Option A (5) is a common mistake from doing 9 - 4 instead of 9 - (-4). Option D (-13) is invalid because distance cannot be negative. Exam tip: always use absolute value: distance = |x2 - x1|.
