In \(a^2=5b^2\), putting (a=5k) gives \(25k^2=5b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Simplifying gives \(b^2=5k^2\), so \(5\mid b^2\) and \(5\mid b\).
Step 3
Exam Tip
This is the final step against coprimality. चरण 1: \(a^2=5b^2\) में (a=5k) रखने पर \(25k^2=5b^2\) मिलता है। चरण 2: सरल करने पर \(b^2=5k^2\), इसलिए \(5\mid b^2\) और \(5\mid b\)। चरण 3: यही सहअभाज्यता के विरुद्ध अंतिम कदम है।
If \(5\mid a^2\), then \(5\mid a\), because a prime factor in a square must occur in the base.
Step 3
Exam Tip
This rule is the backbone of the proof for \(\sqrt{5}\). चरण 1: (5) अभाज्य संख्या है। चरण 2: यदि \(5\mid a^2\), तो \(5\mid a\) होगा, क्योंकि वर्ग में आने वाला अभाज्य गुणनखंड आधार में भी होता है। चरण 3: यही नियम \(\sqrt{5}\) के प्रमाण की रीढ़ है।
A. पूर्ण संख्या का वर्गमूल हमेशा परिमेय नहीं होता/The square root of a whole number is not always rational
Step 1
Concept
(5) is a whole number, but its square root need not be rational unless it is a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is not the square of an integer, \(\sqrt{5}\) is not rational.
Step 3
Exam Tip
In exams, distinguish a number from its square root. चरण 1: (5) पूर्ण संख्या है, लेकिन उसका वर्गमूल पूर्ण वर्ग न होने पर परिमेय नहीं होता। चरण 2: (5) किसी पूर्ण संख्या का वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{5}\) परिमेय नहीं माना जा सकता। चरण 3: परीक्षा में संख्या और उसके वर्गमूल को अलग-अलग पहचानें।
A. \(5\mid a^2\) इसलिए \(5\mid a\)/\(5\mid a^2\), so \(5\mid a\)
Step 1
Concept
The equation \(a^2=5b^2\) shows that \(a^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, (a) must also be divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
In the proof, write the conclusion about (a) first and then move to (b). चरण 1: समीकरण \(a^2=5b^2\) बताता है कि \(a^2\) (5) से विभाज्य है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (a) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: प्रमाण में जल्दबाजी न करें, पहले (a) पर निष्कर्ष लिखें फिर (b) पर।
