परिभाषा के अनुसार, \(0! = 1\) और \(1! = 1\)। अतः \(p+q = 0!+1! = 1+1 = 2\)। विकल्प 1 केवल किसी एक फैक्टोरियल का मान है, दोनों का योग नहीं। परीक्षा टिप: \(0!\) का मान हमेशा 1 याद रखें। / By definition, \(0! = 1\) and \(1! = 1\). Therefore, \(p+q = 0!+1! = 1+1 = 2\). Option 1 is the value of either factorial individually, not their sum. Exam tip: Always remember that \(0! = 1\).
\(\frac{12!}{10!}=12\times11=132\)। छोटे क्रमगुणित को काटने के बाद बचे गुणक गुणा करें। / \(\frac{12!}{10!}=12\times11=132\). After cancelling the smaller factorial, multiply the remaining factors.
\(9!=9\times8!\), इसलिए \(8!=\frac{9!}{9}\)। बड़े क्रमगुणित से छोटा क्रमगुणित भी निकाला जा सकता है। / \(9!=9\times8!\), so \(8!=\frac{9!}{9}\). A smaller factorial can also be found from a larger factorial.
\(4!\times2!-3!=24\times2-6=42\)। क्रमगुणित मानों को पहले संख्याओं में बदलें। / \(4!\times2!-3!=24\times2-6=42\). Convert factorial values into numbers first.
\(\frac{5!}{1!,4!}=\frac{5\times4!}{1\times4!}=5\)। (1!) का मान (1) होता है। / \(\frac{5!}{1!,4!}=\frac{5\times4!}{1\times4!}=5\). The value of (1!) is (1).
\(14!=14\times13!\), इसलिए दिया गया गुणनफल (14!) है। यह मूल क्रमगुणित पहचान है। / \(14!=14\times13!\), so the given product is (14!). This is a basic factorial identity.
\(6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720\), इसलिए सही विकल्प \(6!\) है। \(5! = 120\) होता है, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: \(5! = 120\) याद होने पर उसे 6 से गुणा करके \(6! = 720\) जल्दी ज्ञात किया जा सकता है। / \(6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720\), so \(6!\) is the correct option. \(5! = 120\), making it a close but incorrect distractor. Exam tip: if you remember \(5! = 120\), multiply it by 6 to find \(6! = 720\) quickly.
\(\frac{6!}{4!}=6\times5=30\), इसलिए अनुपात (30:1) है। अनुपात में समान क्रमगुणित काटें। / \(\frac{6!}{4!}=6\times5=30\), so the ratio is (30:1). Cancel the common factorial in a ratio.
(2!=2), (3!=6) और (4!=24), इसलिए गुणनफल (288) है। हर पद अलग निकालें। / (2!=2), (3!=6), and (4!=24), so the product is (288). Evaluate each term separately.
(\frac{(n+2)!}{(n+1)!}=n+2), इसलिए (1) जोड़ने पर (n+3) मिलता है। पहले भिन्न को सरल करें। / (\frac{(n+2)!}{(n+1)!}=n+2), so adding (1) gives (n+3). Simplify the fraction first.
क्रमगुणित में \(n!\) का अर्थ \(1\) से \(n\) तक सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल है। \(7!=7\times6\times5\times4\times3\times2\times1=5040\), इसलिए \(n=7\) है। निकटतम विकल्प \(8\) गलत है, क्योंकि \(8!=8\times5040=40320\) होता है। परीक्षा टिप: \(5!=120\), \(6!=720\), \(7!=5040\) जैसे छोटे क्रमगुणित मान याद रखें। / In factorial notation, \(n!\) is the product of all positive integers from \(1\) to \(n\). Since \(7!=7\times6\times5\times4\times3\times2\times1=5040\), \(n=7\). The closest distractor, \(8\), is incorrect because \(8!=8\times5040=40320\). Exam tip: remember common values such as \(5!=120\), \(6!=720\), and \(7!=5040\).
यहाँ \(1!=1\), \(4!=4\times3\times2\times1=24\) तथा \(0!=1\) होता है। अतः \(1!+4!+0!=1+24+1=26\), इसलिए सही विकल्प C है। विकल्प 25 लेने पर \(0!\) का मान छोड़ दिया जाता है, जबकि \(0!\) सदैव 1 होता है। परीक्षा टिप: \(0!=1\) और \(1!=1\) को विशेष मान के रूप में याद रखें। / Here, \(1!=1\), \(4!=4\times3\times2\times1=24\), and \(0!=1\). Therefore, \(1!+4!+0!=1+24+1=26\), so option C is correct. The value 25 results from omitting \(0!\), but \(0!\) is always 1. Exam tip: Remember the special values \(0!=1\) and \(1!=1\).
\(7!=7\times6!\), इसलिए अंश और हर समान हैं। समान अशून्य राशियों का भाग (1) होता है। / \(7!=7\times6!\), so numerator and denominator are the same. The quotient of equal non-zero quantities is (1).
\(13!=13\times12\times11!\) होता है। बड़े क्रमगुणित को छोटे क्रमगुणित तक लिखें। / \(13!=13\times12\times11!\). Write the larger factorial down to the smaller factorial.
परिभाषा के अनुसार, \(9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\)। इस गुणन में 9 संख्याएँ गुणकों के रूप में हैं, इसलिए सही उत्तर 9 है। \(8\) केवल \(8!\) में गुणकों की संख्या होती है। परीक्षा टिप: \(n!\) के विस्तृत रूप में \(n\) से 1 तक कुल \(n\) गुणक होते हैं। / By definition, \(9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\). There are 9 numbers being multiplied, so it has 9 factors in its factorial expansion. \(8\) would be the number of factors in \(8!\), not \(9!\). Exam tip: In the expanded form of \(n!\), there are \(n\) factors from \(n\) to 1.
पहले कोष्ठक हल करें: \((5-1)! = 4! = 4\times3\times2\times1 = 24\)। साथ ही, \(2! = 2\times1 = 2\)। अतः \((5-1)!+2! = 24+2=26\)। विकल्प 24 केवल \(4!\) का मान है; इसमें \(2!\) नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल लगाने से पहले कोष्ठक के भीतर का मान निकालें। / First evaluate the bracket: \((5-1)! = 4! = 4\times3\times2\times1 = 24\). Also, \(2! = 2\times1 = 2\). Therefore, \((5-1)!+2! = 24+2=26\). Option 24 is only the value of \(4!\); it misses the addition of \(2!\). Exam tip: simplify the expression inside brackets before applying factorial.
क्योंकि \(8!=8\times7!\), इसलिए \(8!-7!=8\times7!-7!=7!(8-1)=7\times7!\)। अब \(7!=5040\), अतः मान \(7\times5040=35280\) है। \(40320\) केवल \(8!\) का मान है, उसमें से \(7!\) घटाया नहीं गया है। परीक्षा टिप: लगातार फैक्टोरियल वाले व्यंजकों में छोटे फैक्टोरियल को उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में लें। / Since \(8!=8\times7!\), \(8!-7!=8\times7!-7!=7!(8-1)=7\times7!\). As \(7!=5040\), the value is \(7\times5040=35280\). \(40320\) is only the value of \(8!\); it does not account for subtracting \(7!\). Exam tip: For consecutive factorials, factor out the smaller factorial first.
\(\frac{6!+5!}{5!}=\frac{720+120}{120}=7\)। अंश का योग सही लिखें। / \(\frac{6!+5!}{5!}=\frac{720+120}{120}=7\). Write the sum in the numerator correctly.
\(7!=7\times6\times5\times4!\), इसलिए \(\frac{7!}{4!}=7\times6\times5\)। शेष गुणकों के अनुसार हर चुनें। / \(7!=7\times6\times5\times4!\), so \(\frac{7!}{4!}=7\times6\times5\). Choose the denominator according to the remaining factors.
(3!=6) और (5!=120), इसलिए गुणनफल (720) है। गुणा से पहले दोनों क्रमगुणित निकालें। / (3!=6) and (5!=120), so the product is (720). Evaluate both factorials before multiplying.
((n+5)!=(n+5)(n+4)!), इसलिए सरल रूप (n+5) है। पास वाला क्रमगुणित काट दें। / ((n+5)!=(n+5)(n+4)!), so the simplified form is (n+5). Cancel the adjacent factorial.
क्रमगुणित के अनुसार, \(4!=24\), \(5!=120\) और \(3!=6\) हैं। अतः \(4!+5!-3!=24+120-6=138\)। इसलिए सही विकल्प 138 है। 144 प्राप्त करने के लिए घटाव में गलती हो सकती है। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक क्रमगुणित का मान अलग से निकालकर फिर जोड़-घटाव करें। / Using factorial values, \(4!=24\), \(5!=120\), and \(3!=6\). Therefore, \(4!+5!-3!=24+120-6=138\), so 138 is the correct option. A value such as 144 can result from an error in subtraction. Exam tip: evaluate each factorial separately before performing addition or subtraction.
यहाँ 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 तथा 3! = 3 × 2 × 1 = 6 है। अतः xy = 24 × 6 = 144, इसलिए सही विकल्प C है। 132 केवल 24 और 6 के गुणन का सही परिणाम नहीं है। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक फैक्टोरियल का मान निकालें, फिर दिए गए व्यंजक में मान रखकर गणना करें। / Here, 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 and 3! = 3 × 2 × 1 = 6. Therefore, xy = 24 × 6 = 144, so option C is correct. 132 is not the correct product of 24 and 6. Exam tip: Evaluate each factorial first, then substitute the values into the given expression.
\(\frac{8!}{3!,5!}=\frac{8\times7\times6}{6}=56\)। हर फैक्टोरियल को सावधानी से काटें। / \(\frac{8!}{3!,5!}=\frac{8\times7\times6}{6}=56\). Cancel each factorial carefully.
यहाँ \(7!=7\times6\times5\times4\times3\times2\times1=5040\) तथा परिभाषा के अनुसार \(0!=1\) होता है। अतः \(7!+0!=5040+1=5041\)। विकल्प A केवल \(7!\) का मान है; उसमें \(0!\) का 1 शामिल नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: \(0!=1\) को हमेशा याद रखें। / Here, \(7!=7\times6\times5\times4\times3\times2\times1=5040\), and by definition \(0!=1\). Therefore, \(7!+0!=5040+1=5041\). Option A is only the value of \(7!\); it does not include the 1 from \(0!\). Exam tip: Always remember that \(0!=1\).
\(11!=11\times10\times9!\), इसलिए दिया गया रूप (11!) है। क्रमगुणित विस्तार पहचानना मुख्य बात है। / \(11!=11\times10\times9!\), so the given form is (11!). Recognizing factorial expansion is the key point.
