Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. यदि \((a,b) \in R\) और \((b,c) \in R\), तो \((a,c) \in R\)
Step 1
Concept
A transitive relation is checked using two connected ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
If one pair goes from (a) to (b) and the next goes from (b) to (c), then the pair from (a) to (c) must also be present.
Step 3
Exam Tip
In exams, check transitivity only when the middle element is common. चरण 1: संक्रामी संबंध में दो जुड़े हुए क्रमित युग्मों को देखा जाता है। चरण 2: यदि पहला युग्म (a) से (b) तक और दूसरा (b) से (c) तक है, तो (a) से (c) तक का युग्म भी होना चाहिए। चरण 3: परीक्षा में बीच वाले तत्व के समान होने पर ही संक्रामी जाँच करें।
They require ((1,3)), and it is already present in the relation.
Step 3
Exam Tip
For transitivity checks, find the pair that is forced and then look for it in the list. चरण 1: यहाँ ((1,2)) और ((2,3)) जुड़े हुए युग्म हैं। चरण 2: इनके कारण ((1,3)) होना चाहिए, और वह संबंध में मौजूद है। चरण 3: संक्रामी जाँच में जरूरी बने युग्म को सूची में ढूँढना सबसे आसान तरीका है।
Since ((1,2)) and ((2,3)) are in the relation, transitivity requires ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
The pair ((1,3)) is not present.
Step 3
Exam Tip
One missing required pair is enough to show that a relation is not transitive. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) संबंध में हैं, इसलिए संक्रामी होने के लिए ((1,3)) चाहिए। चरण 2: दिए गए संबंध में ((1,3)) नहीं है। चरण 3: एक ही कमी संबंध को संक्रामी न मानने के लिए पर्याप्त होती है।
If \(a\le b\) and \(b\le c\), then \(a\le c\) on the number line.
Step 2
Why this answer is correct
So ((a,b)) and ((b,c)) imply ((a,c)).
Step 3
Exam Tip
Order relations such as \(\le\) are usually transitive. चरण 1: यदि \(a\le b\) और \(b\le c\), तो संख्या रेखा पर \(a\le c\) होगा। चरण 2: इसलिए ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) मिल जाता है। चरण 3: \(\le\) जैसे क्रम संबंध प्रायः संक्रामी होते हैं।
A chain from smaller to larger is a simple way to understand transitivity. चरण 1: यदि (a<b) और (b<c), तो (a<c) अवश्य होगा। चरण 2: इसलिए ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) संबंध में आता है। चरण 3: छोटे से बड़े की लगातार श्रृंखला संक्रामी संबंध को समझने का सरल उदाहरण है।
This relation contains only diagonal pairs of the form ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
If ((a,a)) and ((a,a)) are used, the required pair is again ((a,a)), which is present.
Step 3
Exam Tip
A relation containing only diagonal pairs is transitive. चरण 1: इस संबंध में केवल ((a,a)) जैसे विकर्ण युग्म हैं। चरण 2: यदि ((a,a)) और ((a,a)) लिए जाएँ, तो जरूरी युग्म फिर ((a,a)) ही है, जो मौजूद है। चरण 3: केवल विकर्ण युग्मों वाला संबंध संक्रामी होता है।
The transitive condition is checked only when both ((a,b)) and ((b,c)) are present.
Step 2
Why this answer is correct
The empty relation has no pair, so no example violates the condition.
Step 3
Exam Tip
Remember that the empty relation is transitive by vacuous truth. चरण 1: संक्रामी शर्त तभी जाँची जाती है जब ((a,b)) और ((b,c)) दोनों संबंध में हों। चरण 2: रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं है, इसलिए शर्त तोड़ने वाला कोई उदाहरण नहीं मिलता। चरण 3: रिक्त संबंध को संक्रामी मानना एक महत्वपूर्ण मूल बात है।
A. क्योंकि हर जरूरी युग्म पहले से मौजूद होता है/Because every required pair is already present
Step 1
Concept
\(A\times A\) contains all possible ordered pairs from (A).
Step 2
Why this answer is correct
If ((a,b)) and ((b,c)) are present, then ((a,c)) is also surely present.
Step 3
Exam Tip
A relation with all possible pairs automatically satisfies transitivity. चरण 1: \(A\times A\) में (A) के सभी संभव क्रमित युग्म होते हैं। चरण 2: यदि ((a,b)) और ((b,c)) इसमें हैं, तो ((a,c)) भी निश्चित रूप से इसमें होगा। चरण 3: सभी युग्मों वाले संबंध में संक्रामी शर्त अपने आप पूरी हो जाती है।
They require ((1,4)), and it is present in the relation.
Step 3
Exam Tip
In a short list, check all possible chains carefully. चरण 1: ((1,2)) और ((2,4)) एक श्रृंखला बनाते हैं। चरण 2: इनके कारण ((1,4)) चाहिए, और यह संबंध में मौजूद है। चरण 3: छोटी सूची में सभी संभावित श्रृंखलाएँ ध्यान से देखें।
((1,2)) and ((2,4)) are connected because the middle element (2) is common.
Step 2
Why this answer is correct
Transitivity requires ((1,4)).
Step 3
Exam Tip
The required pair uses the first element of the first pair and the second element of the second pair. चरण 1: ((1,2)) और ((2,4)) जुड़े हुए हैं क्योंकि बीच वाला तत्व (2) समान है। चरण 2: संक्रामी होने के लिए ((1,4)) होना चाहिए। चरण 3: जोड़ने वाले युग्म में पहले युग्म का पहला तत्व और दूसरे युग्म का दूसरा तत्व रखें।
