On a five-element set, (5) diagonal pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
To have exactly (12) pairs, choose (7) non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
There are (25-5=20) non-diagonal pairs, so the number is \(\binom{20}{7}\). चरण 1: पांच तत्वों पर (5) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: कुल (12) युग्म चाहिए, इसलिए (7) अविकर्ण युग्म चुनने होंगे। चरण 3: अविकर्ण युग्म (25-5=20) हैं, अतः संख्या \(\binom{20}{7}\) है।
The (6) diagonal pairs are compulsory, leaving (36-6=30) optional pairs.
Step 3
Exam Tip
Hence the number of reflexive relations is \(2^{30}\). चरण 1: (6) तत्वों पर \(A\times A\) में (36) युग्म हैं। चरण 2: (6) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं, इसलिए (36-6=30) युग्म स्वतंत्र हैं। चरण 3: कुल प्रतिवर्ती संबंध \(2^{30}\) होंगे।
A reflexive relation must contain the (n) diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
There are \(n^2-n\) non-diagonal pairs, and one fixed non-diagonal pair is also compulsory.
Step 3
Exam Tip
The remaining \(n^2-n-1\) pairs are optional, giving \(2^{n^2-n-1}\). चरण 1: प्रतिवर्ती संबंध में (n) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: अविकर्ण युग्मों की संख्या \(n^2-n\) है, जिनमें से एक विशेष युग्म भी अनिवार्य कर दिया गया। चरण 3: बाकी \(n^2-n-1\) युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{n^2-n-1}\) है।
On a four-element set, (12) non-diagonal pairs are optional.
Step 2
Why this answer is correct
For ((1,2)) and ((2,1)), they must not both be included, so there are (3) valid choices.
Step 3
Exam Tip
The remaining (10) non-diagonal pairs are optional, giving \(3\cdot2^{10}\). चरण 1: चार तत्वों पर (12) अविकर्ण युग्म स्वतंत्र हो सकते हैं। चरण 2: ((1,2)) और ((2,1)) के लिए दोनों साथ-साथ शामिल नहीं होने चाहिए, इसलिए इनके (3) मान्य चुनाव हैं। चरण 3: बाकी (10) अविकर्ण युग्म स्वतंत्र हैं, अतः संख्या \(3\cdot2^{10}\) है।
Exactly (2) non-diagonal pairs are needed and ((1,2)) is already fixed.
Step 3
Exam Tip
The second non-diagonal pair can be chosen from the remaining (11), so there are (11) relations. चरण 1: चार विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: ठीक (2) अविकर्ण युग्म चाहिए और ((1,2)) पहले से तय है। चरण 3: दूसरा अविकर्ण युग्म बाकी (11) में से चुना जाएगा, इसलिए (11) संबंध बनेंगे।
On a five-element set, the number of reflexive relations is \(2^{25-5}=2^{20}\).
Step 2
Why this answer is correct
This includes the identity relation and the universal relation.
Step 3
Exam Tip
Removing both gives \(2^{20}-2\). चरण 1: पांच तत्वों पर प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या \(2^{25-5}=2^{20}\) है। चरण 2: इनमें पहचान संबंध और सार्वत्रिक संबंध दोनों शामिल हैं। चरण 3: दोनों को हटाने पर \(2^{20}-2\) संबंध बचते हैं।
To have (11) total pairs, choose (7) non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
The number of ways is \(\binom{12}{7}\). चरण 1: चार विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: कुल (11) युग्म चाहिए, इसलिए (7) अविकर्ण युग्म चुनने होंगे। चरण 3: (12) अविकर्ण युग्मों में से (7) चुनने के तरीके \(\binom{12}{7}\) हैं।
The number of reflexive relations on (A) is \(2^{16^2-16}\).
Step 3
Exam Tip
Since \(16^2-16=240\), the answer is \(2^{240}\). चरण 1: (A=\mathcal{P}(S)) में \(2^4=16\) तत्व हैं। चरण 2: (A) पर प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या \(2^{16^2-16}\) होगी। चरण 3: \(16^2-16=256-16=240\), इसलिए उत्तर \(2^{240}\) है।
