Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. \(R\cup S\) सममित होगा/\(R\cup S\) will be symmetric
Step 1
Concept
यदि कोई युग्म \(R\cup S\) में है, तो वह (R) या (S) में होगा। / If a pair is in \(R\cup S\), it lies in (R) or (S).
Step 2
Why this answer is correct
जिस संबंध में वह युग्म है, सममितता के कारण उसका उल्टा भी उसी संबंध में होगा। / In whichever relation it lies, symmetry gives its reverse in the same relation.
Step 3
Exam Tip
इसलिए उल्टा युग्म संघ में भी होगा। / Therefore the reverse pair also lies in the union.
B. यह हमेशा संक्रामी नहीं होता/it is not always transitive
Step 1
Concept
संक्रामकता में दो युग्मों से तीसरे युग्म की जरूरत होती है। / Transitivity needs a third pair from two connected pairs.
Step 2
Why this answer is correct
संघ में पहला युग्म (R) से और दूसरा (S) से आ सकता है, इसलिए तीसरा युग्म जरूरी नहीं मिलता। / In a union, one pair may come from (R) and the other from (S), so the needed third pair may be absent.
Step 3
Exam Tip
संक्रामी संबंधों के संघ को बिना जांचे संक्रामी न मानें। / Do not assume the union of transitive relations is transitive.
((1,2)) और ((2,3)) एक श्रृंखला बनाते हैं। / ((1,2)) and ((2,3)) form a chain.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए इससे ((1,3)) का होना जरूरी है। / Transitivity then requires ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में बीच वाला अवयव समान देखकर पहला और तीसरा अवयव जोड़ें। / In such questions, match the middle element and connect the first element to the third.
सममितता में हर ((a,b)) के साथ ((b,a)) चाहिए। / Symmetry requires ((b,a)) whenever ((a,b)) is present.
Step 2
Why this answer is correct
यहां ((1,2)) है, इसलिए ((2,1)) जोड़ना जरूरी है। / Since ((1,2)) is present, ((2,1)) must be added.
Step 3
Exam Tip
विकर्ण युग्म सममितता के लिए अपने आप उल्टे होते हैं, पर यहां मुख्य कमी उल्टा युग्म है। / Diagonal pairs are their own reverses, but the missing reverse pair is the key issue here.
(a=1) के लिए (4) विकल्प, (a=2) के लिए (3), (a=3) के लिए (2), और (a=4) के लिए (1) विकल्प हैं। / For (a=1), there are (4) choices; for (a=2), (3); for (a=3), (2); and for (a=4), (1).
Step 2
Why this answer is correct
कुल (4+3+2+1=10) युग्म मिलते हैं। / Total pairs are (4+3+2+1=10).
Step 3
Exam Tip
क्रमित युग्म गिनते समय पहले अवयव को स्थिर करके दूसरे विकल्प गिनें। / To count ordered pairs, fix the first element and count possible second elements.
योग सम होने के लिए दोनों संख्याएं सम या दोनों विषम होनी चाहिए। / The sum is even when both numbers are odd or both are even.
Step 2
Why this answer is correct
(A) में (3) विषम और (2) सम संख्याएं हैं, इसलिए युग्म \(3^2+2^2=9+4=13\) होंगे। / (A) has (3) odd and (2) even numbers, so pairs are \(3^2+2^2=9+4=13\).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में क्रमित युग्म होने के कारण वर्ग गिनती लगती है। / Since the pairs are ordered, use square counts for each group.
