Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(aRb) का अर्थ है कि (a) और (b) एक ही समूह में हैं। / (aRb) means (a) and (b) belong to the same group.
Step 2
Why this answer is correct
समतुल्यता संबंध में एक ही समूह के अवयवों के वर्ग समान होते हैं। / In an equivalence relation, elements of the same group have the same equivalence class.
Step 3
Exam Tip
वर्गों के लिए याद रखें कि दो वर्ग या तो पूरी तरह समान होते हैं या पूरी तरह अलग। / Equivalence classes are either identical or disjoint.
A. ((2,3)) का अभाव संक्रामकता तोड़ता है/absence of ((2,3)) breaks transitivity
Step 1
Concept
सभी विकर्ण युग्म हैं, इसलिए प्रतिवर्तिता है। / All diagonal pairs are present, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((1,3)) के उल्टे युग्म भी हैं, इसलिए सममितता है। / The reverses of ((1,2)) and ((1,3)) are also present, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
((2,1)) और ((1,3)) से ((2,3)) चाहिए, जो नहीं है; इसलिए संक्रामकता टूटती है। / From ((2,1)) and ((1,3)), ((2,3)) is required but missing; hence transitivity fails.
पहचान संबंध में केवल ((a,a)) प्रकार के युग्म होते हैं। / The identity relation contains only pairs of the form ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
(A) में (4) अवयव हैं, इसलिए (4) विकर्ण युग्म होंगे। / Since (A) has (4) elements, it has (4) diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
पहचान संबंध को सार्वत्रिक संबंध से अलग रखें; सार्वत्रिक में (16) युग्म होते। / Do not confuse identity relation with the universal relation, which would have (16) pairs.
\(A\times A\) में संभव सभी क्रमित युग्म होते हैं। / \(A\times A\) contains all possible ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
जब संबंध में ये सभी युग्म शामिल हों, तो उसे सार्वत्रिक संबंध कहते हैं। / When a relation contains all these pairs, it is called the universal relation.
Step 3
Exam Tip
पहचान संबंध में केवल विकर्ण युग्म होते हैं, इसलिए दोनों में अंतर रखें। / The identity relation contains only diagonal pairs, so keep the two ideas separate.
A. हाँ, क्योंकि कोई विपरीत गैर-विकर्ण जोड़ा साथ नहीं है/yes, because no reverse off-diagonal pair occurs together
Step 1
Concept
प्रतिसममितता केवल अलग अवयवों के बीच दोनों दिशाओं के साथ होने को रोकती है। / Antisymmetry only forbids two-way pairs between distinct elements.
Step 2
Why this answer is correct
यहां ((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं, और ((1,3)) है पर ((3,1)) नहीं। / Here ((1,2)) is present but ((2,1)) is not, and ((1,3)) is present but ((3,1)) is not.
Step 3
Exam Tip
विकर्ण युग्म प्रतिसममितता में बाधा नहीं बनते। / Diagonal pairs do not violate antisymmetry.
स्वपरकता के कारण तीनों स्वयं युग्म अनिवार्य हैं। / Reflexivity makes the three self-pairs compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
अलग तत्वों के बिना क्रम वाले युग्मों की संख्या (3) है और प्रत्येक को जोड़े सहित लेना या छोड़ना है। / There are (3) unordered pairs of distinct elements, and each pair-group may be included or excluded.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कुल संख्या \(2^3\) होगी। / Therefore, the total number is \(2^3\).
सममितता अलग तत्वों के उल्टे युग्म मांगती है। / Symmetry asks for reverse pairs between distinct elements.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिसममितता अलग तत्वों के दोनों दिशाओं वाले युग्मों को रोकती है, इसलिए अलग तत्वों वाले युग्म नहीं लिए जा सकते। / Antisymmetry forbids both directions between distinct elements, so no non-self pair can be included.
Step 3
Exam Tip
केवल तीन स्वयं युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^3\) है। / Only the three self-pairs are free, giving \(2^3\) relations.
