Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(A') में (U) के वे अवयव होते हैं जो (A) में नहीं होते। पूरक निकालते समय हमेशा (U) को आधार मानें। / (A') contains the elements of (U) that are not in (A). Always take (U) as the base while finding complement.
सूत्र (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)) से (36+28-12=52) मिलता है। साझा भाग को एक बार घटाएं। / Using (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)), we get (36+28-12=52). Subtract the common part once.
\(A\cup B\) में दोनों वृत्तों का पूरा भाग आता है। जो भाग छूटता है वह दोनों से बाहर यानी (\(A\cup B\)') है। / \(A\cup B\) includes the whole of both circles. The part left is outside both, that is (\(A\cup B\)').
न (A) न (B) वाला क्षेत्र (\(A\cup B\)') है। इसलिए संख्या (92-67=25) होगी। / The region neither in (A) nor in (B) is (\(A\cup B\)'). Therefore the number is (92-67=25).
बीच का साझा भाग \(A\cap B\) कहलाता है। प्रतिच्छेद में केवल दोनों में आने वाले अवयव होते हैं। / The middle common part is called \(A\cap B\). Intersection contains only elements common to both sets.
केवल (A) का अर्थ (A) में होना और (B) में न होना है। इसलिए यह \(A\cap B'\) है। / Only (A) means being in (A) and not in (B). Therefore, it is \(A\cap B'\).
केवल (B) का अर्थ (B) में होना और (A) में न होना है। इसलिए यह \(A'\cap B\) है। / Only (B) means being in (B) and not in (A). Therefore, it is \(A'\cap B\).
\(A\cup B={a,c,d,e,f}\), इसलिए (\(A\cup B\)'={b,h})। पहले संघ निकालें फिर पूरक लें। / \(A\cup B={a,c,d,e,f}\), so (\(A\cup B\)'={b,h}). First find the union and then take the complement.
(n\(A\cup B\)=31+22-9=44)। साझा भाग को दो बार गिनने से बचाने के लिए एक बार घटाते हैं। / (n\(A\cup B\)=31+22-9=44). The common part is subtracted once to avoid double counting.
संघ में केवल (A), साझा भाग और केवल (B) आते हैं। इसलिए साझा भाग (81-29-34=18) है। / The union contains only (A), the common part, and only (B). Therefore the common part is (81-29-34=18).
(n\(A\cap B\)=28+19-39=8)। संघ दिए होने पर दोनों समुच्चयों का योग लेकर संघ घटाएं। / (n\(A\cap B\)=28+19-39=8). When union is given, add both sets and subtract the union.
न (A) न (B) की संख्या (85-56=29) है। यह दोनों वृत्तों के बाहर लेकिन (U) के अंदर का क्षेत्र है। / The number in neither (A) nor (B) is (85-56=29). It is outside both circles but inside (U).
केवल (B) की संख्या (41-17=24) है। (B) वृत्त के बीच वाले भाग को हटाएं। / The number only in (B) is (41-17=24). Remove the middle common part from circle (B).
संघ में तीनों क्षेत्र आते हैं, इसलिए (18+7+14=39)। वेन आरेख में हर क्षेत्र को एक बार जोड़ें। / The union includes all three regions, so (18+7+14=39). In a Venn diagram, add each region once.
ज्ञात वृत्तीय क्षेत्र (26+15+31=72) हैं। बाहर का क्षेत्र (94-72=22) है। / The known circular regions are (26+15+31=72). The outside region is (94-72=22).
साझा भाग (76-18-20-23=15) है। अज्ञात क्षेत्र के लिए कुल से ज्ञात क्षेत्र घटाएं। / The common part is (76-18-20-23=15). For an unknown region, subtract known regions from the total.
संघ में केवल (A), साझा भाग और केवल (B) आते हैं। इसलिए साझा भाग (63-24-27=12) है। / The union contains only (A), the common part, and only (B). Therefore, the common part is (63-24-27=12).
केवल (B) के लिए (B-A) निकालते हैं। (q) और (r) साझा हैं, इसलिए ({s,t}) बचता है। / For only (B), find (B-A). Since (q) and (r) are common, ({s,t}) remains.
\(A\cup B={a,b,c,e,g}\), इसलिए (\(A\cup B\)'={d})। पहले संघ फिर पूरक निकालें। / \(A\cup B={a,b,c,e,g}\), so (\(A\cup B\)'={d}). First find the union and then the complement.
संघ में दोनों समुच्चयों के सभी अलग-अलग अवयव आते हैं। इसलिए \(A\cup B={1,2,3,4,5,6}\)। / Union contains all distinct elements of both sets. Therefore, \(A\cup B={1,2,3,4,5,6}\).
कम से कम एक विषय पढ़ने वाले (34+27-11=50) हैं। दोनों पढ़ने वालों को दो बार नहीं गिनना चाहिए। / Those who study at least one subject are (34+27-11=50). Students studying both should not be counted twice.
कम से कम एक सुनने वाले (46+38-16=68) हैं। कोई भी नहीं सुनने वाले (90-68=22) हैं। / Those who listen to at least one are (46+38-16=68). Those who listen to neither are (90-68=22).
केवल आम पसंद करने वाले (32-9=23) हैं। कुल आम पसंद करने वालों से दोनों पसंद करने वालों को घटाएं। / Those who like only mango are (32-9=23). Subtract those who like both from total mango lovers.
केवल चित्रकला में (33-12=21) सदस्य हैं। दूसरे वृत्त से साझा भाग घटाएं। / Only painting has (33-12=21) members. Subtract the common part from the second circle.
एक परीक्षा में (100) विद्यार्थियों में (62) ने गणित पास किया, (49) ने विज्ञान पास किया, और (35) ने दोनों पास किए। केवल विज्ञान पास करने वाले कितने हैं?
केवल विज्ञान पास करने वाले (49-35=14) हैं। विषय के कुल से दोनों पास करने वालों को घटाएं। / Those who passed only Science are (49-35=14). Subtract those who passed both from the total of that subject.
कम से कम एक जगह जाने वाले (70+52-30=92) हैं। वेन आरेख में साझा भाग को एक बार घटाते हैं। / Those who visited at least one place are (70+52-30=92). In a Venn diagram, subtract the common part once.
असंबद्ध समुच्चयों में साझा भाग (0) होता है। इसलिए (n\(A\cup B\)=24+37=61)। / For disjoint sets, the common part is (0). Therefore, (n\(A\cup B\)=24+37=61).
जब (A=B), तो (A) में ऐसा कोई अवयव नहीं बचता जो (B) में न हो। इसलिए \(A-B=\varnothing\)। / When (A=B), no element remains in (A) that is not in (B). Therefore, \(A-B=\varnothing\).
\(A\cap B=A\) का अर्थ है (A) पूरा (B) के अंदर है। इसलिए \(A\subseteq B\) सही है। / \(A\cap B=A\) means the whole of (A) lies inside (B). Therefore, \(A\subseteq B\) is correct.
\(A\cup B=A\) का अर्थ है (B) के सभी अवयव (A) में पहले से हैं। इसलिए \(B\subseteq A\) सही है। / \(A\cup B=A\) means all elements of (B) are already in (A). Therefore, \(B\subseteq A\) is correct.
C. तीनों वृत्तों के साझा भाग में/In the common part of all three circles
Explanation
Simple Explanation
\(A\cap B\cap C\) तीनों समुच्चयों का साझा भाग है। तीन वृत्तों में यह बीच का सामान्य क्षेत्र होता है। / \(A\cap B\cap C\) is the common part of all three sets. In three circles, it is the central common region.
तीन समुच्चयों के सूत्र से (12+14+10-5-3-4+2=26)। जोड़ी प्रतिच्छेद घटाकर तीनों का साझा भाग जोड़ें। / By the three-set formula, (12+14+10-5-3-4+2=26). Subtract pairwise intersections and add the common part of all three.
सूत्र से (16+18+9-6-2-3+1=33) मिलता है। तीन समुच्चयों में अंतिम साझा भाग जोड़ना न भूलें। / The formula gives (16+18+9-6-2-3+1=33). In three sets, do not forget to add the final common part.
(A) के कुल (45) में केवल (A) (19) है। इसलिए साझा भाग (45-19=26) है। / Out of total (45) elements of (A), only (A) has (19). Therefore, the common part is (45-19=26).
(B) के कुल (50) में केवल (B) (28) है। इसलिए साझा भाग (50-28=22) है। / Out of total (50) elements of (B), only (B) has (28). Therefore, the common part is (50-28=22).
\(A\cap B\) के सभी अवयव (A) में अवश्य होते हैं। इसलिए \(A\cap B\subseteq A\) हमेशा सत्य है। / All elements of \(A\cap B\) must be in (A). Therefore, \(A\cap B\subseteq A\) is always true.
(\(A\cap B\)') में साझा भाग को छोड़कर (U) के बाकी सभी अवयव आते हैं। इसलिए (96-34=62)। / (\(A\cap B\)') contains all elements of (U) except the common part. Therefore, (96-34=62).
सूत्र (69=42+n(B)-18) से (n(B)=45) मिलता है। संघ के सूत्र में अज्ञात को अलग करें। / From (69=42+n(B)-18), we get (n(B)=45). Isolate the unknown in the union formula.
