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In this Class 11 Mathematics topic from Permutations and Combinations, students learn how to count the total number of possible outcomes when a task is completed in successive stages. The fundamental principle of counting explains that if one step can be performed in one way and the next in another, the combined task can be counted by multiplying the choices at each stage. Students apply this idea to arrangements, selections, decision-making situations, and introductory permutation problems.
Expert · Level 5 · 25 questions
TOPIC PRACTICE
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Question 1ExpertLevel 5
An exam code has (2) uppercase letters, (1) lowercase letter, and (2) digits in this order. Uppercase letters must be distinct, the lowercase letter has no restriction, and digits may repeat. How many codes are possible?एक परीक्षा कोड में (2) बड़े अक्षर, (1) छोटा अक्षर और (2) अंक इसी क्रम में हैं। बड़े अक्षर अलग होने चाहिए, छोटे अक्षर पर कोई रोक नहीं है और अंक दोहराए जा सकते हैं। कुल कोड कितने होंगे?
Correct answer:सही उत्तर:B
There are (26\times25) ways for uppercase letters, (26) for the lowercase letter, and (10^2) for digits. When positions are fixed, multiply independent choices.बड़े अक्षरों के लिए (26\times25), छोटे अक्षर के लिए (26), और अंकों के लिए (10^2) तरीके हैं। क्रम तय हो तो प्रत्येक स्थान की स्वतंत्र पसंद गुणा होती है।
A student makes a (6)-day study plan. Each day he studies one subject from Mathematics, Physics, or Chemistry, but he never studies the same subject on consecutive days. How many plans are possible?एक छात्र (6) दिनों की पढ़ाई योजना बनाता है। हर दिन गणित, भौतिकी या रसायन में से एक विषय पढ़ता है, पर लगातार दो दिन वही विषय नहीं पढ़ता। योजनाओं की संख्या कितनी है?
Correct answer:सही उत्तर:A
The first day has (3) choices and each later day has (2) choices different from the previous day. With consecutive restrictions, choices reduce after the first position.पहले दिन (3) विकल्प हैं और अगले प्रत्येक दिन पिछले से अलग (2) विकल्प हैं। लगातार शर्त में पहले स्थान के बाद विकल्प घट जाते हैं।
A mobile lock has (4) distinct digits. The first digit cannot be (0) and the last digit must be even. How many locks can be formed?एक मोबाइल लॉक में (4) अलग-अलग अंक हैं। पहला अंक (0) नहीं हो सकता और अंतिम अंक सम होना चाहिए। कितने लॉक बन सकते हैं?
Correct answer:सही उत्तर:A
If the last digit is (0), there are (9\times8\times7) ways; if it is (2,4,6,8), there are (4\times8\times8\times7) ways. The total is (504+1792=2296).अंतिम अंक (0) हो तो (9\times8\times7) तरीके और अंतिम अंक (2,4,6,8) हो तो (4\times8\times8\times7) तरीके हैं। कुल (504+1792=2296) है।
In a contest, a participant writes true or false for each of (5) questions. At least (1) answer must be true. How many answer patterns are possible?किसी प्रतियोगिता में प्रतिभागी को (5) प्रश्नों में से प्रत्येक पर सही या गलत लिखना है। कम से कम (1) उत्तर सही होना चाहिए। संभावित उत्तर-पैटर्न कितने हैं?
Correct answer:सही उत्तर:B
Total patterns are (2^5), and the one pattern with all false is removed. For at least conditions, the complement method is often faster.कुल पैटर्न (2^5) हैं और सभी गलत वाला (1) पैटर्न हटेगा। कम से कम के लिए अक्सर पूरक विधि तेज होती है।
A book code has (3) distinct consonants and (2) distinct digits. The first symbol is a consonant and the last symbol is a digit. Assume English has (21) consonants. How many codes can be formed?एक पुस्तक कोड में (3) अलग-अलग व्यंजन और (2) अलग-अलग अंक हैं। कोड का पहला चिन्ह व्यंजन और अंतिम चिन्ह अंक है। अंग्रेजी में (21) व्यंजन माने जाएं। कुल कोड कितने बनेंगे?
Correct answer:सही उत्तर:A
The order is fixed, so the choices are (21,20,19,10,9) respectively. With distinctness, choices decrease after each selection.क्रम पहले से तय है, इसलिए (21,20,19,10,9) विकल्प क्रमशः मिलते हैं। अलग-अलग की शर्त में हर चयन के बाद विकल्प घटते हैं।
For class representatives, (4) boys and (5) girls are available. A president and a secretary are to be chosen, and the two posts must go to different persons. If the president must be a girl, in how many ways can it be done?कक्षा प्रतिनिधि चुनते समय (4) लड़के और (5) लड़कियां उपलब्ध हैं। एक अध्यक्ष और एक सचिव चुना जाना है, और दोनों पद अलग व्यक्तियों को मिलने चाहिए। यदि अध्यक्ष लड़की होनी चाहिए, तो कितने तरीके हैं?
Correct answer:सही उत्तर:B
There are (5) choices for president and (8) remaining choices for secretary. When posts are different, order matters.अध्यक्ष के लिए (5) विकल्प हैं और सचिव के लिए शेष (8) विकल्प हैं। पद अलग हों तो क्रम महत्वपूर्ण होता है।
In an online form, a user chooses (1) of (2) optional languages, (1) of (4) themes, and (2) of (3) security questions with order. How many selections are possible?एक ऑनलाइन फॉर्म में उपयोगकर्ता (2) वैकल्पिक भाषाओं में से कोई (1), (4) थीमों में से कोई (1) और (3) सुरक्षा प्रश्नों में से कोई (2) प्रश्न क्रम सहित चुनता है। कुल चयन कितने हैं?
Correct answer:सही उत्तर:C
Languages and themes give (2\times4), and ordered security questions give (3\times2) ways. The total is (2\times4\times3\times2=48).भाषा और थीम के लिए (2\times4), और क्रम सहित सुरक्षा प्रश्नों के लिए (3\times2) तरीके हैं। कुल (2\times4\times3\times2=48) है।
An identification number has (6) digits. The first (3) digits must be distinct and the last (3) digits may repeat. The first digit is not (0). How many identification numbers are possible?एक पहचान संख्या (6) अंकों की है। पहले (3) अंक अलग होने चाहिए और अंतिम (3) अंक दोहराए जा सकते हैं। पहला अंक (0) नहीं है। कुल पहचान संख्याएं कितनी हैं?
Correct answer:सही उत्तर:A
The first three digits can be chosen in (9\times9\times8) ways and the last three in (10^3) ways. The total is (9\times9\times8\times1000=648000).पहले तीन अंकों के लिए (9\times9\times8) तरीके हैं और अंतिम तीन के लिए (10^3) तरीके हैं। कुल (9\times9\times8\times1000=648000) है।
A safe code has (2) letters and (3) digits. Letters cannot repeat and the sum of the digits must be even. There are (26) choices for letters. How many such codes are possible?एक तिजोरी कोड में (2) अक्षर और (3) अंक हैं। अक्षर दोहराए नहीं जा सकते और अंकों का योग सम होना चाहिए। अक्षरों के लिए (26) विकल्प हैं। ऐसे कोड कितने हैं?
Correct answer:सही उत्तर:A
For (3) digits, (500) ordered triples have even sum because half of all (1000) triples give even sum. Multiply by (26\times25) for letters.(3) अंकों में सम योग के लिए (500) क्रमित त्रय होते हैं क्योंकि कुल (1000) में आधे सम योग देते हैं। अक्षरों के लिए (26\times25) से गुणा करें।
A student must choose (1) question from each of (4) chapters. The chapters have (5,6,7,8) questions respectively. If the chosen question from the second chapter must not be difficult and it has (2) difficult questions, how many selections are possible?एक छात्र को (4) अध्यायों में से हर अध्याय से (1) प्रश्न चुनना है। अध्यायों में प्रश्नों की संख्या क्रमशः (5,6,7,8) है। यदि दूसरे अध्याय का चुना प्रश्न कठिन नहीं होना चाहिए और उसमें (2) कठिन प्रश्न हैं, तो कुल चयन कितने हैं?
Correct answer:सही उत्तर:B
The fundamental principle of counting says that when independent choices are made in sequence, the total number of outcomes is found by multiplying the number of choices at each stage. One question must be selected from each of four chapters, so the chapter choices are multiplied rather than added.
The first, third, and fourth chapters provide 5, 7, and 8 choices. The second chapter has 6 questions, but 2 are difficult and cannot be chosen, leaving \\(6-2=4\\) allowed choices. Thus the total is \\(5\\times4\\times7\\times8=1120\\). The restriction affects only the second factor; it does not remove choices from the other chapters. Therefore option B is correct.गिनती के मूल सिद्धांत के अनुसार जब क्रमशः स्वतंत्र चुनाव किए जाते हैं, तो कुल संभावनाएँ प्रत्येक चरण के विकल्पों को गुणा करके मिलती हैं। चारों अध्यायों से एक-एक प्रश्न चुनना है, इसलिए विकल्पों को जोड़ने के बजाय गुणा करना होगा।
पहले, तीसरे और चौथे अध्यायों में क्रमशः 5, 7 और 8 विकल्प हैं। दूसरे अध्याय में 6 प्रश्न हैं, पर 2 कठिन प्रश्न नहीं चुने जा सकते, इसलिए मान्य विकल्प \\(6-2=4\\) हैं। अब कुल चयन \\(5\\times4\\times7\\times8=1120\\) होंगे। शर्त केवल दूसरे अध्याय के विकल्प बदलती है; अन्य अध्यायों पर उसका प्रभाव नहीं है। इसलिए विकल्प B सही है।
A vehicle number has (2) distinct letters and (4) digits. Digits may repeat, but at least one of the first (2) digits must be (5). How many numbers are possible?एक वाहन नंबर में (2) अलग अक्षर और (4) अंक हैं। अंक दोहराए जा सकते हैं, पर पहले (2) अंकों में से कम से कम एक (5) होना चाहिए। कुल नंबर कितने होंगे?
Correct answer:सही उत्तर:A
For at least one (5) in the first two digits, there are (10^2-9^2=19) ways and (100) ways for the remaining two digits. With letters, the total is (26\times25\times19\times100).पहले दो अंकों में कम से कम एक (5) के लिए (10^2-9^2=19) तरीके हैं और बाकी दो अंकों के लिए (100) तरीके हैं। अक्षरों के साथ कुल (26\times25\times19\times100) है।
A (3)-stage security system has (4) choices in the first stage, (5) in the second, and (6) in the third. But if option (A) is chosen in the first stage, only (2) choices remain in the third stage. How many secure paths are possible?एक (3)-स्तरीय सुरक्षा प्रणाली में पहली अवस्था में (4) विकल्प, दूसरी में (5) विकल्प और तीसरी में (6) विकल्प हैं। पर यदि पहली अवस्था का विकल्प (A) चुना जाता है, तो तीसरी अवस्था में केवल (2) विकल्प रहते हैं। कुल सुरक्षित मार्ग कितने हैं?
Correct answer:सही उत्तर:A
If the first option is (A), paths are (1\times5\times2=10); for the other (3) options, paths are (3\times5\times6=90). The total is (100).पहला विकल्प (A) होने पर (1\times5\times2=10) और बाकी (3) विकल्पों पर (3\times5\times6=90) मार्ग हैं। कुल (100) मार्ग हैं।
A (5)-letter string is formed from (A,B,C,D). Each letter must appear at least once. How many such strings are possible?एक (5)-अक्षरीय स्ट्रिंग (A,B,C,D) से बनती है। हर अक्षर कम से कम एक बार आना चाहिए। ऐसी स्ट्रिंग कितनी हैं?
Correct answer:सही उत्तर:A
One letter must repeat, so the repeated letter can be chosen in (4) ways and the positions arranged in (5!/2!) ways. The total is (4\times60=240).किसी एक अक्षर की पुनरावृत्ति होगी, इसलिए दोहराए जाने वाला अक्षर (4) तरीकों से चुनेगा और स्थान (5!/2!) तरीकों से। कुल (4\times60=240) है।
A (4)-digit number is to be formed using digits (1) to (9). Digits cannot repeat and the number must start with a digit greater than (5). How many numbers can be formed?एक कार्ड पर (1) से (9) तक के अंकों से (4)-अंकीय संख्या बनानी है। अंक दोहराए नहीं जा सकते और संख्या (5) से बड़ी शुरुआत वाली होनी चाहिए। कितनी संख्याएं बनेंगी?
Correct answer:सही उत्तर:A
The first digit has (4) choices: (6,7,8,9). The remaining places have (8\times7\times6) ways, so the total is (1344).पहले अंक के लिए (6,7,8,9) यानी (4) विकल्प हैं। शेष स्थानों के लिए (8\times7\times6) तरीके हैं, इसलिए कुल (1344) है।
A team jersey needs (2) stripe colors and (1) logo color. (7) colors are available. The two stripe colors are different and the logo color is different from both stripe colors. How many designs are possible?एक टीम जर्सी पर (2) रंगों की धारियां और (1) लोगो रंग चुनना है। (7) रंग उपलब्ध हैं। दोनों धारियों के रंग अलग हों और लोगो का रंग दोनों धारियों से अलग हो, तो कुल डिज़ाइन कितने हैं?
Correct answer:सही उत्तर:A
Stripes are considered ordered, so there are (7\times6) ways and (5) choices for the logo. The total is (7\times6\times5=210).धारियां क्रम में मानी गई हैं, इसलिए (7\times6) तरीके हैं और लोगो के लिए (5) विकल्प हैं। कुल (7\times6\times5=210) है।
A quiz has (8) multiple-choice questions and each has (4) options. A student must choose option (A) in exactly (3) questions. In how many ways can the answer sheet be filled?एक क्विज में (8) बहुविकल्पीय प्रश्न हैं और प्रत्येक में (4) विकल्प हैं। विद्यार्थी को ठीक (3) प्रश्नों में विकल्प (A) चुनना है। उत्तर-पत्र कितने प्रकार से भर सकता है?
Correct answer:सही उत्तर:A
Choose the (3) questions with (A) in (\binom{8}{3}) ways, then each of the remaining (5) questions has (3) non-(A) choices. The total is (\binom{8}{3}3^5).पहले (A) वाले (3) प्रश्न (\binom{8}{3}) तरीकों से चुनें, फिर बाकी (5) प्रश्नों में (3) गैर-(A) विकल्प हैं। कुल (\binom{8}{3}3^5) है।
A (4)-letter code is formed from (X,Y,Z,W). No two consecutive letters can be same, and the first and last letters must be same. How many codes can be formed?एक (4)-अक्षरीय कोड (X,Y,Z,W) से बनता है। लगातार दो अक्षर समान नहीं हो सकते और पहला तथा अंतिम अक्षर समान होने चाहिए। कितने कोड बनेंगे?
Correct answer:सही उत्तर:A
There are (4) choices for the first and last letter. The second and third positions have (3) and (3) choices respectively, so the total is (36).पहले और अंतिम अक्षर के लिए (4) विकल्प हैं। दूसरे और तीसरे के लिए क्रमशः (3) और (3) विकल्प हैं, इसलिए (4\times3\times3=36) है।
A (7)-digit number is formed from (0,1,2,\ldots,9). Digits may repeat, the first digit is not (0), and the last (2) digits are same. How many numbers are possible?एक (7)-अंकीय संख्या (0,1,2,\ldots,9) से बनती है। अंक दोहराए जा सकते हैं, पहला अंक (0) नहीं है और अंतिम (2) अंक समान हैं। कुल संख्याएं कितनी हैं?
Correct answer:सही उत्तर:A
There are (9) choices for the first digit, (10^4) for the middle (4) positions, and (10) for the equal last pair. The total is (9\times10^4\times10=900000).पहले अंक के लिए (9), बीच के (4) स्थानों के लिए (10^4), और अंतिम समान जोड़ी के लिए (10) तरीके हैं। कुल (9\times10^4\times10=900000) है।
On a library shelf, one Mathematics book and one Science book must be placed in order from (5) Mathematics and (4) Science books. If the first place is for Mathematics and the second for Science, how many arrangements are possible?एक लाइब्रेरी शेल्फ में (5) गणित और (4) विज्ञान पुस्तकों में से एक-एक पुस्तक क्रम में रखनी है। यदि पहले स्थान पर गणित और दूसरे पर विज्ञान पुस्तक रखनी है, तो कितने क्रम बनेंगे?
Correct answer:सही उत्तर:A
There are (5) choices for the first place and (4) for the second. For fixed-type positions, apply the multiplication rule directly.पहले स्थान के लिए (5) और दूसरे के लिए (4) विकल्प हैं। निश्चित प्रकार के स्थानों में सीधा गुणन नियम लागू होता है।
In an exam of (6) questions with (5) options each, a student answers every question. The same option cannot be chosen in any two consecutive questions. How many answer patterns are possible?एक (5)-विकल्प वाले (6) प्रश्नों की परीक्षा में विद्यार्थी हर प्रश्न का उत्तर देता है। किसी भी लगातार दो प्रश्नों में वही विकल्प नहीं चुना जा सकता। उत्तर-पैटर्न कितने होंगे?
Correct answer:सही उत्तर:A
The first question has (5) choices and each next question has (4) choices different from the previous one. For consecutive restrictions, count position by position.पहले प्रश्न के लिए (5) विकल्प और हर अगले प्रश्न के लिए पिछले से अलग (4) विकल्प हैं। लगातार प्रतिबंध में स्थान-दर-स्थान गिनती करें।
A (3)-digit number is to be formed using digits from (1) to (7). Digits may repeat and the number must be greater than (400). How many numbers can be formed?एक (3)-अंकीय संख्या (1) से (7) तक के अंकों से बनानी है। अंक दोहराए जा सकते हैं और संख्या (400) से बड़ी होनी चाहिए। कितनी संख्याएं बनेंगी?
Correct answer:सही उत्तर:A
The hundreds place has (4) choices: (4,5,6,7). The remaining two places have (7\times7) ways, giving (196).सैकड़े के स्थान पर (4,5,6,7) के (4) विकल्प हैं। बाकी दोनों स्थानों के लिए (7\times7) तरीके हैं, कुल (196) है।
On a box, (2) symbols and (2) colors are printed in order. (6) symbols and (5) colors are available. The two symbols must be distinct and the two colors must be distinct. How many print designs are possible?एक डिब्बे पर (2) प्रतीक और (2) रंग क्रम सहित छापे जाते हैं। (6) प्रतीक और (5) रंग उपलब्ध हैं। दोनों प्रतीक अलग और दोनों रंग अलग होने चाहिए। कुल छपाई डिज़ाइन कितने हैं?
Correct answer:सही उत्तर:A
Symbols can be chosen in (6\times5) ways and colors in (5\times4) ways. The choices are independent, so the total is (600).प्रतीकों के लिए (6\times5) और रंगों के लिए (5\times4) तरीके हैं। दोनों चुनाव स्वतंत्र हैं, इसलिए कुल (600) है।
A (4)-digit code can use only odd digits (1,3,5,7,9). Digits may repeat, but the code cannot start with (5). How many codes are possible?एक (4)-अंकीय कोड में केवल विषम अंक (1,3,5,7,9) प्रयोग हो सकते हैं। अंक दोहराए जा सकते हैं, पर कोड (5) से शुरू नहीं हो सकता। कितने कोड संभव हैं?
Correct answer:सही उत्तर:B
The first place has (4) choices and the remaining three places have (5^3) choices. The total is (4\times125=500).पहले स्थान के लिए (4) विकल्प हैं और बाकी तीन स्थानों के लिए (5^3) विकल्प हैं। कुल (4\times125=500) है।
In an app, a user must pass through (3) security levels. The levels have (2,4,5) choices respectively. If choosing a special option at the second level reduces the third level by (2) choices, how many paths are possible?एक ऐप में उपयोगकर्ता को (3) सुरक्षा स्तरों में पास करना है। स्तरों में क्रमशः (2,4,5) विकल्प हैं। यदि दूसरे स्तर पर विशेष विकल्प चुनने पर तीसरे स्तर में (2) विकल्प कम हो जाते हैं, तो कुल मार्ग कितने हैं?
Correct answer:सही उत्तर:B
The special option at level two gives (2\times1\times3=6) paths and the other (3) choices give (2\times3\times5=30) paths. The total is (36).दूसरे स्तर का विशेष विकल्प (2\times1\times3=6) मार्ग देता है और बाकी (3) विकल्प (2\times3\times5=30) मार्ग देते हैं। कुल (36) है।
A (6)-letter word is formed using (A,B,C). Each letter must appear at least once. How many such words are possible?एक (6)-अक्षरीय शब्द (A,B,C) से बनता है। प्रत्येक अक्षर कम से कम एक बार आना चाहिए। ऐसे शब्द कितने हैं?
Correct answer:सही उत्तर:B
Total words are (3^6), words missing at least one letter are handled by inclusion-exclusion. The correct count is (729-3\cdot2^6+3=540).कुल (3^6) शब्द हैं, दो अक्षरों तक सीमित शब्द (3\cdot2^6) हैं और एक अक्षर वाले शब्द (3) बार वापस जोड़ते हैं। कुल (729-192+3=540) नहीं, सही गणना (729-3\cdot2^6+3=540) है।
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