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In this Class 11 Mathematics topic from Permutations and Combinations, students learn how to count the total number of possible outcomes when a task is completed in successive stages. The fundamental principle of counting explains that if one step can be performed in one way and the next in another, the combined task can be counted by multiplying the choices at each stage. Students apply this idea to arrangements, selections, decision-making situations, and introductory permutation problems.
Expert · Level 3 · 25 questions
TOPIC PRACTICE
Quiz this set
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A (6)-digit code is formed where the first (2) places can contain only odd digits and the remaining (4) places can contain only even digits. If no digit is repeated then how many codes are possible?(6) अंकों का एक कोड बनाना है जिसमें पहले (2) स्थानों पर केवल विषम अंक और बाकी (4) स्थानों पर केवल सम अंक आ सकते हैं। यदि किसी भी अंक की पुनरावृत्ति नहीं होनी चाहिए तो कुल कितने कोड बनेंगे?
Correct answer:सही उत्तर:A
There are (5) and (4) choices for odd digits and (5,4,3,2) choices for even digits. Filling places one by one is the safest exam method.विषम अंकों के लिए (5) और (4) विकल्प हैं तथा सम अंकों के लिए (5,4,3,2) विकल्प हैं। स्थानों को क्रम से भरना परीक्षा में सबसे सुरक्षित तरीका है।
A website password must have (4) letters followed by (3) digits. Letters are chosen from the English alphabet without repetition and digits from (0) to (9) with repetition allowed. How many passwords are possible?एक वेबसाइट पासवर्ड में (4) अक्षर और (3) अंक इसी क्रम में होने चाहिए। अक्षर अंग्रेजी वर्णमाला से बिना पुनरावृत्ति और अंक (0) से (9) तक पुनरावृत्ति सहित लिए जा सकते हैं। कुल कितने पासवर्ड बनेंगे?
Correct answer:सही उत्तर:B
Letters cannot repeat so the choices decrease and digits can repeat so the factor is (10^3). Read each restriction separately first.अक्षरों में पुनरावृत्ति नहीं है इसलिए विकल्प घटते हैं और अंकों में पुनरावृत्ति है इसलिए (10^3) होगा। पहले नियमों को अलग-अलग पढ़ना चाहिए।
From (5) different cities a trip needs a starting city and an ending city. They must be different and (2) different intermediate stops are also chosen from the remaining cities. If order matters then how many trips are possible?(5) अलग-अलग शहरों में से एक यात्रा में आरंभ शहर और अंतिम शहर चुनने हैं। दोनों शहर अलग होने चाहिए और बीच में (2) अलग-अलग ठहराव भी उन्हीं बचे शहरों में से चुनने हैं। क्रम महत्त्वपूर्ण है तो कुल कितनी यात्राएँ संभव हैं?
Correct answer:सही उत्तर:A
The (4) ordered positions have (5,4,3,2) choices. When order matters use the multiplication principle.यात्रा के (4) क्रमबद्ध स्थानों के लिए विकल्प (5,4,3,2) हैं। जब क्रम महत्त्वपूर्ण हो तो गुणन सिद्धांत लगाएँ।
Using (0,1,2,3,4,5), how many (4)-digit numbers divisible by (5) can be formed without repetition of digits?(0,1,2,3,4,5) से (4) अंकों की ऐसी संख्या बनानी है जो (5) से विभाज्य हो और किसी अंक की पुनरावृत्ति न हो। कुल कितनी संख्याएँ बनेंगी?
Correct answer:सही उत्तर:C
A number divisible by 5 must end in 0 or 5. If it ends in 0, there are 5 choices for the thousands digit and then 4 and 3 choices for the two middle positions: 5 × 4 × 3 = 60. If it ends in 5, the thousands digit cannot be 0, so it has 4 choices from 1, 2, 3, 4; the middle positions then have 4 × 3 choices: 4 × 4 × 3 = 48. Hence, the total is 60 + 48 = 108. Option 60 counts only the case where the last digit is 0. Exam tip: whenever 0 is available, separately check that the leading digit is not 0.5 से विभाज्य संख्या का इकाई अंक 0 या 5 होना चाहिए। इकाई अंक 0 होने पर हजारों के स्थान के लिए 5 विकल्प हैं और बीच के दो स्थानों के लिए क्रमशः 4 और 3 विकल्प हैं: 5 × 4 × 3 = 60। इकाई अंक 5 होने पर हजारों के स्थान पर 0 नहीं आ सकता, इसलिए 1, 2, 3, 4 में से 4 विकल्प हैं; बीच के स्थानों के लिए 4 × 3 विकल्प हैं: 4 × 4 × 3 = 48। अतः कुल संख्याएँ 60 + 48 = 108 हैं। विकल्प 60 केवल उस स्थिति को गिनता है जिसमें अंतिम अंक 0 है। परीक्षा टिप: 0 वाले मामलों में सबसे बाएँ अंक के 0 न होने की शर्त अलग से जाँचें।
A secure locker code has (5) symbols. The first symbol is chosen from (4) special signs, the last from (3) colors, and the middle (3) symbols from (8) digits without repetition. How many codes are possible?एक सुरक्षित लॉकर कोड (5) प्रतीकों का है। पहला प्रतीक (4) विशेष चिह्नों में से, अंतिम प्रतीक (3) रंगों में से और बीच के (3) प्रतीक (8) अंकों में से बिना पुनरावृत्ति चुने जाते हैं। कुल कितने कोड बनेंगे?
Correct answer:सही उत्तर:B
The middle three digits cannot repeat so their choices are (8,7,6). Multiply the boundary choices as well.बीच के तीन अंकों में पुनरावृत्ति नहीं है इसलिए (8,7,6) विकल्प हैं। सीमांत विकल्पों को भी गुणा करें।
A menu has (4) soups, (5) main dishes, and (3) desserts. A customer may take soup with main dish, main dish with dessert, or all three. How many meal choices are possible?एक मेनू में (4) सूप, (5) मुख्य व्यंजन और (3) मिठाइयाँ हैं। ग्राहक या तो सूप के साथ मुख्य व्यंजन या मुख्य व्यंजन के साथ मिठाई या तीनों ले सकता है। कुल कितने भोजन-विकल्प होंगे?
Correct answer:सही उत्तर:A
There are three separate cases and their results are added. Within each case the choices are multiplied.यहाँ तीन अलग-अलग मामले हैं और उनके परिणाम जोड़े जाते हैं। हर मामले के अंदर विकल्प गुणा किए जाते हैं।
A mobile PIN has (4) digits. The first digit cannot be (0), the last digit must be even, and the two middle digits may be any digits. Repetition is allowed. How many PINs are possible?एक मोबाइल पिन (4) अंकों का है। पहला अंक (0) नहीं हो सकता, अंतिम अंक सम होना चाहिए और बीच के दो अंक कोई भी हो सकते हैं। पुनरावृत्ति मान्य है। कुल कितने पिन संभव हैं?
Correct answer:सही उत्तर:B
The last even digit has (5) choices from (0,2,4,6,8). With repetition allowed the middle places still have (10) choices each.अंतिम सम अंक (0,2,4,6,8) में से (5) हो सकता है। पुनरावृत्ति मान्य हो तो बीच के स्थानों पर (10) विकल्प रहते हैं।
From (7) students a class representative, an assistant representative, and a sports representative are to be chosen. No student can hold more than one post. How many selections are possible?(7) छात्रों में से कक्षा प्रतिनिधि, उप-प्रतिनिधि और खेल-प्रतिनिधि चुनने हैं। एक छात्र एक से अधिक पद नहीं ले सकता। कुल कितने चयन संभव हैं?
Correct answer:सही उत्तर:C
The posts are distinct so order matters and the choices are (7,6,5). For posts the multiplication principle applies directly.पद अलग-अलग हैं इसलिए क्रम महत्त्वपूर्ण है और विकल्प (7,6,5) हैं। पदों वाले सवालों में गुणन सिद्धांत सीधे लगता है।
A vehicle number has (2) letters followed by (4) digits. The letters must be different, digits may repeat, and the first digit cannot be (0). How many numbers are possible?एक वाहन संख्या में (2) अक्षर और (4) अंक हैं। अक्षर अलग होने चाहिए, अंकों की पुनरावृत्ति हो सकती है और पहला अंक (0) नहीं हो सकता। कुल कितनी संख्याएँ बनेंगी?
Correct answer:सही उत्तर:A
The letters have (26) and (25) choices while the first digit has (9) and the rest have (10) choices. Identify the zero restriction separately.अक्षरों के लिए (26) और (25) विकल्प हैं तथा अंकों में पहला (9) और बाकी (10) विकल्प हैं। शून्य की शर्त को अलग पहचानें।
On a library shelf choose (1) mathematics book from (3), (1) science book from (4), and (2) history books from (5) in order. The two history books are different. How many arrangements are possible?एक पुस्तकालय शेल्फ पर (3) गणित की पुस्तकों में से (1), (4) विज्ञान की पुस्तकों में से (1) और (5) इतिहास की पुस्तकों में से (2) पुस्तकों को क्रम सहित रखना है। इतिहास की दोनों पुस्तकें अलग होंगी। कुल कितने क्रम संभव हैं?
Correct answer:सही उत्तर:A
Direct answer: option A is correct, giving 240 arrangements. First choose 1 mathematics book from 3: 3 choices. Then choose 1 science book from 4: 4 choices. For history, choose and arrange 2 different books from 5: 5 choices for the first history position and 4 for the second, giving \(5\times4=20\). By the fundamental counting principle, multiply the independent stages: \(3\times4\times5\times4=240\). Option A shows this exact calculation. Option B uses \(3\times4\times10=120\); 10 is the number of unordered pairs from 5, but the question says “in order,” so each pair has two possible orders and must be counted as 20. Option C, \(3\times4\times5=60\), forgets the second ordered history choice. Option D adds choices instead of multiplying them, although every stage must be completed. Memory cue: sequential choices multiply; ordered selection of two from five is \(5\times4\), not \(\binom52\).सीधा उत्तर: विकल्प A सही है और कुल 240 व्यवस्थाएं होंगी। पहले 3 गणित की पुस्तकों में से 1 चुनने के 3 विकल्प हैं। फिर 4 विज्ञान पुस्तकों में से 1 चुनने के 4 विकल्प हैं। इतिहास की 5 अलग पुस्तकों में से क्रम सहित 2 चुननी हैं: पहले स्थान के लिए 5 विकल्प और दूसरे के लिए बची हुई 4 पुस्तकें, यानी \(5\times4=20\)। गुणन सिद्धांत से स्वतंत्र चरणों को गुणा करें: \(3\times4\times5\times4=240\)। विकल्प A यही सही गणना देता है। विकल्प B में \(3\times4\times10=120\) है; 10, 5 में से 2 चुनने के बिना-क्रम वाले युग्मों की संख्या है, लेकिन यहाँ क्रम महत्वपूर्ण है, इसलिए हर युग्म के दो क्रम होंगे और संख्या 20 बनेगी। विकल्प C दूसरे इतिहास-स्थान के 4 विकल्प भूलकर केवल 60 देता है। विकल्प D जोड़ता है, जबकि सभी चरण पूरे करने हैं और ऐसे मामलों में विकल्प गुणा किए जाते हैं। याद रखें: क्रमिक चुनावों में गुणा होता है; पाँच में से क्रम सहित दो चुनाव \(5\times4\) हैं, केवल \(\binom52\) नहीं।
Using digits from (1) to (9), how many (3)-digit numbers can be formed that are odd and have no repeated digit?(1) से (9) तक के अंकों से (3) अंकों की संख्या बनानी है। संख्या विषम हो और कोई अंक दोहराया न जाए। कुल कितनी संख्याएँ बनेंगी?
Correct answer:सही उत्तर:B
First place the unit digit with (5) odd choices, then the hundred and ten places have (8) and (7) choices. Handle the last-digit restriction first.पहले इकाई स्थान पर (5) विषम विकल्प रखें, फिर सैकड़ा और दहाई पर (8) और (7) विकल्प मिलते हैं। अंतिम अंक की शर्त पहले लगाएँ।
An email prefix is made of (3) lowercase letters and (2) digits. Letters do not repeat and digits do not repeat. The first position is a letter and the order is letter, letter, letter, digit, digit. How many prefixes are possible?एक ईमेल आईडी का उपसर्ग (3) छोटे अक्षरों और (2) अंकों से बनता है। अक्षरों में पुनरावृत्ति नहीं और अंकों में पुनरावृत्ति नहीं है। पहले स्थान पर अक्षर ही होगा और फिर क्रम (अक्षर,अक्षर,अंक,अंक) है। कुल कितने उपसर्ग बनेंगे?
Correct answer:सही उत्तर:A
The three letters have (26,25,24) choices and the two digits have (10,9) choices. Count each type at its fixed positions.तीन अक्षरों के विकल्प (26,25,24) और दो अंकों के विकल्प (10,9) हैं। अलग प्रकार की वस्तुओं को उनके स्थानों पर ही गिनें।
A quiz has (5) multiple-choice questions. The first (2) questions have (4) options each and the remaining (3) questions have (5) options each. If every question must be answered, how many answer patterns are possible?एक क्विज में (5) बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। पहले (2) प्रश्नों में (4) विकल्प और बाकी (3) प्रश्नों में (5) विकल्प हैं। यदि हर प्रश्न का उत्तर देना अनिवार्य है तो कुल उत्तर-पैटर्न कितने हैं?
Correct answer:सही उत्तर:B
Each question is an independent stage, so the count is (4 \times 4 \times 5 \times 5 \times 5). For mandatory answers multiply, do not add.हर प्रश्न स्वतंत्र चरण है, इसलिए (4 \times 4 \times 5 \times 5 \times 5) होगा। अनिवार्य उत्तरों में जोड़ नहीं गुणा करें।
How many (4)-digit numbers with distinct digits can be formed such that exactly (2) digits are from (2,4,6,8) and the remaining digits are from (1,3,5,7,9)?(4) अंकों की ऐसी संख्या बनानी है जिसके सभी अंक अलग हों और अंक (2,4,6,8) में से ठीक (2) अंक आएँ। शेष अंक (1,3,5,7,9) में से हों। कुल कितनी संख्याएँ संभव हैं?
Correct answer:सही उत्तर:B
First choose the (2) positions for even digits in (6) ways, then fill them with (4,3,5,4) choices. Keep position selection and digit filling separate.पहले (2) सम स्थानों की जगह (6) तरीकों से चुनें, फिर क्रम में (4,3,5,4) विकल्प हैं। स्थान चुनने और अंक भरने को अलग रखें।
A (3)-stage process has (4) choices at the first stage. If the first selected choice is a special one, the second stage has (5) choices, otherwise each of the remaining (3) first choices gives (2) choices. The third stage always has (6) choices. How many outcomes are possible?एक (3) चरण वाली प्रक्रिया में पहले चरण के (4) विकल्प हैं। दूसरे चरण में चुने गए पहले विकल्प पर (5) विकल्प मिलते हैं और बाकी (3) पहले विकल्पों पर (2) विकल्प मिलते हैं। तीसरे चरण में हमेशा (6) विकल्प हैं। कुल कितने परिणाम होंगे?
Correct answer:सही उत्तर:B
The second-stage choices depend on the first choice, so cases must be separated. Do not use one uniform product for dependent stages.दूसरे चरण के विकल्प पहले चयन पर निर्भर हैं, इसलिए मामलों को अलग करना होगा। निर्भर चरणों में सीधा समान गुणन नहीं करें।
In a building with (8) doors, different doors are chosen for entry and exit. A third door, different from both, is chosen for emergency exit. Order matters. How many ways are possible?(8) दरवाजों वाले भवन में प्रवेश और निकास के लिए अलग-अलग दरवाजे चुनने हैं। बीच में आपात निकास के लिए एक तीसरा दरवाजा भी चुना जाता है जो पहले दोनों से अलग हो। क्रम महत्त्वपूर्ण है। कुल कितने तरीके हैं?
Correct answer:सही उत्तर:B
The three roles are different, so the choices are (8,7,6). When roles have different names, order matters.तीनों भूमिकाएँ अलग हैं, इसलिए विकल्प (8,7,6) होंगे। भूमिकाओं के नाम बदलने पर क्रम महत्त्वपूर्ण हो जाता है।
A (5)-letter signal uses only (A,B,C,D,E,F). The first and last letters must be different, but the middle (3) letters may repeat. How many signals are possible?एक (5)-अक्षरी संकेत में केवल (A,B,C,D,E,F) का उपयोग होना है। पहला और अंतिम अक्षर अलग होने चाहिए, पर बीच के (3) अक्षरों में पुनरावृत्ति हो सकती है। कुल कितने संकेत बनेंगे?
Correct answer:सही उत्तर:A
The first letter has (6) choices and the last has (5), while each middle place has (6) choices. Reduce choices only where the condition applies.पहले अक्षर के (6) और अंतिम के (5) विकल्प हैं, बीच के प्रत्येक स्थान पर (6) विकल्प हैं। केवल दी गई शर्तों पर ही विकल्प घटाएँ।
An exam roll number has (2) letters followed by (3) digits. The first letter must be a vowel, the second a consonant, and the (3) digits must not repeat. Assume (5) vowels in the English alphabet. How many roll numbers are possible?एक परीक्षा रोल नंबर (2) अक्षरों और (3) अंकों का है। पहला अक्षर स्वर होना चाहिए, दूसरा अक्षर व्यंजन होना चाहिए और (3) अंकों में कोई पुनरावृत्ति नहीं होनी चाहिए। अंग्रेजी वर्णमाला में (5) स्वर मानें। कुल कितने रोल नंबर बनेंगे?
Correct answer:सही उत्तर:B
The letter choices are (5) and (21), and the digit choices are (10,9,8). Keep letter restrictions separate from digit restrictions.अक्षरों के विकल्प (5) और (21) हैं तथा अंकों के विकल्प (10,9,8) हैं। भाषा वाली शर्त को संख्या वाली शर्त से अलग रखें।
An online form has (4) yes-no questions and (2) questions with (3) options each. If every question must be answered, how many response combinations are possible?एक ऑनलाइन फॉर्म में (4) हाँ-ना प्रश्न और (2) ऐसे प्रश्न हैं जिनके (3) विकल्प हैं। यदि सभी प्रश्नों का उत्तर देना अनिवार्य है, तो कुल कितने उत्तर संयोजन होंगे?
Correct answer:सही उत्तर:A
The four binary questions give (2^4) and the two three-option questions give (3^2). Use multiplication for all independent responses.चार द्विविकल्पी प्रश्न (2^4) और दो त्रिविकल्पी प्रश्न (3^2) देते हैं। सभी स्वतंत्र उत्तरों के लिए गुणन सिद्धांत लगाएँ।
Using (1,2,3,4,5,6,7), how many (4)-digit numbers greater than (3000) can be formed without repetition?(1,2,3,4,5,6,7) से (4) अंकों की संख्या बनानी है। कोई अंक दोहराया न जाए और संख्या (3000) से बड़ी हो। कुल कितनी संख्याएँ बनेंगी?
Correct answer:सही उत्तर:A
The thousands digit is one of (3,4,5,6,7), then (6,5,4) choices remain. Apply the inequality condition at the first place.हजारों स्थान (3,4,5,6,7) में से होगा, फिर (6,5,4) विकल्प बचते हैं। असमानता की शर्त पहले स्थान पर लगाएँ।
A row of (6) boxes is to be colored red, blue, or green. The first and last boxes must not have the same color. How many color patterns are possible?एक (6)-खाने वाली पंक्ति में हर खाने को लाल, नीला या हरा रंग देना है। पहले और अंतिम खाने का रंग समान नहीं होना चाहिए। कुल कितने रंग-पैटर्न बनेंगे?
Correct answer:सही उत्तर:B
The first color has (3) choices and the last has (2), while the (4) middle boxes are independent. The inequality applies only to the ends.पहले रंग के (3) और अंतिम के (2) विकल्प हैं, बीच के (4) खाने स्वतंत्र हैं। केवल पहले और अंतिम पर असमानता लागू है।
A computer folder name is made from (2) letters and (2) digits. Exactly (1) letter must be uppercase and (1) lowercase, their positions may vary, and the two digits must be different. How many names are possible?एक कंप्यूटर फोल्डर नाम (2) अक्षरों और (2) अंकों से बनता है। ठीक (1) अक्षर बड़ा और (1) अक्षर छोटा होना चाहिए, स्थान कोई भी हो सकते हैं, और दोनों अंक अलग हों। कुल कितने नाम बनेंगे?
Correct answer:सही उत्तर:A
First choose the (2) letter positions in (6) ways and arrange uppercase-lowercase in (2) ways; thus the correct count should be (6 \times 2 \times 26^2 \times 10 \times 9). Among the options (6 \times 26 \times 26 \times 10 \times 9) is incomplete.पहले (4) स्थानों में (2) अक्षर-स्थान (6) तरीकों से चुनें और उनमें बड़ा-छोटा क्रम (2) तरीकों से पहले से (26 \times 26) में शामिल नहीं है, इसलिए सही रूप (6 \times 2 \times 26^2 \times 10 \times 9) होना चाहिए। दिए विकल्पों में (6 \times 26 \times 26 \times 10 \times 9) अधूरा है।
A (5)-letter signal must contain exactly (2) vowels and (3) consonants. Assume (5) vowels and (21) consonants, with no letter repeated. How many signals are possible?(5) अक्षरों का एक संकेत बनाना है जिसमें ठीक (2) स्वर और (3) व्यंजन हों। स्वर (5) और व्यंजन (21) माने जाएँ तथा किसी भी अक्षर की पुनरावृत्ति न हो। कुल कितने संकेत बनेंगे?
Correct answer:सही उत्तर:A
First choose the (2) vowel positions in (10) ways, then fill vowels and consonants in order. Separate position selection from letter filling.पहले (2) स्वर-स्थान (10) तरीकों से चुनें, फिर स्वर और व्यंजन क्रम से भरें। स्थान चुनना और अक्षर भरना अलग-अलग करें।
A (4)-digit number is formed from (0,1,2,3,4,5,6). It must be even, the first digit must not be (0), and no digit is repeated. How many numbers are possible?एक (4)-अंकीय संख्या (0,1,2,3,4,5,6) से बनानी है। संख्या सम हो, पहला अंक (0) न हो और कोई अंक दोहराया न जाए। कुल कितनी संख्याएँ बनेंगी?
Correct answer:सही उत्तर:B
Count separately the cases when the last digit is (0) and when it is (2,4,6). For zero restrictions, casework is safer.अंतिम अंक (0) होने और (2,4,6) होने के मामले अलग गिनें। शून्य की शर्त वाले सवालों में केस बनाना सुरक्षित रहता है।
In a competition among (6) teams, first, second, and third places are to be awarded. The previous winner cannot get first place. No team can receive more than one place. How many outcomes are possible?एक प्रतियोगिता में (6) टीमों में से प्रथम, द्वितीय और तृतीय स्थान दिए जाने हैं। पिछली विजेता टीम को प्रथम स्थान नहीं दिया जा सकता। कोई टीम एक से अधिक स्थान नहीं ले सकती। कुल कितने परिणाम संभव हैं?
Correct answer:सही उत्तर:A
There are (5) choices for first place, then (5) and (4) choices remain. Remove the forbidden choice and fill ordered positions.प्रथम स्थान के लिए (5) विकल्प हैं, फिर बचे हुए (5) और (4) विकल्प मिलते हैं। निषिद्ध विकल्प हटाकर क्रमबद्ध पद भरें।
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