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SubjectsMathematics
In this Class 11 Mathematics topic from Permutations and Combinations, students learn how to count the total number of possible outcomes when a task is completed in successive stages. The fundamental principle of counting explains that if one step can be performed in one way and the next in another, the combined task can be counted by multiplying the choices at each stage. Students apply this idea to arrangements, selections, decision-making situations, and introductory permutation problems.
Easy · Level 4 · 25 questions
TOPIC PRACTICE
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Each of the 4 subjects can be paired with either of the 2 modes. By the multiplication principle, there are 4 × 2 = 8 ways.4 विषयों में से प्रत्येक के साथ 2 माध्यमों में से कोई भी चुना जा सकता है। गुणन सिद्धांत से कुल तरीके 4 × 2 = 8 हैं।
There are 9 choices for the drink. For each selected drink, there are 4 choices for the biscuit pack. Therefore, by the fundamental principle of counting, the total number of selections is \(9 \times 4=36\). Option 13 results from adding the numbers of items, but a drink and a pack form a pair, so multiplication—not addition—is required. Exam tip: Multiply the choices when each option in one step can be combined with every option in the next step.एक पेय चुनने के 9 विकल्प हैं। प्रत्येक चुने हुए पेय के साथ बिस्कुट पैक चुनने के 4 विकल्प हैं। अतः गुणन के मूल सिद्धांत से कुल तरीके \(9 \times 4=36\) होंगे। विकल्प 13, दोनों वस्तुओं की संख्याओं को जोड़ने से मिलता है, पर यहाँ एक पेय के साथ एक पैक का युग्म बनाना है, इसलिए जोड़ नहीं बल्कि गुणा किया जाता है। परीक्षा टिप: जब चयन क्रमिक चरणों में हो और हर पहले चयन के लिए दूसरे चयन के सभी विकल्प उपलब्ध हों, तब विकल्पों को गुणा करें।
For each of the 6 subjects, either of the 2 languages can be chosen. By the multiplication principle, the total is 6 × 2 = 12 ways.हर 6 विषयों में से किसी एक के साथ 2 भाषाओं में से कोई भी चुनी जा सकती है। गुणन सिद्धांत से कुल तरीके 6 × 2 = 12 हैं।
Each of the 3 seal designs can be paired with any of the 5 signature styles. Thus, the multiplication principle gives 3 × 5 = 15 ways.3 मुहर-डिज़ाइनों में से प्रत्येक के साथ हस्ताक्षर की 5 में से कोई भी शैली चुनी जा सकती है। इसलिए गुणन सिद्धांत से 3 × 5 = 15 तरीके मिलते हैं।
For each of the 7 keyboard choices, there are 2 possible mouse choices. Therefore, by the fundamental principle of counting, the total number of selections is \(7 \times 2=14\). Adding them, \(7+2=9\), counts individual items, not keyboard-mouse pairs. Exam tip: Multiply the numbers of choices when one item is chosen from each separate group.प्रत्येक 7 कीबोर्ड विकल्पों के लिए 2 माउस विकल्प उपलब्ध हैं। अतः गुणन के मूल सिद्धांत से कुल चयन \(7 \times 2=14\) होंगे। \(7+2=9\) जोड़ने से केवल कुल अलग-अलग वस्तुओं की संख्या मिलती है, कीबोर्ड-माउस की जोड़ियों की संख्या नहीं। परीक्षा टिप: जब चयन क्रमशः अलग-अलग समूहों से करना हो, तो विकल्पों की संख्याओं को गुणा करें।
There are 5 choices for the museum, and for each museum there are 3 choices for the lunch place. By the fundamental principle of counting, the total number of choices is \(5 \times 3=15\). Option 8, obtained from \(5+3\), only adds the available options; successive independent choices require multiplication. Exam tip: Multiply the numbers of choices when every first choice can be paired with every second choice.संग्रहालय चुनने के 5 तरीके हैं। प्रत्येक संग्रहालय के लिए भोजन स्थान चुनने के 3 तरीके हैं। अतः गुणन सिद्धांत के अनुसार कुल तरीके \(5 \times 3=15\) हैं। विकल्प 8, \(5+3\), केवल विकल्पों की संख्या जोड़ता है; दो क्रमिक चुनावों के लिए जोड़ नहीं, गुणा किया जाता है। परीक्षा टिप: जब प्रत्येक पहले चुनाव के साथ दूसरे चुनाव के सभी विकल्प संभव हों, तो विकल्पों की संख्याओं का गुणन करें।
Each of the 4 sizes can be combined with any of the 8 background colors. Therefore, there are 4 × 8 = 32 choices.4 आकारों में से प्रत्येक के साथ पृष्ठभूमि के 8 रंगों में से कोई भी चुना जा सकता है। इसलिए कुल 4 × 8 = 32 विकल्प हैं।
For each of the 2 identity-proof options, there are 6 address-proof options. Hence, the total number of pairs is 2 × 6 = 12.पहचान के 2 विकल्पों में से प्रत्येक के साथ पते के 6 विकल्पों में से कोई एक चुना जा सकता है। इसलिए कुल जोड़े 2 × 6 = 12 हैं।
By the fundamental principle of counting, there are 9 choices for the group and 3 choices for the topic. Therefore, the total number of matches is \(9 \times 3=27\). The value 12 comes from \(9+3\), but independent choices are multiplied, not added. Exam tip: For successive choices connected by “and”, usually multiply the numbers of choices.मूल गणना सिद्धांत के अनुसार, एक समूह चुनने के 9 तरीके हैं और उसके लिए एक विषय चुनने के 3 तरीके हैं। अतः कुल मिलान \(9 \times 3=27\) होंगे। विकल्प 12, \(9+3\) से मिलता है, पर स्वतंत्र विकल्पों के संयोजन में जोड़ नहीं, गुणा किया जाता है। परीक्षा टिप: “और” वाले क्रमिक चयन में सामान्यतः विकल्पों की संख्याओं का गुणन करें।
Each of the 6 straps can be paired with any of the 4 dials. By the multiplication principle, 6 × 4 = 24 different watches can be made.6 पट्टियों में से प्रत्येक को 4 डायल में से किसी भी डायल के साथ जोड़ा जा सकता है। गुणन सिद्धांत से 6 × 4 = 24 अलग-अलग घड़ियाँ बनाई जा सकती हैं।
There are 5 choices for the subject category, and for each chosen category there are 7 choices for the marking scheme. By the fundamental principle of counting, the total number of choices is \(5 \times 7=35\). Option 49 comes from \(7 \times 7\), but there are only 5 categories. Exam tip: multiply the numbers of choices when independent selections are made in sequence.एक विषय श्रेणी चुनने के 5 तरीके हैं और प्रत्येक चुनी गई श्रेणी के लिए अंक योजना चुनने के 7 तरीके हैं। गुणन के मूल सिद्धांत के अनुसार कुल तरीके \(5 \times 7=35\) होंगे। विकल्प 49, \(7 \times 7\) से मिलता है, पर यहाँ केवल 5 श्रेणियां हैं। परीक्षा टिप: जब दो स्वतंत्र चुनाव क्रम से किए जाएँ, तो उनके विकल्पों की संख्याओं का गुणा करें।
This question uses the multiplication principle because each final identity-plate design contains two choices: one shape and one color. There are 3 possible shapes, and for each shape any of the 10 colors may be used. Therefore, the total number of shape-color combinations is 3 × 10 = 30. Option C is correct. The answer 13 comes from adding the numbers, which would count alternatives rather than complete designs. The value 20 has no basis in the stated choices, and 33 is another incorrect sum-like result. Both components are required, so their possibilities must be multiplied.यह प्रश्न गुणन सिद्धांत पर आधारित है, क्योंकि प्रत्येक पहचान पट्टिका के अंतिम डिज़ाइन में दो चुनाव होते हैं—एक आकार और एक रंग। आकार चुनने के 3 तरीके हैं और प्रत्येक आकार के लिए 10 रंगों में से कोई भी रंग चुना जा सकता है। इसलिए आकार-रंग संयोजनों की कुल संख्या 3 × 10 = 30 होगी। अतः विकल्प C सही है। 13 संख्याओं को जोड़ने से मिलता है, लेकिन इससे पूर्ण डिज़ाइनों के बजाय अलग-अलग विकल्प गिने जाते हैं। 20 का दिए गए विकल्पों से कोई आधार नहीं है और 33 भी गलत जोड़ जैसा परिणाम है। दोनों घटक आवश्यक हैं, इसलिए संभावनाओं का गुणा करना चाहिए।
There are 8 choices for the cover color and, for each chosen color, 3 choices for the page type. By the fundamental principle of counting, the total number of choices is \(8 \times 3=24\). Getting 11 would mean adding 8 and 3, but addition is used when choosing one option from separate alternatives. Exam tip: multiply the numbers of choices for successive independent selections.एक कवर रंग चुनने के 8 तरीके हैं और प्रत्येक रंग के लिए पृष्ठ प्रकार चुनने के 3 तरीके हैं। गुणन के मूल सिद्धांत के अनुसार कुल तरीके \(8 \times 3=24\) होंगे। 11 प्राप्त करने के लिए 8 और 3 को जोड़ा जाता है, पर जोड़ का नियम तब लागू होता है जब विकल्पों में से केवल एक चुनना हो। परीक्षा टिप: क्रमिक स्वतंत्र चुनावों के लिए विकल्पों की संख्याओं का गुणा करें।
The multiplication principle applies because each card design can be paired with any of the 9 envelope colors. Thus, the number of combinations is 4 × 9 = 36.गुणन सिद्धांत लागू होता है, क्योंकि प्रत्येक कार्ड डिज़ाइन के साथ 9 में से कोई भी लिफाफ़ा रंग चुना जा सकता है। इसलिए संयोजनों की संख्या 4 × 9 = 36 है।
The direct answer is option A: 40 codes. The code has three ordered positions: the first position has 4 choices, the second has 5 choices, and the third has 2 choices. Since one choice is made at every position and the choices are independent, multiply them: \(4\times5\times2=40\). Option A is correct. Option B, 20, leaves out one factor and counts only \(5\times2\) or an equivalent incomplete calculation. Option C, 11, adds the numbers instead of counting combinations of choices; addition is not suitable when every position must be filled. Option D, 80, is twice the correct product and gives no valid interpretation of the stated choices. The order of positions matters because a letter choice in the first position is different from the same type of choice in another position. A reliable method is to draw three boxes and write 4, 5, and 2 above them, then multiply the numbers above the boxes.सीधा उत्तर विकल्प A: 40 कोड है। कोड में तीन क्रमिक स्थान हैं। पहले स्थान के लिए 4 विकल्प, दूसरे के लिए 5 विकल्प और तीसरे के लिए 2 विकल्प हैं। हर स्थान भरना आवश्यक है और चुनाव स्वतंत्र हैं, इसलिए गुणन सिद्धान्त लगाएँ: \(4\times5\times2=40\)। विकल्प A सही है। विकल्प B का 20 एक गुणक छोड़ देने से मिलता है, इसलिए सभी कोड नहीं गिनता। विकल्प C का 11 संख्याओं को जोड़ने से मिलता है; जब हर स्थान भरना हो, तो जोड़ना नहीं बल्कि गुणा करना चाहिए। विकल्प D का 80 सही गुणनफल से दुगुना है और प्रश्न में ऐसा कोई अतिरिक्त चुनाव नहीं दिया गया है। इसे तीन खाली खाने बनाकर समझ सकते हैं: पहले खाने के ऊपर 4, दूसरे के ऊपर 5 और तीसरे के ऊपर 2 लिखें, फिर इन संख्याओं को गुणा करें। याद रखें: क्रमिक स्वतंत्र चरणों में कुल संभावनाएँ गुणा होती हैं।
The governing principle is the fundamental principle of counting: when a complete choice consists of independent stages, and the stages have m, n, and p possibilities, the total number of outcomes is m × n × p. Here there are 3 choices for the main dish, 4 choices for the drink, and 2 choices for the dessert. Therefore, total meal packs = 3 × 4 × 2 = 24. Each main dish can be paired with all 4 drinks and both desserts, so no combinations are omitted or repeated. Hence option B is correct. Adding the choices would not represent selecting one item from every category; 9, 12, and 18 arise from inappropriate operations.यह प्रश्न गणना के मूलभूत सिद्धांत पर आधारित है। जब किसी पूर्ण चयन में स्वतंत्र चरण हों और प्रत्येक चरण के लिए क्रमशः m, n तथा p विकल्प हों, तो कुल परिणाम m × n × p होते हैं। यहाँ मुख्य व्यंजन चुनने के 3 विकल्प, पेय चुनने के 4 विकल्प और मिठाई चुनने के 2 विकल्प हैं। इसलिए कुल भोजन पैक = 3 × 4 × 2 = 24। प्रत्येक मुख्य व्यंजन को हर पेय और हर मिठाई के साथ जोड़ा जा सकता है, इसलिए कोई संयोजन छूटता या दोहराया नहीं जाता। अतः विकल्प B सही है। विकल्पों को जोड़ना उचित नहीं है, क्योंकि प्रत्येक पैक में हर श्रेणी से एक वस्तु चुननी है।
The choices are made independently for the three stripe positions, so the fundamental counting principle gives 5 × 3 × 4 = 60 different flags.तीनों पट्टियों के लिए चुनाव स्वतंत्र हैं, इसलिए गणना के मूल सिद्धांत से कुल झंडे 5 × 3 × 4 = 60 होंगे।
The direct answer is option D: 36 selections. The student chooses one bag, one pen, and one notebook. These are three independent stages. There are 2 bag choices; for each bag there are 6 pen choices; for each bag-and-pen pair there are 3 notebook choices. Therefore the multiplication principle gives 2 × 6 × 3 = 12 × 3 = 36. Option D is correct. Option A, 11, is obtained by adding the numbers, but addition does not count complete selections containing one item from every category. Option B, 24, misses one factor or uses an incomplete calculation. Option C, 18, is also not the product of all three choice counts. The total is not the number of objects but the number of possible complete triples. Memory cue: for one choice from every independent group, multiply every group size once.सीधा उत्तर विकल्प D है: 36 चयन। विद्यार्थी को तीन स्वतंत्र चुनाव करने हैं—एक बैग, एक पेन और एक कॉपी। बैग चुनने के 2 तरीके हैं। प्रत्येक चुने हुए बैग के लिए पेन चुनने के 6 तरीके हैं, और प्रत्येक बैग-पेन जोड़ी के लिए कॉपी चुनने के 3 तरीके हैं। इसलिए गुणन सिद्धांत से कुल चयन 2 × 6 × 3 = 12 × 3 = 36 होंगे। विकल्प D सही है। विकल्प A, 11, संख्याओं को जोड़ने से मिलता है, लेकिन इससे पूरी चयन-त्रयी नहीं गिनी जाती। विकल्प B, 24, किसी एक गुणक को छोड़ देने या अधूरी गणना से मिल सकता है। विकल्प C, 18, भी तीनों विकल्पों का गुणनफल नहीं है। हमें वस्तुओं की कुल संख्या नहीं, बल्कि एक-एक वस्तु वाले पूर्ण चयन गिनने हैं। याद रखें: स्वतंत्र समूहों में प्रत्येक समूह से एक चुनाव हो तो हर समूह की संख्या को एक बार गुणा करें।
A plan includes one choice from each of the three categories. By the fundamental counting principle, the number of plans is 4 × 5 × 2 = 40.हर योजना में तीनों श्रेणियों से एक-एक विकल्प चुनना है। गणना के मूल सिद्धांत के अनुसार योजनाओं की संख्या 4 × 5 × 2 = 40 है।
The direct answer is option A: 24 ways. A complete uniform requires one shirt, one pair of trousers, and one pair of shoes. The choices are independent: 3 shirt choices, 2 trouser choices, and 4 shoe choices. For every shirt, there are 2 trouser choices, and for each such pair there are 4 shoe choices. Thus total complete uniforms = 3 × 2 × 4 = 6 × 4 = 24. Option A is correct. Option B, 9, comes from adding 3 + 2 + 4, which does not count combinations. Option C, 12, omits one factor or performs an incomplete product. Option D, 18, is not the product of the three available choices. No item is repeated and no restriction is stated, so every shirt can be paired with every trouser and every shoe. Exam cue: the word ‘complete’ means one selection from each required category, so use multiplication.सीधा उत्तर विकल्प A है: 24 तरीके। पूरी वर्दी बनाने के लिए एक कमीज, एक पतलून और एक जोड़ी जूते चुनने हैं। ये चुनाव स्वतंत्र हैं: कमीज के 3 विकल्प, पतलून के 2 विकल्प और जूतों के 4 विकल्प हैं। हर कमीज के साथ 2 पतलून चुनी जा सकती हैं और हर ऐसी जोड़ी के साथ 4 जूतों के विकल्प हैं। इसलिए कुल पूर्ण वर्दियाँ 3 × 2 × 4 = 6 × 4 = 24 हैं। विकल्प A सही है। विकल्प B, 9, 3 + 2 + 4 जोड़ने से मिलता है, लेकिन जोड़ से संयोजन नहीं गिने जाते। विकल्प C, 12, किसी एक गुणक को छोड़ देने या अधूरी गणना का परिणाम है। विकल्प D, 18, तीनों विकल्पों का गुणनफल नहीं है। प्रश्न में कोई प्रतिबंध नहीं दिया गया, इसलिए हर कमीज को हर पतलून और हर जूते के विकल्प के साथ जोड़ा जा सकता है। परीक्षा संकेत: ‘पूरी’ वस्तु के लिए प्रत्येक आवश्यक श्रेणी से एक चुनाव हो, तो गुणा करें।
There are 7 choices for the first position, 4 for the second, and 3 for the third. Since one choice is made for each position, the total is 7 × 4 × 3 = 84 passcodes.पहले स्थान के लिए 7, दूसरे के लिए 4 और तीसरे के लिए 3 विकल्प हैं। हर स्थान के लिए एक विकल्प चुनने पर कुल पासकोड 7 × 4 × 3 = 84 होंगे।
To form one book choice, three independent selections are made: one of 6 subjects, one of 2 cover types, and one of 5 sizes. By the fundamental principle of counting, the total number of choices is \(6 \times 2 \times 5=60\). The value 30 comes from \(6 \times 5\) and incorrectly ignores the 2 cover-type choices. Exam tip: Multiply the number of choices when every choice at one stage can be combined with every choice at the next stage.एक पुस्तक विकल्प बनाने के लिए तीन स्वतंत्र चुनाव किए जाते हैं: 6 विषयों में से एक, 2 कवर प्रकारों में से एक और 5 आकारों में से एक। गुणन के मूल सिद्धांत के अनुसार कुल तरीके \(6 \times 2 \times 5=60\) होंगे। विकल्प 30 केवल \(6 \times 5\) लेने पर मिलता है, जिसमें कवर प्रकारों के 2 विकल्प शामिल नहीं होते। परीक्षा टिप: जब प्रत्येक चरण का हर विकल्प अगले चरण के प्रत्येक विकल्प के साथ जुड़ सकता हो, तो विकल्पों की संख्या गुणा करें।
There are 4 choices for the class, 3 for the subject, and 6 for the test type. By the multiplication principle, the total is 4 × 3 × 6 = 72 ways.कक्षा के 4, विषय के 3 और टेस्ट प्रकार के 6 विकल्प हैं। गुणन सिद्धांत के अनुसार कुल तरीके 4 × 3 × 6 = 72 हैं।
For each decoration, choose one of 5 wall colours, one of 2 curtain options, and one of 4 lamp options. Since these choices are independent, the multiplication principle gives \(5 \times 2 \times 4=40\) decorations. Adding them to get \(5+2+4=11\) is incorrect because choices are being made at successive stages. Exam tip: multiply the numbers of choices when independent selections occur in separate steps.प्रत्येक सजावट के लिए 5 दीवार रंगों में से एक, 2 पर्दों में से एक और 4 लैंप विकल्पों में से एक चुना जाता है। ये चयन स्वतंत्र हैं, इसलिए गुणन सिद्धांत से कुल सजावटें \(5 \times 2 \times 4=40\) होंगी। \(5+2+4=11\) जोड़ना गलत है, क्योंकि यहाँ विकल्पों में से क्रमिक चयन किए जा रहे हैं। परीक्षा टिप: अलग-अलग चरणों के स्वतंत्र विकल्प हों, तो उनके विकल्पों की संख्या गुणा करें।
The governing concept is the fundamental principle of counting: when a task is completed through independent successive choices, the numbers of choices are multiplied. The kit requires one bat, one ball and one glove. There are 3 possible bat selections; for each selected bat, there are 5 possible ball selections, giving 3 × 5 = 15 bat-ball pairs. Each such pair can be combined with any of the 4 glove options, so the total is 3 × 5 × 4 = 60. Therefore option D is correct. Option A adds the numbers, while options B and C multiply only two of the three required choice stages and therefore do not count complete kits.यहाँ गणना का मूल सिद्धांत लागू होता है। जब कोई चयन स्वतंत्र और क्रमिक चरणों में पूरा होता है, तो प्रत्येक चरण के विकल्पों की संख्याओं को गुणा किया जाता है। किट के लिए एक बल्ला, एक गेंद और एक दस्ताना चुनना है। बल्ले के 3 विकल्प हैं और प्रत्येक बल्ले के साथ गेंद के 5 विकल्प चुने जा सकते हैं, इसलिए बल्ले और गेंद के 3 × 5 = 15 युग्म बनते हैं। प्रत्येक युग्म के साथ 4 दस्ताना विकल्पों में से कोई भी चुना जा सकता है। अतः कुल तरीके 3 × 5 × 4 = 60 हैं और सही उत्तर विकल्प D है। विकल्प A जोड़ करता है, जबकि B और C तीनों स्वतंत्र चयन चरणों को पूरा नहीं गिनते।
