Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
"केवल \(B\)" का अर्थ है वे तत्त्व जो \(B\) में हैं पर \(A\) में नहीं। सामान्य नियम: केवल \(B\)=\(n(B)-n(A\cap B)\)। यहाँ \(n(B)-n(A\cap B)=57-23=34\)। इसलिए उत्तर 34 है। विकल्पों का संक्षिप्त विश्लेषण: 23 केवल सम्मिलन (intersection) का मान है, 57 समूचे \(B\) के तत्त्व हैं (जिसमें intersection भी शामिल है), और 80 गलती से जोड़ा गया मान \(57+23\) है। परीक्षा टिप: वेन आरेख पर पहले \(A\cap B\) लिखें और फिर प्रत्येक सेट के "केवल" हिस्से के लिए कुल से intersection घटा दें। / "Only B" means elements in B but not in A, i.e. B\A. Use the formula: only B = \(n(B)-n(A\cap B)\). Substituting gives \(57-23=34\), so 34 elements are only in B. Distractor notes: 23 is just the intersection, 57 is the total of B including the intersection, and 80 is the incorrect sum \(57+23\). Exam tip: draw a two-set Venn diagram, label the intersection first, then subtract it from each set total to get the "only" regions.
प्रतिच्छेद (intersection) केवल वे तत्व देता है जो दोनों समुच्चयों में साथ-साथ उपस्थित हों। A और B में सामान्य तत्व हैं b, d और h, अतः \(A \cap B = \{b, d, h\}\)। विकल्प D गलत है क्योंकि वह दोनों समुच्चयों का संघ (union) है; विकल्प A और B केवल एक-एक समुच्ची के अनन्य तत्व हैं। परीक्षा-सुझाव: हर सम्भव तत्व पर जाँच करें कि वह दोनों सेटों में मौजूद है या नहीं। / The intersection contains only those elements that appear in both sets. The common elements of A and B are b, d and h, so \(A \cap B = \{b, d, h\}\). Option D is the union (all elements from both sets) and hence incorrect; options A and B list elements belonging only to A or only to B. Exam tip: check each element one by one to see if it is present in both sets before choosing the answer.
\(B\cap A^c\) का अर्थ है वे तत्त्व जो समूह \(B\) में हैं और साथ ही समूह \(A\) में नहीं हैं। यही परिभाषा सेट अंतर \(B - A\) (या \(B\setminus A\)) की है, इसलिए उत्तर \(B - A\) सही है। विकल्प \(A - B\) उल्टा है (वे तत्त्व जो \(A\) में हैं पर \(B\) में नहीं) इसलिए गलत है। \(A\cap B\) केवल दोनों में होने वाले तत्त्व देता है, और \(B\cup A^c\) बहुत बड़ा सेट देगा — दोनों ही गलत भिन्नताएँ हैं। परीक्षा-टिप: वेन आरेख पर क्षेत्र को शेड करके याद करें कि "\(\cap A^c\)" का मतलब है "\(A\) के बाहर"। / \(B\cap A^c\) means the elements that are in \(B\) and not in \(A\). That is exactly the set difference \(B - A\) (also written \(B\setminus A\)), so option B is correct. Option A, \(A - B\), is the opposite (elements in \(A\) but not in \(B\)), so it is incorrect. \(A\cap B\) gives only elements common to both, and \(B\cup A^c\) is a much larger set; both do not match the required definition. Exam tip: shade the region for \(B\) then remove the overlap with \(A\) to visualize \(B\cap A^c\).
कम से कम एक का मतलब है A∪B। समावेशन‑अपवर्जन सूत्र के अनुसार: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). यहाँ \(58+49-22=85\)। इसलिए 85 विद्यार्थी कम से कम एक कला सीखते हैं। उत्तर 71 (निकट भ्रमित विकल्प) तब आएगा अगर कोई गलत तरीके से आपसी गिनती या भिन्न मान (जैसे 36) मान ले; 107 तब होगा जब आप दोनों समूहों को जोड़कर आपसी सदस्य को घटाना भूल जाएँ (58+49=107)। परीक्षा‑टिप: वैंकविन्य चिह्नों में हमेशा दोनों का हिस्सा केवल एक बार गिनें—समावेशन‑अपवर्जन सूत्र याद रखें। / "At least one" means the union A∪B. By the inclusion–exclusion formula: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). Here \(58+49-22=85\), so 85 students learn at least one art. The choice 71 is a nearby wrong answer that can result from using an incorrect intersection value or double‑subtracting; 107 is the common mistake of adding 58 and 49 without subtracting the overlap. Exam tip: always apply the inclusion–exclusion formula so shared members are counted only once.
असंबद्ध समुच्चयों का अर्थ है कि उनके बीच कोई सामान्य (common) तत्त्व नहीं होता। यह शर्त गणितीय रूप में \(A\cap B=\varnothing\) से व्यक्त होती है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(A\cup B=\varnothing\) तब ही सत्य होगा जब दोनों समुच्चय शून्य (खाली) हों; असंबद्धता का यह आवश्यक अर्थ नहीं है। विकल्प C गलत है क्योंकि असंबद्धता से यह नहीं कहा जा सकता कि दोनों समुच्चय समान हैं। विकल्प D भी आवश्यक रूप से सत्य नहीं है — एक समुच्चय का दूसरे में शामिल होना असंबद्धता से निष्कर्षित नहीं होता। परीक्षा सुझाव: असंबद्धता के लिए तुरंत इंटरसेक्शन जांचें — Venn चित्र में ओवरलैप शून्य होना चाहिए। / Disjoint sets have no common elements, which is expressed as \(A\cap B=\varnothing\). Option B is incorrect because \(A\cup B=\varnothing\) would mean both A and B are empty; disjointness does not require emptiness. Option C is wrong since disjointness does not imply A equals B. Option D is not necessarily true because being a subset is unrelated to having no common elements. Exam tip: For disjoint sets always check the intersection (Venn diagram overlap must be empty).
सेट \(A\) को दो आपस में विषम भागों में लिखा जा सकता है: \(A-B\) (जो केवल A में है) और \(A\cap B\) (दोनों का सामान्य भाग)। इसलिए परिमाणों का जोड़ लेना चाहिए: \(n(A)=n(A-B)+n(A\cap B)=32+18=50\)। सबसे नजदीकी विकर्षक 32 है — यह केवल \(A-B\) का मान है, न कि पूरा \(A\)। विकल्प 14 गलत है क्योंकि वह गलत तरीके से घटा (\(32-18\)) दिखाई देता है। परीक्षा सुझाव: किसी सेट के कुल सदस्यों के लिए पहले उसे disjoint हिस्सों में विभाजित करें और फिर उनके कार्डिनेलिटी जोड़ें। / Set \(A\) splits into two disjoint parts: \(A-B\) (elements only in A) and \(A\cap B\) (the common part). So their cardinalities add: \(n(A)=n(A-B)+n(A\cap B)=32+18=50\). The closest distractor 32 mistakes \(A-B\) for the whole A; 14 would come from an incorrect subtraction \(32-18\). Exam tip: break a set into disjoint regions and add their sizes to find total cardinality.
सूट सिद्धांत से \(n(A\cup B)\) के अंदर तीन क्षेत्र होते हैं: \(A-B,\; A\cap B\) और \(B-A\)। इसलिए \(n(A\cup B)=n(A-B)+n(A\cap B)+n(B-A)\)। अब \(n(B-A)=92-35-24=33\)। विकल्प B (59) गलत है क्योंकि वह केवल \(n(A-B)+n(A\cap B)=35+24\) का योग है — यानी union में B−A को शामिल नहीं किया गया। परीक्षा टिप: वैन डायग्राम बनाकर तीन अंतःक्षेत्रों पर संख्या लिखें; फिर कुल संघ से ज्ञात दो भाग घटाएं। / For two sets the union splits into three regions: \(A-B,\; A\cap B\) and \(B-A\). So \(n(A\cup B)=n(A-B)+n(A\cap B)+n(B-A)\). Hence \(n(B-A)=92-35-24=33\). Option B (59) is incorrect because it equals only \(n(A-B)+n(A\cap B)=35+24\), omitting the \(B-A\) part. Exam tip: draw a Venn diagram, label the three regions, and use the union formula to solve quickly.
पहले \(n(A\cup B)\) निकालें: \(n(A\cup B)=n(U)-n((A\cup B)^c)=100-18=82\)। संघ का सूत्र उपयोग करें: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)। अतः \(n(A\cap B)=48+46-82=12\)। विकल्प 14 गलत है क्योंकि वह मिश्रण (union) को \(80\) मानने पर मिलेगा; वास्तविक \(n(A\cup B)\) = 82 है, इसलिए अन्तर 12 होना चाहिए। परीक्षा टिप: कभी भी \(n((A\cup B)^c)\) दिया हो तो पहले कुल यूनियन निकालें फिर संघ-संबंधित सूत्र लगाएँ। / First find \(n(A\cup B)\): \(n(A\cup B)=n(U)-n((A\cup B)^c)=100-18=82\). Use the union formula \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). So \(n(A\cap B)=48+46-82=12\). Option 14 is wrong because it would correspond to assuming the union is 80 instead of the correct 82. Exam tip: when the complement of a union is given, compute the union from the universal set first, then apply the union formula to get the intersection.
सेटों के लिए सूत्र है \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)। यहाँ \(n(A\cap B)=0\) है, इसलिए \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)\)। दिए अनुसार \(76=31+n(B)\), अतः \(n(B)=76-31=45\)। नज़दीकी गलत विकल्पों का संक्षिप्त कारण: 31 केवल \(n(A)\) है, इसे \(n(B)\) समझना भ्रम है; 76 यूनियन का मान है, इसे \(n(B)\) मानना भी गलत होगा। परीक्षा सुझाव: यूनियन और इंटरसेक्शन के सूत्र याद रखें और पहले इंटरसेक्शन की वैल्यू को घटाएँ (यदि शून्य न हो)। / Use the formula \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). Since \(n(A\cap B)=0\), we have \(76=n(A)+n(B)=31+n(B)\). So \(n(B)=76-31=45\). Why other choices are wrong: 31 is just \(n(A)\), not \(n(B)\); 76 is the union size, not the size of B; 107 would be an incorrect sum (31+76). Exam tip: always apply the union formula and substitute the intersection value first—if intersection is zero, union is just the sum of individual sizes.
