Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
सही उत्तर इसलिए: पूरक का क्रमफल दिया जाता है \(n(A')=n(U)-n(A)\)। यहाँ \(n(A')=38-16=22\)। अन्य विकल्प क्यों गलत हैं: 16 केवल सेट A का तत्व-गण है, 38 सम्पूर्ण समूह U की संख्या है, और 54 गलत है (यह जोड़ने पर आता है)। परीक्षात्मक सुझाव: पूरक निकालते समय हमेशा \(n(U)-n(A)\) फार्मूला याद रखें और पहले दोनों मान सही प्रकार से पहचान लें। / Why this is correct: The number in the complement is given by \(n(A')=n(U)-n(A)\). So \(n(A')=38-16=22\). Why other options are wrong: 16 is the size of A, not its complement; 38 is the size of the universal set U; 54 is incorrect (would result from adding). Exam tip: Always apply \(n(A')=n(U)-n(A)\) and verify you are subtracting from the universal set count.
पूर्ण पूरक का अर्थ है यूनिवर्सल सेट \(U\) के वे तत्त्व जो सेट \(A\) में नहीं हैं, यानी \(A'=U\setminus A\)। यहाँ \(U\) से \(A\) के तत्त्व \(1,4,6\) हटा दें तो शेष \(2,3,5\) बचते हैं। अतः \(A'=\{2,3,5\}\)। विकल्प A गलत है क्योंकि वह \(A\) स्वयं है, विकल्प C गलत है क्योंकि वह पूरा यूनिवर्सल सेट है, और विकल्प D गलत है क्योंकि पूरक खाली सेट तभी होगा जब \(A=U\) होता। परीक्षा टिप: हमेशा \(U\) के तत्त्व में से \(A\) के तत्त्व काटकर शेष लिखें। / The complement of A means the elements of the universal set U that are not in A, i.e. \(A'=U\setminus A\). Removing \(1,4,6\) (elements of A) from U leaves \(2,3,5\). Therefore \(A'=\{2,3,5\}\). Option A is wrong because it is A itself, option C is wrong because it is the whole universal set U, and option D is wrong because the empty set would be the complement only if A=U. Exam tip: to find a complement, cross out A's elements from U and list what remains.
पहले संघ निकालें: \(A\cup B = \{a,b,c,d\}\). यूनिवर्स सेट U में से उन तत्वों को लें जो इस संघ में नहीं हैं: अर्थात् \((A\cup B)' = U - (A\cup B) = \{e,f\}\). विकल्प B (\{a,c\}) सबसे भ्रामक है क्योंकि उसमें ऐसे तत्व हैं जो संघ में हैं; पूरक में केवल उन तत्वों को होना चाहिए जो संघ में नहीं हैं। परीक्षा‑टिप: रणनीति—पहले \(A\cup B\) लिखें, फिर U के संदर्भ में उसके पूरक के तत्व चुनें। / Compute the union first: \(A\cup B = \{a,b,c,d\}\). The complement relative to U consists of elements of U not in that union, so \((A\cup B)' = U\setminus(A\cup B) = \{e,f\}\). Distractor B (\{a,c\}) is tempting but incorrect because it contains elements that belong to the union; complements must contain only elements outside the union. Exam tip: always find the union, then list elements of U not in that union to get the complement.
यदि \(n(U)=64\), केवल \(A\) में 18 तत्त्व हैं, \(A\cap B\) में 12 तत्त्व हैं और केवल \(B\) में 20 तत्त्व हैं, तो बाहरी क्षेत्र (यानी \(U\) में परन्तु \(A\cup B\) के बाहर) में कितने तत्त्व होंगे?
\(A\cup B\) के भीतर आने वाले हिस्से हैं: केवल \(A\)=18, केवल \(B\)=20 और साझा भाग \(A\cap B\)=12। इसलिए \(A\cup B\) में कुल तत्त्व = \(18+12+20=50\)। कुल यूनिवर्स सेट \(n(U)=64\) है, अतः बाहर के तत्त्व = \(64-50=14\)। निकटतम भ्रामक विकल्प 50 इसलिए गलत है क्योंकि वह वास्तव में \(A\cup B\) के भीतर के तत्त्वों की संख्या है न कि बाहर की। परीक्षात्मक टिप: पहले \(A\cup B\) का मान निकालें \(केवल A + केवल B + A\cap B\) और फिर उसे \(n(U)\) से घटाएँ। / The regions inside \(A\cup B\) are: only A = 18, only B = 20, and the intersection \(A\cap B\) = 12. So size of \(A\cup B\) = \(18+12+20=50\). Since \(n(U)=64\), the outside (complement) has \(64-50=14\) elements. The closest distractor 50 is incorrect because it counts the elements inside the union, not outside. Exam tip: compute the union total first and subtract from \(n(U)\) to get the complement count.
कोई भी तत्व \(x\in U\) के लिए या तो \(x\in A\) होगा या \(x\notin A\) होगा (यही \(A'\) की परिभाषा है)। यदि \(x\in A\) तो \(x\in A\cup A'\) और यदि \(x\notin A\) तो \(x\in A'\) इसलिए फिर भी \(x\in A\cup A'\)। अतः हर \(x\in U\) भी \(x\in A\cup A'\) होगा, यानी \(U\subseteq A\cup A'\)। दूसरी ओर \(A\cup A'\) का कोई भी तत्व स्वाभाविक रूप से \(U\) में है, इसलिए \(A\cup A'=U\)। विकल्प \(A\) नजदीकी भ्रामक है क्योंकि \(A\) केवल उन तत्वों का समूह है जो खुद सेट \(A\) में हैं, पर \(A\cup A'\) में \(A\) के बाहर के तत्व भी आते हैं। परीक्षा टिप: तत्व-आधारित तर्क (element-wise proof) या वेन आरेख में शेडिंग से यह पहचानना तेज होता है। / For any element \(x\in U\) either \(x\in A\) or \(x\notin A\) (the latter means \(x\in A'\)). If \(x\in A\) then \(x\in A\cup A'\); if \(x\notin A\) then \(x\in A'\) so again \(x\in A\cup A'\). Thus every element of \(U\) belongs to \(A\cup A'\), so \(U\subseteq A\cup A'\). The reverse inclusion is obvious, hence \(A\cup A'=U\). Option \(A\) is a common distractor: \(A\) may be a proper subset of \(U\), so it cannot equal the union with its complement. Exam tip: use an element-wise argument or shade the Venn diagram to verify quickly.
यदि \(A'\) को A का पूरक माना जाए तो \(A'\) में वे ही तत्व होते हैं जो A में नहीं हैं। कोई भी तत्व एक ही समय पर किसी सेट और उसके पूरक दोनों में नहीं हो सकता। इसलिए \(A\cap A' = \varnothing\)। सबसे नज़दीकी भ्रम पैदा करने वाला विकल्प \(A'\) है, पर वह A का पूरक है न कि दोनों का इंटरसेक्शन। परीक्षा-सुझाव: सेट और उसके पूरक का इंटरसेक्शन हमेशा शून्य समुच्चय होता है — यह सूत्र याद रखें। / By definition, \(A'\) (the complement of A) contains exactly those elements not in A. No element can belong to both A and its complement simultaneously, so \(A\cap A' = \(\varnothing\)\). The closest distractor is \(A'\), but that denotes all elements outside A, not the intersection of A and its complement. Exam tip: remember that a set intersected with its complement is always the empty set.
समुच्चय के गुणों के अनुसार \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)। यहाँ \(n(A\cup B)=45+40-15=70\)। किसी समुच्चय का अतिरिक्त (complement) लेने पर कुल से उसे घटाते हैं: \(n((A\cup B)')=n(U)-n(A\cup B)=100-70=30\)। विकल्प C (70) केवल \(A\cup B\) की संख्या है, यह अतिरिक्त नहीं है; विकल्प B (40) शायद केवल \(B\) की संख्या है — यह भी गलत तर्क है। परीक्षा संकेत: पहले हमेशा \(n(A\cup B)\) का मान निकालें फिर अतिरिक्त के लिए \(n(U)-n( \, )\) का उपयोग करें। / By the union formula, \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). Thus \(n(A\cup B)=45+40-15=70\). The complement count is total minus this: \(n((A\cup B)')=n(U)-n(A\cup B)=100-70=30\). Option C (70) gives the size of \(A\cup B\), not its complement; option B (40) is just \(n(B)\) and is not the complement. Exam tip: compute \(n(A\cup B)\) first, then subtract from \(n(U)\) for complements.
