Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
सममिति के कारण अधिकतम (x=3) पर है और मान \(2\sqrt{3}\) है। ऐसे रूप में दोनों पद बराबर करने की कोशिश करें। / By symmetry the maximum occurs at (x=3), and the value is \(2\sqrt{3}\). In such forms try making the two terms equal.
इस अंतराल में (|x|) का न्यूनतम (2) और अधिकतम (5) है। ऋणात्मक प्रांत में \(x^2\) घटता दिख सकता है पर मान धनात्मक रहते हैं। / On this interval, the minimum of (|x|) is (2) and the maximum is (5). On a negative domain \(x^2\) may decrease, but values remain positive.
\(y=\frac{x}{x^2+1}\) से \(yx^2-x+y=0\) मिलता है और विविक्तकर \(\ge0\) देने पर \(|y|\le\frac{1}{2}\)। परिसर के लिए विविक्तकर विधि उपयोगी है। / From \(y=\frac{x}{x^2+1}\), we get \(yx^2-x+y=0\), and discriminant \(\ge0\) gives \(|y|\le\frac{1}{2}\). The discriminant method is useful for range.
हर ((x+1)2+1) और (f(x)=1+\frac{3}{(x+1)2+1}) है। इसलिए मान (1) से बड़े और \(\frac{5}{2}\) तक हैं। / The denominator is ((x+1)2+1), and (f(x)=1+\frac{3}{(x+1)2+1}). Hence values are greater than (1) and up to \(\frac{5}{2}\).
\(|x|+1\ge1\) इसलिए अधिकतम (1) है और (0) प्राप्त नहीं होता। हर के अनंत होने पर भिन्न (0) के पास जाती है। / Since \(|x|+1\ge1\), the maximum is (1), and (0) is not attained. As the denominator grows without bound, the fraction approaches (0).
वर्गमूल के लिए \(|x|-3\ge0\) यानी \(|x|\ge3\) चाहिए। निरपेक्ष असमानता में बाहरी भाग चुने जाते हैं। / The square root requires \(|x|-3\ge0\), so \(|x|\ge3\). For this absolute inequality, the outside intervals are selected.
दो स्थिर बिंदुओं से दूरी के अंतर का मान उनकी दूरी (3) से अधिक नहीं होता। इसलिए परिसर ( [-3,3] ) है। / The difference of distances from two fixed points cannot exceed their distance (3). Therefore the range is ([-3,3]).
हर में \(\sqrt{x-2}\) है इसलिए (x>2), और \(\sqrt{8-x}\) से \(x\le8\) है। हर के कारण (2) हटेगा पर (8) रहेगा। / Since \(\sqrt{x-2}\) is in the denominator, (x>2), and \(\sqrt{8-x}\) gives \(x\le8\). Because of the denominator (2) is excluded but (8) remains.
अंदर का पद ((x+3)2+1\ge1) है। वर्गमूल लेने पर न्यूनतम मान (1) मिलता है। / The inside expression is ((x+3)2+1\ge1). Taking the square root gives the minimum value (1).
(f(x)=1-\frac{2}{x-2+1}) है इसलिए न्यूनतम (-1) और ऊपरी सीमा (1) अप्राप्त है। रूप बदलकर परिसर जल्दी मिलता है। / Here (f(x)=1-\frac{2}{x-2+1}), so the minimum is (-1), and the upper bound (1) is not attained. Rewriting the expression quickly gives the range.
