Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
किसी फ़ंक्शन या पॉलिनोम के ग्राफ़ पर बिंदु \\((a,p(a))\\) होता है। जब \(p(0)=0\) तो \(x=0\) पर \(y=p(0)=0\) होगा, अतः ग्राफ़ बिंदु \\((0,0)\\) अर्थात् मूल बिंदु से गुजरेगा। विकल्प (1,0) भ्रमित करने के लिए है — केवल इसलिए कि y=0 है — पर \(p(1)\) के बारे में कोई जानकारी नहीं दी गयी, अतः वह सत्य नहीं है। परीक्षा-सूत्र: किसी भी पॉलिनोम के शून्य की जाँच के लिए उस x का मान रखें; यदि \(p(a)=0\) हो तो ग्राफ़ पर बिंदु \\((a,0)\\) मौजूद होगा। / For a function or polynomial the graph contains points of the form \\((a,p(a))\\). If \(p(0)=0\), then at \(x=0\) we have \(y=p(0)=0\), so the graph passes through \\((0,0)\\) — the origin. Option (1,0) is a plausible distractor but is wrong because \(p(1)\) is not given; you cannot assume \(p(1)=0\). Quick exam tip: evaluate the polynomial at the given x; whenever \(p(a)=0\), the graph crosses the x-axis at \\((a,0)\\).
किसी बहुपद का ग्राफ x-अक्ष पर तभी कटेगा जब उस बिंदु पर बहुपद का मान (y) शून्य हो। x=0 पर कटने का अर्थ है कि x में 0 डालने पर p(0)=0 होना चाहिए। विकल्प B में p(0)=5 है — y शून्य नहीं है इसलिए ग्राफ x-अक्ष पर नहीं कटेगा। विकल्प C में p(1)=0 है, पर वह x=1 पर कटता है, न कि x=0 पर। विकल्प D में p(-1)=1 है, जो न तो शून्य है और न ही x=0 का स्थान है। परीक्षा-सूत्र: किसी दिए x-वस्तु के लिए बहुपद में वह मान डालकर तुरंत जाँच करें कि मान शून्य है या नहीं। / A polynomial intersects the x-axis at a point only if its value (y) at that x is zero. To intersect at x = 0 we must have p(0) = 0. Option B gives p(0)=5 so the value is not zero and the graph does not meet the x-axis at x=0. Option C has a zero at x=1, so the intersection is at x=1, not x=0. Option D yields p(-1)=1, which is not zero. Exam tip: substitute the specified x into the polynomial — if the result is 0, the graph crosses the x-axis at that x-coordinate.
किसी बहुपद का शून्यक वह x-मान होता है जहाँ बहुपद का मान शून्य हो, यानी जहाँ ग्राफ x-अक्ष (y=0) को काटता है। बिंदु \((a,0)\) में x-निर्देशांक \(a\) है, अतः शून्यक \(a\) होगा। विकल्प \(0\) गलत है क्योंकि वह y-निर्देशांक है; \(-a\) और \(a^2\) भी उस बिंदु के x-निर्देशांक नहीं हैं। परीक्षा टिप: x-अक्ष पर कटने वाले बिंदु में हमेशा y=0 होता है — इसलिए शून्यक सीधे x-कोऑर्डिनेट होता है। / The zero of a polynomial is the x-value where the polynomial equals zero, i.e., where the graph meets the x-axis (y=0). At the point \((a,0)\) the x-coordinate is \(a\), so the zero is \(a\). Option \(0\) is incorrect because that is the y-coordinate at the intersection; \(-a\) and \(a^2\) are not the x-coordinate of the given point. Exam tip: when a graph intersects the x-axis, read off the x-coordinate — that is the zero (root).
शून्यक वही (x)-मान हैं जहाँ ग्राफ (x)-अक्ष को काटता या छूता है। इसलिए इन्हें (x)-अवरोध से जोड़ा जाता है। / Zeroes are the (x)-values where the graph cuts or touches the (x)-axis. Hence they are linked with (x)-intercepts.
कटना और छूना दोनों (x)-अक्ष से मिलना है। यदि दोनों बिंदु अलग हैं, तो दो अलग वास्तविक शून्यक होंगे। / Both cutting and touching count as meeting the (x)-axis. If the two points are distinct, there are two distinct real zeroes.
बिंदु \\( (8,0) \\) का अर्थ है कि उस x-अवस्थान पर गुणनफल (फंक्शन) का मान y=0 है। इसलिए \\(p(8)=0\\)। विकल्प \\(8\\) भ्रमित करने वाला है क्योंकि वह x-निर्देशांक है न कि फंक्शन का मान। परीक्षा-टिप: x-अक्ष पर किसी बिंदु पर हमेशा y=0 होता है, इसलिए उस x का प्रतिस्थापन करने पर फंक्शन शून्य होना चाहिए। / The point \\( (8,0) \\) means that at x=8 the function value y is 0. Hence \\(p(8)=0\\). Option \\(8\\) is a common trap — it is the x-coordinate, not the value of the polynomial. Exam tip: any intersection with the x-axis gives a root, so substitute the x-value to get zero.
यदि \(p(-6)=0\) है तो बहुपद का मान \(x=-6\) पर शून्य है, यानी ग्राफ का य‑निर्मित मान \(y=0\) होगा। इसलिए बिंदु \((-6,0)\) ग्राफ पर होगा। विकल्प B गलत है क्योंकि वहाँ x का मान +6 है न कि −6; विकल्प C और D y‑अवरोधक (x=0 पर y≠0) हैं, जो शून्य होने की परिभाषा से मेल नहीं खाते। परीक्षा‑टिप: किसी भी रूप में दिए गए "zero" या "root" का मतलब है कि वह x‑मान ग्राफ का x‑अक्ष (y=0) पर इंटरसेप्ट देता है। / \(p(-6)=0\) means the polynomial equals zero at \(x=-6\), so the graph has \(y=0\) when \(x=-6\). Hence the point \((-6,0)\) lies on the graph. Option B is wrong because it uses \(x=6\) instead of \(x=-6\). Options C and D are y‑intercepts (x=0) and do not represent a zero of the polynomial. Exam tip: a root/zero \(p(a)=0\) corresponds to the x‑intercept \((a,0)\).
वास्तविक शून्यक ग्राफ और (x)-अक्ष के साझा बिंदुओं से मिलते हैं। साझा बिंदु न हो तो वास्तविक शून्यक नहीं होगा। / Real zeroes are obtained from common points of the graph and the (x)-axis. If there is no common point, there is no real zero.
x-अक्ष पर स्पर्श करने वाला बिंदु उस बहुपद का शून्यक (root) होता है क्योंकि उस बिंदु पर \,p(x)=0\\ होता है। "स्पर्श" का अर्थ यह है कि जड़ की गुणनशीलता (multiplicity) सम (even) हो सकती है, परन्तु वह अंक फिर भी वास्तविक शून्यक ही है। इसलिए अलग वास्तविक शून्यक x = -2 है। विकल्प B (2) गलत है क्योंकि वह बिंदु +2 पर होगा, विकल्प C (0) गलत है क्योंकि शून्य (origin) दिया ही नहीं गया, और विकल्प D (कोई नहीं) गलत है क्योंकि स्पर्श करने वाला बिंदु निश्चित रूप से शून्यक देता है। टिप: परीक्षा में "touches" = even multiplicity; "cuts" = odd multiplicity। / A point where the graph touches the x-axis is a real root because at that point p(x)=0. "Touches" usually indicates an even multiplicity root, but regardless of multiplicity it is still a zero of the polynomial. Thus the distinct real zero is x = -2. Option B (2) is wrong because the given x-coordinate is -2, not +2; option C (0) is wrong because the origin is not the given intercept; option D (None) is wrong because a touching point is indeed a root. Exam tip: remember that "touches" implies an even multiplicity root, while "cuts" implies an odd multiplicity.
शून्यक (x)-अक्ष के कटाव बिंदुओं के (x)-निर्देशांक होते हैं। इसलिए शून्यक (r) और (s) हैं। / Zeroes are the (x)-coordinates of the points where the graph cuts the (x)-axis. Hence the zeroes are (r) and (s).
