सह-टर्मिनल कोणों का अंतर \(2\pi\) का पूर्णांक गुणज होता है। यहाँ \(2\pi=\frac{14\pi}{7}\) है। \(\frac{31\pi}{7}\) में से \(4\pi=\frac{28\pi}{7}\) घटाने पर \(\frac{31\pi}{7}-\frac{28\pi}{7}=\frac{3\pi}{7}\) प्राप्त होता है। यह धनात्मक है और सभी धनात्मक सह-टर्मिनल कोणों में सबसे छोटा है। \(\frac{17\pi}{7}\) भी सह-टर्मिनल है, पर उससे \(2\pi\) घटाने पर \(\frac{3\pi}{7}\) मिलता है; \(\frac{10\pi}{7}\) सह-टर्मिनल नहीं है। परीक्षा टिप: कोण को \([0,2\pi)\) में लाने के लिए \(2\pi\) के उचित गुणज जोड़ें या घटाएँ। / Coterminal angles differ by an integer multiple of \(2\pi\). Since \(2\pi=\frac{14\pi}{7}\), subtracting \(4\pi=\frac{28\pi}{7}\) gives \(\frac{31\pi}{7}-\frac{28\pi}{7}=\frac{3\pi}{7}\). This is positive and is the least positive coterminal angle. \(\frac{17\pi}{7}\) is also coterminal, but subtracting \(2\pi\) from it gives \(\frac{3\pi}{7}\); \(\frac{10\pi}{7}\) is not coterminal. Exam tip: reduce an angle to \([0,2\pi)\) by adding or subtracting suitable multiples of \(2\pi\).
सहप्रारंभी कोणों का अंतर \(2\pi\) का पूर्णांक गुणज होता है। मुख्य धनात्मक कोण पाने के लिए दिए गए ऋणात्मक कोण में \(2\pi\) जोड़ते हैं: \(-\frac{7\pi}{18}+2\pi=-\frac{7\pi}{18}+\frac{36\pi}{18}=\frac{29\pi}{18}\)। यह \(0\) और \(2\pi\) के बीच है, इसलिए यही मुख्य धनात्मक कोण है। \(\frac{25\pi}{18}\) और \(-\frac{7\pi}{18}\) का अंतर \(\frac{16\pi}{9}\) है, जो \(2\pi\) का पूर्णांक गुणज नहीं है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक कोण को मुख्य धनात्मक कोण में बदलने के लिए आवश्यकतानुसार \(2\pi\) जोड़ें। / Coterminal angles differ by an integral multiple of \(2\pi\). Add \(2\pi\) to the given negative angle: \(-\frac{7\pi}{18}+2\pi=-\frac{7\pi}{18}+\frac{36\pi}{18}=\frac{29\pi}{18}\). This value lies between \(0\) and \(2\pi\), so it is the principal positive angle. The difference between \(\frac{25\pi}{18}\) and \(-\frac{7\pi}{18}\) is \(\frac{16\pi}{9}\), which is not an integral multiple of \(2\pi\). Exam tip: to convert a negative angle into its principal positive form, add \(2\pi\) as needed.
सहप्रारंभी कोणों का अंतर \(2k\pi\) होता है, जहाँ \(k\) पूर्णांक है। इसलिए \(\frac{5\pi}{12}+\frac{n\pi}{6}=\frac{17\pi}{12}+2k\pi\)। दोनों पक्षों से \(\frac{5\pi}{12}\) घटाने पर \(\frac{n\pi}{6}=\pi+2k\pi\), अतः \(n=6+12k\)। \(k=0\) पर सबसे छोटा धनात्मक मान \(n=6\) मिलता है। \(n=5\) पर अंतर \(\frac{5\pi}{6}\) होगा, जो \(2\pi\) का पूर्ण गुणज नहीं है। परीक्षा टिप: सहप्रारंभी कोण जाँचते समय अंतर को \(2\pi\) के पूर्ण गुणज के रूप में लिखें। / Coterminal angles differ by \(2k\pi\), where \(k\) is an integer. Hence, \(\frac{5\pi}{12}+\frac{n\pi}{6}=\frac{17\pi}{12}+2k\pi\). Subtracting \(\frac{5\pi}{12}\) gives \(\frac{n\pi}{6}=\pi+2k\pi\), so \(n=6+12k\). The least positive value is obtained for \(k=0\), giving \(n=6\). With \(n=5\), the difference is \(\frac{5\pi}{6}\), not an integral multiple of \(2\pi\). Exam tip: test coterminality by checking whether the angle difference is an integral multiple of \(2\pi\).
सहप्रारंभी कोणों का अंतर \(2\pi\) का पूर्णांक गुणज होता है। \(\frac{5\pi}{8}\) से \(4\pi=\frac{32\pi}{8}\) घटाने पर \(\frac{5\pi}{8}-\frac{32\pi}{8}=-\frac{27\pi}{8}\) प्राप्त होता है। साथ ही, \(-4\pi=-\frac{32\pi}{8}< -\frac{27\pi}{8}< -\frac{16\pi}{8}=-2\pi\), इसलिए विकल्प D दिए गए अंतराल में है। विकल्प A का अंतर \(\frac{5\pi}{8}\) से \(-3\pi\) है, जो \(2\pi\) का पूर्णांक गुणज नहीं है। परीक्षा टिप: पहले \(\theta+2n\pi\) लिखें, फिर प्राप्त कोण को दिए गए अंतराल से मिलाएँ। / Coterminal angles differ by an integer multiple of \(2\pi\). Subtracting \(4\pi=\frac{32\pi}{8}\) from \(\frac{5\pi}{8}\) gives \(\frac{5\pi}{8}-\frac{32\pi}{8}=-\frac{27\pi}{8}\). Moreover, \(-4\pi=-\frac{32\pi}{8}< -\frac{27\pi}{8}< -\frac{16\pi}{8}=-2\pi\), so option D lies in the required interval. Option A differs from \(\frac{5\pi}{8}\) by \(-3\pi\), which is not an integer multiple of \(2\pi\). Exam tip: write coterminal angles as \(\theta+2n\pi\) and then test the required interval.
सह-अंत कोण पाने के लिए \(2\pi\) के गुणज घटाएँ: \(\frac{31\pi}{6}-4\pi=\frac{31\pi}{6}-\frac{24\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}\)। क्योंकि \(\pi<\frac{7\pi}{6}<\frac{3\pi}{2}\), इसकी अंतिम भुजा तृतीय चतुर्थांश में होगी। \(\frac{7\pi}{6}\), \(\pi\) से \(\frac{\pi}{6}\) अधिक है, इसलिए यह द्वितीय नहीं, तृतीय चतुर्थांश में है। परीक्षा टिप: कोण को पहले \(0\) से \(2\pi\) के बीच के सह-अंत कोण में बदलें। / Subtract a multiple of \(2\pi\) to obtain a coterminal angle: \(\frac{31\pi}{6}-4\pi=\frac{31\pi}{6}-\frac{24\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}\). Since \(\pi<\frac{7\pi}{6}<\frac{3\pi}{2}\), the terminal side lies in the third quadrant. It is \(\frac{\pi}{6}\) past \(\pi\), so the second quadrant is not correct. Exam tip: First reduce a radian angle to a coterminal angle between \(0\) and \(2\pi\).
सहप्रारंभी कोणों में अंतर 360° का पूर्ण गुणज होता है। \(-1025^\circ+3\times360^\circ=-1025^\circ+1080^\circ=55^\circ\)। अतः सबसे छोटा धनात्मक सहप्रारंभी कोण 55° है। 45° या 65° लेने पर मूल कोण से अंतर 360° का पूर्ण गुणज नहीं होगा। परीक्षा टिप: ऋणात्मक कोण में 360° जोड़ते रहें, जब तक परिणाम 0° और 360° के बीच न आ जाए। / Coterminal angles differ by an integral multiple of 360°. \(-1025^\circ+3\times360^\circ=-1025^\circ+1080^\circ=55^\circ\). Therefore, the least positive coterminal angle is 55°. Choosing 45° or 65° would not give a difference that is a whole multiple of 360°. Exam tip: For a negative angle, keep adding 360° until the result lies between 0° and 360°.
दिया गया कोण ऋणात्मक है। इसमें 4 पूर्ण घूर्णन के बराबर \(1440^\circ\) जोड़ने पर \(-1460^\circ+1440^\circ=-20^\circ\) मिलता है। \(-20^\circ\), \(340^\circ\) के सह-अंत कोण है और \(270^\circ\) तथा \(360^\circ\) के बीच स्थित है; इसलिए इसकी अंतिम भुजा चतुर्थ चतुर्थांश में होगी। द्वितीय चतुर्थांश का कोण \(90^\circ\) और \(180^\circ\) के बीच होता है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक कोण में \(360^\circ\) के गुणज जोड़कर उसे \(0^\circ\) से \(360^\circ\) के बीच लाएँ। / The angle is negative. Adding \(1440^\circ\), which represents four complete rotations, gives \(-1460^\circ+1440^\circ=-20^\circ\). The angle \(-20^\circ\) is coterminal with \(340^\circ\), and \(340^\circ\) lies between \(270^\circ\) and \(360^\circ\). Hence, its terminal side lies in the fourth quadrant. An angle in the second quadrant would lie between \(90^\circ\) and \(180^\circ\). Exam tip: For a negative angle, add a suitable multiple of \(360^\circ\) to obtain a coterminal angle between \(0^\circ\) and \(360^\circ\).
सहप्रारंभी कोण प्राप्त करने के लिए दिए गए कोण में \(2\pi\) का पूर्णांक गुणज जोड़ते या घटाते हैं। \(-\frac{41\pi}{9}+3(2\pi)=-\frac{41\pi}{9}+\frac{54\pi}{9}=\frac{13\pi}{9}\)। क्योंकि \(0<\frac{13\pi}{9}<2\pi=\frac{18\pi}{9}\), यह अपेक्षित अंतराल में है। \(\frac{11\pi}{9}\) निकट दिखता है, लेकिन उसका दिए गए कोण से अंतर \(2\pi\) का पूर्णांक गुणज नहीं है। परीक्षा टिप: हर बार सभी पदों को समान हर में लिखकर जाँचें कि उत्तर \(0\) और \(2\pi\) के बीच है। / To find a coterminal angle, add or subtract an integer multiple of \(2\pi\). \(-\frac{41\pi}{9}+3(2\pi)=-\frac{41\pi}{9}+\frac{54\pi}{9}=\frac{13\pi}{9}\). Since \(0<\frac{13\pi}{9}<2\pi=\frac{18\pi}{9}\), it lies in the required interval. Although \(\frac{11\pi}{9}\) is close, its difference from the given angle is not an integer multiple of \(2\pi\). Exam tip: use a common denominator to check that the final angle lies between \(0\) and \(2\pi\).
\(\frac{\pi}{3}-(-\frac{5\pi}{3})=2\pi\) है, इसलिए दोनों कोण सह-अंतस्थ हैं और उनकी अंतिम भुजा समान है। एक धनात्मक तथा दूसरा ऋणात्मक है, अतः घूर्णन दिशाएँ विपरीत हैं। परीक्षा टिप: सह-अंतस्थ कोणों का अंतर \(2\pi\) का गुणज होता है। / \(\frac{\pi}{3}-(-\frac{5\pi}{3})=2\pi\), so the angles are coterminal and have the same terminal arm. One angle is positive and the other negative, so their rotations are in opposite directions. Exam tip: coterminal angles differ by a multiple of \(2\pi\).
सहप्रारंभी कोणों में अंतर \(360^\circ\) का पूर्ण गुणज होता है। \(1490^\circ\) में से \(360^\circ\) का सबसे बड़ा उपयुक्त गुणज \(1440^\circ=4\times360^\circ\) घटाने पर \(1490^\circ-1440^\circ=50^\circ\) मिलता है। अतः सबसे छोटा धनात्मक सहप्रारंभी कोण \(50^\circ\) है। \(40^\circ\) निकट का विकल्प है, लेकिन वह \(1490^\circ\) से \(360^\circ\) के पूर्ण गुणज से भिन्न नहीं है। परीक्षा टिप: किसी कोण को \(360^\circ\) से भाग देकर प्राप्त धनात्मक शेषफल लें। / Coterminal angles differ by an integral multiple of \(360^\circ\). Subtract the greatest suitable multiple of \(360^\circ\): \(1440^\circ=4\times360^\circ\). Thus, \(1490^\circ-1440^\circ=50^\circ\). Therefore, the least positive coterminal angle is \(50^\circ\). Although \(40^\circ\) is a close distractor, it does not differ from \(1490^\circ\) by a whole multiple of \(360^\circ\). Exam tip: divide the angle by \(360^\circ\) and take the positive remainder.
सहप्रारंभी कोणों में \(360^\circ\) का पूर्ण गुणज जोड़ने या घटाने पर भुजा की अंतिम स्थिति नहीं बदलती। अतः \(-315^\circ+360^\circ=45^\circ\), और \(45^\circ\) दिए गए अंतराल \(0^\circ\le\theta<360^\circ\) में है। \(30^\circ\) निकट मान हो सकता है, पर वह \(-315^\circ\) से \(360^\circ\) के पूर्ण गुणज का अंतर नहीं रखता। परीक्षा टिप: ऋणात्मक कोण को इसी अंतराल में लाने के लिए पहले \(360^\circ\) जोड़ें। / Coterminal angles have the same terminal side, so they differ by an integral multiple of \(360^\circ\). Thus, \(-315^\circ+360^\circ=45^\circ\), and \(45^\circ\) lies in the required interval \(0^\circ\le\theta<360^\circ\). Although \(30^\circ\) is nearby, it does not differ from \(-315^\circ\) by a whole multiple of \(360^\circ\). Exam tip: to express a negative angle in this interval, first add \(360^\circ\).
सह-अंत कोणों की प्रारम्भिक और अंतिम भुजाएँ समान होती हैं तथा उनके मापों का अंतर \(360^\circ\) का पूर्ण गुणज होता है। यहाँ \(495^\circ-135^\circ=360^\circ\), इसलिए A सही है। B में अंतर केवल \(90^\circ\) है। परीक्षा में कोणों का अंतर जाँचें। / Coterminal angles have the same initial and terminal arms, and their measures differ by a whole multiple of \(360^\circ\). Here, \(495^\circ-135^\circ=360^\circ\), so A is correct. In B, the difference is only \(90^\circ\). Exam tip: check the difference first.
सहप्रारंभी कोणों का अंतर \(2\pi\) का पूर्ण गुणज होता है। चूँकि \(2\pi=\frac{12\pi}{6}\), इसलिए \(\frac{13\pi}{6}-2\pi=\frac{13\pi}{6}-\frac{12\pi}{6}=\frac{\pi}{6}\)। अतः छोटा धनात्मक सहप्रारंभी कोण \(\frac{\pi}{6}\) है। \(\frac{7\pi}{6}\) भी धनात्मक है, पर उसका अंतर \(\frac{13\pi}{6}\) से \(\pi\) है, \(2\pi\) का गुणज नहीं। परीक्षा टिप: कोण को \([0,2\pi)\) में लाने के लिए \(2\pi\) जोड़ें या घटाएँ। / Coterminal angles differ by an integral multiple of \(2\pi\). Since \(2\pi=\frac{12\pi}{6}\), \(\frac{13\pi}{6}-2\pi=\frac{13\pi}{6}-\frac{12\pi}{6}=\frac{\pi}{6}\). Hence, the smaller positive coterminal angle is \(\frac{\pi}{6}\). Although \(\frac{7\pi}{6}\) is positive, its difference from \(\frac{13\pi}{6}\) is \(\pi\), not a multiple of \(2\pi\). Exam tip: add or subtract \(2\pi\) to reduce an angle to \([0,2\pi)\).
दिया गया कोण ऋणात्मक है। इसका सह-अंत कोण ज्ञात करने के लिए इसमें 360° के गुणज जोड़ते हैं: \(-850^\circ+3\times360^\circ=230^\circ\)। क्योंकि \(180^\circ<230^\circ<270^\circ\), इसलिए इसकी अंतिम भुजा तृतीय चतुर्थांश में होगी। चतुर्थ चतुर्थांश \(270^\circ\) से \(360^\circ\) के बीच होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी भी कोण को \(0^\circ\) से \(360^\circ\) के बीच लाकर चतुर्थांश पहचानें। / The given angle is negative. Add a multiple of 360° to find a coterminal angle: \(-850^\circ+3\times360^\circ=230^\circ\). Since \(180^\circ<230^\circ<270^\circ\), its terminal side lies in the third quadrant. The fourth quadrant contains angles between \(270^\circ\) and \(360^\circ\), so it is not correct. Exam tip: Reduce any angle to a value between \(0^\circ\) and \(360^\circ\) before identifying its quadrant.
सहप्रारंभी कोण पाने के लिए दिए गए कोण में से \(360^\circ\) के गुणज घटाए जाते हैं। \(920^\circ-2\times360^\circ=920^\circ-720^\circ=200^\circ\)। यह धनात्मक है और \(360^\circ\) से छोटा है, इसलिए सबसे छोटा धनात्मक सहप्रारंभी कोण \(200^\circ\) है। \(220^\circ\) प्राप्त करने के लिए \(700^\circ\) घटाना पड़ेगा, जो \(360^\circ\) का गुणज नहीं है। परीक्षा टिप: कोण को \(360^\circ\) से भाग देकर शेषफल लें। / Coterminal angles are obtained by adding or subtracting integral multiples of \(360^\circ\). Here, \(920^\circ-2\times360^\circ=920^\circ-720^\circ=200^\circ\). Since it is positive and less than \(360^\circ\), \(200^\circ\) is the least positive coterminal angle. \(220^\circ\) would require subtracting \(700^\circ\), which is not a multiple of \(360^\circ\). Exam tip: reduce a degree measure modulo \(360^\circ\).
मुख्य कोण ज्ञात करने के लिए कोण को \([0,2\pi)\) के अंतराल में लाते हैं। चूँकि \(2\pi=\frac{8\pi}{4}\), इसलिए \(\frac{13\pi}{4}-2\pi=\frac{13\pi}{4}-\frac{8\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}\)। अतः मुख्य कोण \(\frac{5\pi}{4}\) है। \(\frac{\pi}{4}\) केवल संदर्भ कोण है, मुख्य कोण नहीं। परीक्षा टिप: \(2\pi\) के गुणज जोड़कर या घटाकर कोण को \([0,2\pi)\) में लिखें। / To find the principal angle, reduce the angle to the interval \([0,2\pi)\). Since \(2\pi=\frac{8\pi}{4}\), \(\frac{13\pi}{4}-2\pi=\frac{13\pi}{4}-\frac{8\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}\). Hence, the principal angle is \(\frac{5\pi}{4}\). \(\frac{\pi}{4}\) is the reference angle, not the principal angle. Exam tip: add or subtract multiples of \(2\pi\) until the angle lies in \([0,2\pi)\).
सहसमापी कोणों का अंतर \(360^\circ\) का पूर्ण गुणज होता है। \(-75^\circ+360^\circ=285^\circ\), इसलिए \(285^\circ\), \(-75^\circ\) के साथ सहसमापी है। \(255^\circ\) का अंतर \(330^\circ\) है, जो \(360^\circ\) का गुणज नहीं है। परीक्षा टिप: दिए गए कोण में \(360^\circ\) जोड़कर या घटाकर सहसमापी कोण जाँचें। / Coterminal angles differ by an integral multiple of \(360^\circ\). Since \(-75^\circ+360^\circ=285^\circ\), \(285^\circ\) is coterminal with \(-75^\circ\). The difference between \(255^\circ\) and \(-75^\circ\) is \(330^\circ\), which is not a multiple of \(360^\circ\). Exam tip: add or subtract \(360^\circ\) to check coterminal angles quickly.
\(765^\circ\) में से एक पूर्ण चक्र \(720^\circ\) घटाने पर \(765^\circ-720^\circ=45^\circ\) मिलता है। \(45^\circ\), \(0^\circ\) और \(90^\circ\) के बीच है, इसलिए अंतिम भुजा प्रथम चतुर्थांश में होगी। धनात्मक \(y\)-अक्ष के लिए कोण \(90^\circ\) (या उसका सह-अंत कोण) होना चाहिए। परीक्षा टिप: \(360^\circ\) के गुणज घटाकर कोण को \(0^\circ\) से \(360^\circ\) के बीच लाएँ। / Subtracting one full revolution, \(765^\circ-720^\circ=45^\circ\). Since \(45^\circ\) lies between \(0^\circ\) and \(90^\circ\), the terminal side is in the first quadrant. The positive \(y\)-axis would require an angle of \(90^\circ\), or a coterminal angle. Exam tip: reduce any angle by multiples of \(360^\circ\) before identifying its quadrant or axis.
सहसमापी कोणों में \(2\pi\) का पूर्ण गुणज जोड़ने या घटाने पर अंतिम भुजा वही रहती है। यहाँ \(\frac{9\pi}{4}-2\pi=\frac{9\pi}{4}-\frac{8\pi}{4}=\frac{\pi}{4}\)। इसलिए अंतिम भुजा \(\frac{\pi}{4}\) के साथ सहसमापी है। \(\frac{\pi}{2}\) निकट लग सकता है, पर वह \(90^\circ\) है, जबकि \(\frac{\pi}{4}=45^\circ\) होता है। परीक्षा टिप: कोण को \([0,2\pi)\) में लाने के लिए आवश्यकतानुसार \(2\pi\) घटाएँ या जोड़ें। / Coterminal angles have the same terminal side because they differ by an integral multiple of \(2\pi\). Here, \(\frac{9\pi}{4}-2\pi=\frac{9\pi}{4}-\frac{8\pi}{4}=\frac{\pi}{4}\). Therefore, the terminal side is coterminal with \(\frac{\pi}{4}\). Although \(\frac{\pi}{2}\) may seem close, it represents \(90^\circ\), whereas \(\frac{\pi}{4}=45^\circ\). Exam tip: reduce an angle to the interval \([0,2\pi)\) by adding or subtracting \(2\pi\) as needed.
एक पूर्ण घूर्णन का माप \(2\pi\) रेडियन होता है। इसलिए \(\theta\) में \(2n\pi\) जोड़ने या घटाने पर अंतिम भुजा नहीं बदलती। \(n\pi\) जोड़ने पर सामान्यतः भुजा विपरीत दिशा में हो जाती है। परीक्षा टिप: सह-अंत कोणों के लिए \(2\pi\) याद रखें। / One complete revolution measures \(2\pi\) radians. Hence, adding or subtracting \(2n\pi\) from \(\theta\) leaves its terminal arm unchanged. Adding \(n\pi\) generally gives the opposite arm. Exam tip: use \(2\pi\) for coterminal angles.
\(\frac{41\pi}{6}\) में से \(2\pi=\frac{12\pi}{6}\) के तीन पूर्ण चक्कर घटाने पर \(\frac{41\pi}{6}-\frac{36\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}\) मिलता है। \(\frac{5\pi}{6}=150^\circ\) है, जो \(\frac{\pi}{2}\) और \(\pi\) के बीच स्थित होता है; इसलिए इसकी अंतिम भुजा द्वितीय चतुर्थांश में है। चतुर्थ चतुर्थांश \(\frac{3\pi}{2}\) और \(2\pi\) के बीच के कोणों के लिए होता है। परीक्षा टिप: बड़े कोण को पहले \(2\pi\) के गुणज घटाकर \(0\) से \(2\pi\) के बीच लाएँ। / Subtracting three complete revolutions, where \(2\pi=\frac{12\pi}{6}\), gives \(\frac{41\pi}{6}-\frac{36\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}\). Now \(\frac{5\pi}{6}=150^\circ\), which lies between \(\frac{\pi}{2}\) and \(\pi\); hence its terminal side lies in the second quadrant. The fourth quadrant contains angles between \(\frac{3\pi}{2}\) and \(2\pi\). Exam tip: reduce a large angle by subtracting multiples of \(2\pi\) before identifying its quadrant.
किसी कोण का मुख्य कोण ज्ञात करने के लिए उसमें से \(360^\circ\) के गुणज घटाते हैं। \(635^\circ-360^\circ=275^\circ\), इसलिए \(635^\circ\) का मुख्य कोण \(275^\circ\) है। \(725^\circ\) में से \(720^\circ\) घटाने पर \(5^\circ\) मिलता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: सह-अंत कोणों का अंतर हमेशा \(360^\circ\) का पूर्ण गुणज होता है। / To find a principal angle, subtract multiples of \(360^\circ\) from the given angle. Since \(635^\circ-360^\circ=275^\circ\), the principal angle of \(635^\circ\) is \(275^\circ\). In contrast, \(725^\circ-720^\circ=5^\circ\), so it is not correct. Exam tip: Coterminal angles differ by an integral multiple of \(360^\circ\).
मुख्य सहसमापी कोण प्राप्त करने के लिए दिए गए कोण में से \(360^\circ\) के गुणज घटाते हैं, ताकि परिणाम \(0^\circ\) से \(360^\circ\) के बीच रहे। \(2210^\circ-6\times360^\circ=2210^\circ-2160^\circ=50^\circ\)। इसलिए सही उत्तर \(50^\circ\) है। \(40^\circ\) लेने पर वह \(2210^\circ\) से \(360^\circ\) के पूर्ण गुणज से अलग नहीं होता। परीक्षा टिप: कोण को \(360^\circ\) से भाग देकर शेषफल निकालना सबसे तेज़ तरीका है। / To obtain the principal coterminal angle, subtract a multiple of \(360^\circ\) so that the result lies between \(0^\circ\) and \(360^\circ\). \(2210^\circ-6\times360^\circ=2210^\circ-2160^\circ=50^\circ\). Hence, \(50^\circ\) is correct. \(40^\circ\) is not coterminal with \(2210^\circ\), since their difference is not an integral multiple of \(360^\circ\). Exam tip: divide the angle by \(360^\circ\) and use the remainder.
सहसमापी कोण पाने के लिए दिए गए कोण में से \(360^\circ\) के गुणज घटाते हैं। \(985^\circ-2\times360^\circ=985^\circ-720^\circ=265^\circ\)। अतः \(265^\circ\), \(985^\circ\) का \(0^\circ\) से \(360^\circ\) के बीच का सहसमापी कोण है। अन्य विकल्पों को \(985^\circ\) में जोड़ने या घटाने पर \(360^\circ\) का पूर्ण गुणज अंतर नहीं मिलता। परीक्षा टिप: कोण को शीघ्रता से \(360^\circ\) से भाग देकर शेषफल लें। / To find a coterminal angle, subtract a multiple of \(360^\circ\) from the given angle. \(985^\circ-2\times360^\circ=985^\circ-720^\circ=265^\circ\). Therefore, \(265^\circ\) is the coterminal angle of \(985^\circ\) between \(0^\circ\) and \(360^\circ\). The other options do not differ from \(985^\circ\) by a whole multiple of \(360^\circ\). Exam tip: reduce an angle modulo \(360^\circ\) to obtain its standard coterminal angle.
सह-अंतिम कोणों की प्रारंभिक भुजा और अंतिम भुजा समान होती है तथा उनके अंतर में \(360^\circ\) का पूर्ण गुणज होता है। \(210^\circ-360^\circ=-150^\circ\), इसलिए विकल्प A सही है। \(150^\circ\) का अंतर केवल \(60^\circ\) है। परीक्षा टिप: \(360^\circ\) जोड़कर या घटाकर सह-अंतिम कोण जाँचें। / Coterminal angles have the same initial and terminal sides, so their difference is a multiple of \(360^\circ\). Since \(210^\circ-360^\circ=-150^\circ\), option A is correct. The difference between \(210^\circ\) and \(150^\circ\) is only \(60^\circ\). Exam tip: add or subtract \(360^\circ\) to test coterminal angles.
सहसमापी कोणों में अंतर \(360^\circ\) का पूर्ण गुणज होता है। \(-780^\circ\) में \(3\times360^\circ=1080^\circ\) जोड़ने पर \(300^\circ\) मिलता है: \(-780^\circ+1080^\circ=300^\circ\)। इसलिए सही उत्तर \(300^\circ\) है। \(240^\circ\) प्राप्त नहीं होता, क्योंकि \(240^\circ-(-780^\circ)=1020^\circ\), जो \(360^\circ\) का पूर्ण गुणज नहीं है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक कोण में \(360^\circ\) जोड़ते रहें, जब तक सबसे छोटा धनात्मक कोण न मिल जाए। / Coterminal angles differ by an integral multiple of \(360^\circ\). Adding \(3\times360^\circ=1080^\circ\) to \(-780^\circ\) gives \(300^\circ\): \(-780^\circ+1080^\circ=300^\circ\). Hence, \(300^\circ\) is correct. \(240^\circ\) is not coterminal because \(240^\circ-(-780^\circ)=1020^\circ\), which is not a multiple of \(360^\circ\). Exam tip: Keep adding \(360^\circ\) to a negative angle until the least positive angle is obtained.
सहसमापी कोणों में अंतर \(360^\circ\) का पूर्ण गुणज होता है। \(840^\circ-2\times360^\circ=120^\circ\), इसलिए दिया गया कोण \(120^\circ\) के सहसमापी है और यह \(0^\circ\) से \(360^\circ\) के बीच है। \(90^\circ\) निकट लग सकता है, पर \(840^\circ-90^\circ=750^\circ\), जो \(360^\circ\) का गुणज नहीं है। परीक्षा टिप: कोण को मानक सीमा में लाने के लिए उसमें \(360^\circ\) के गुणज जोड़ें या घटाएँ। / Coterminal angles differ by an integral multiple of \(360^\circ\). Since \(840^\circ-2\times360^\circ=120^\circ\), the coterminal angle lying between \(0^\circ\) and \(360^\circ\) is \(120^\circ\). Although \(90^\circ\) may seem close, \(840^\circ-90^\circ=750^\circ\), which is not a multiple of \(360^\circ\). Exam tip: add or subtract multiples of \(360^\circ\) to bring an angle into the required interval.
सहसमापी कोणों का अंतर \(360^\circ\) का पूर्ण गुणज होता है। क्योंकि \(420^\circ-360^\circ=60^\circ\), इसलिए \(0^\circ\) से \(360^\circ\) के बीच इसका सहसमापी कोण \(60^\circ\) है। \(90^\circ\) एक अलग कोण है और उसे \(420^\circ\) से \(360^\circ\) के पूर्ण गुणज को जोड़कर या घटाकर प्राप्त नहीं किया जा सकता। परीक्षा टिप: कोण को दिए गए अंतराल में लाने के लिए \(360^\circ\) जोड़ें या घटाएँ। / Coterminal angles differ by an integral multiple of \(360^\circ\). Since \(420^\circ-360^\circ=60^\circ\), the coterminal angle between \(0^\circ\) and \(360^\circ\) is \(60^\circ\). \(90^\circ\) is a different angle and cannot be obtained from \(420^\circ\) by adding or subtracting a whole multiple of \(360^\circ\). Exam tip: add or subtract \(360^\circ\) until the angle lies in the required interval.
सहसमापी कोणों का अंतर \(360^\circ\) का पूर्ण गुणज होता है। \(750^\circ-2\times360^\circ=750^\circ-720^\circ=30^\circ\), इसलिए सही कोण \(30^\circ\) है। \(60^\circ\) सही नहीं है, क्योंकि \(750^\circ-60^\circ=690^\circ\), जो \(360^\circ\) का गुणज नहीं है। परीक्षा टिप: कोण को \(0^\circ\) से \(360^\circ\) के बीच लाने के लिए \(360^\circ\) के गुणज घटाइए। / Coterminal angles differ by an integral multiple of \(360^\circ\). Here, \(750^\circ-2\times360^\circ=750^\circ-720^\circ=30^\circ\), so \(30^\circ\) is the required angle. \(60^\circ\) is not coterminal because \(750^\circ-60^\circ=690^\circ\), which is not a multiple of \(360^\circ\). Exam tip: subtract multiples of \(360^\circ\) to reduce an angle to the interval from \(0^\circ\) to \(360^\circ\).
सहसमापी कोणों में अंतर \(360^\circ\) का पूर्ण गुणज होता है। अतः \(-30^\circ+360^\circ=330^\circ\), इसलिए \(330^\circ\) धनात्मक सहसमापी कोण है। \(300^\circ\) प्राप्त करने पर अंतिम भुजा अलग होगी, इसलिए वह सहसमापी नहीं है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक कोण का सबसे छोटा धनात्मक सहसमापी कोण पाने के लिए उसमें \(360^\circ\) जोड़ें। / Coterminal angles differ by an integral multiple of \(360^\circ\). Thus, \(-30^\circ+360^\circ=330^\circ\), so \(330^\circ\) is the positive coterminal angle. \(300^\circ\) has a different terminal side, so it is not coterminal with \(-30^\circ\). Exam tip: To obtain the least positive coterminal angle of a negative angle, add \(360^\circ\).
