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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Hard Level 16

यदि \(p^2=3q^2\) और (p=3k) है, तो \(q^2=3k^2\) से (p) और (q) के बारे में संयुक्त निष्कर्ष क्या है?

If \(p^2=3q^2\) and (p=3k), what combined conclusion about (p) and (q) follows from \(q^2=3k^2\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

B. दोनों 3 से विभाज्य हैंBoth are divisible by 3

Explanation

Simple Explanation

p = 3k से स्पष्ट है कि p, 3 से विभाज्य है। साथ ही, q² = 3k² से q², 3 से विभाज्य है। क्योंकि 3 एक अभाज्य संख्या है, यदि 3 किसी संख्या के वर्ग को विभाजित करती है, तो वह उस संख्या को भी विभाजित करती है। अतः q भी 3 से विभाज्य है। इसलिए p और q दोनों 3 से विभाज्य हैं। विकल्प A में 2 से विभाज्यता का कोई आधार नहीं है। परीक्षा टिप: अपरिमेयता के विरोधाभास-प्रमाण में दोनों सह-अभाज्य मान्य संख्याओं का एक ही अभाज्य से विभाज्य होना विरोधाभास देता है। / From p = 3k, p is divisible by 3. Also, q² = 3k² shows that q² is divisible by 3. Since 3 is prime, if it divides the square of an integer, it must divide that integer itself. Hence q is also divisible by 3. Therefore, both p and q are divisible by 3. Option A has no basis because divisibility by 2 is not implied. Exam tip: In contradiction proofs of irrationality, showing that two assumed coprime integers share a prime factor produces the contradiction.

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यदि \(p^2=3q^2\) और (p=3k) है, तो \(q^2=3k^2\) से (p) और (q) के बारे में संयुक्त निष्कर्ष क्या है? / If \(p^2=3q^2\) and (p=3k), what combined conclusion about (p) and (q) follows from \(q^2=3k^2\)?

Correct Answer: B. दोनों 3 से विभाज्य हैं / Both are divisible by 3. Explanation: p = 3k से स्पष्ट है कि p, 3 से विभाज्य है। साथ ही, q² = 3k² से q², 3 से विभाज्य है। क्योंकि 3 एक अभाज्य संख्या है, यदि 3 किसी संख्या के वर्ग को विभाजित करती है, तो वह उस संख्या को भी विभाजित करती है। अतः q भी 3 से विभाज्य है। इसलिए p और q दोनों 3 से विभाज्य हैं। विकल्प A में 2 से विभाज्यता का कोई आधार नहीं है। परीक्षा टिप: अपरिमेयता के विरोधाभास-प्रमाण में दोनों सह-अभाज्य मान्य संख्याओं का एक ही अभाज्य से विभाज्य होना विरोधाभास देता है। / From p = 3k, p is divisible by 3. Also, q² = 3k² shows that q² is divisible by 3. Since 3 is prime, if it divides the square of an integer, it must divide that integer itself. Hence q is also divisible by 3. Therefore, both p and q are divisible by 3. Option A has no basis because divisibility by 2 is not implied. Exam tip: In contradiction proofs of irrationality, showing that two assumed coprime integers share a prime factor produces the contradiction.