The second hypotenuse of a square-root spiral is √2. What will be the fourth hypotenuse?वर्गमूल सर्पिल का दूसरा कर्ण √2 है। चौथा कर्ण कौन-सा होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: √4√4
The governing concept is the repeated use of the Pythagorean theorem in a square-root spiral. At each stage, a perpendicular segment of length 1 unit is added to the previous hypotenuse. If one hypotenuse is √n, the next hypotenuse has square (√n)² + 1² = n + 1, and therefore has length √(n + 1). The sequence is consequently √1, √2, √3, √4, √5, and so on. Since the second hypotenuse is given as √2, the third is √3 and the fourth is √4. Therefore, option B is correct. Option A is one stage earlier, while √5 and √6 occur at later stages. The answer follows from the construction sequence, not from simply adding 1 to the radical itself.यह प्रश्न वर्गमूल सर्पिल में पाइथागोरस प्रमेय के बार-बार प्रयोग पर आधारित है। प्रत्येक चरण में पिछले कर्ण पर 1 इकाई का लंब खंड बनाया जाता है। यदि किसी चरण का कर्ण √n है, तो अगले कर्ण H के लिए H² = (√n)² + 1² = n + 1 होगा, इसलिए H = √(n + 1)। इस प्रकार कर्णों का क्रम √1, √2, √3, √4, √5 आदि होता है। दूसरा कर्ण √2 दिया गया है, इसलिए तीसरा कर्ण √3 और चौथा कर्ण √4 होगा। अतः विकल्प B सही है। √3 केवल तीसरे कर्ण का मान है, जबकि √5 और √6 क्रमशः पाँचवें और छठे चरण में मिलेंगे। यहाँ मूलांक में सीधे 1 नहीं जोड़ा जाता, बल्कि कर्ण के वर्ग में 1 जोड़ा जाता है।
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