In a square root spiral, after (\sqrt{8}), which hypotenuse is obtained by adding a (1) unit perpendicular?वर्गमूल सर्पिल में (\sqrt{8}) के बाद (1) इकाई लंब जोड़ने पर अगला कर्ण कौन-सा होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (\sqrt{9})(\sqrt{9})
The square-root spiral uses the Pythagorean theorem to create successive lengths. If the existing hypotenuse is \(\sqrt{8}\) and a perpendicular side of length 1 is added, the new hypotenuse \(L\) satisfies \(L^2=(\sqrt{8})^2+1^2\). Therefore \(L^2=8+1=9\), so \(L=\sqrt{9}\).
Thus the next hypotenuse is \(\sqrt{9}\), which is also 3. The construction does not subtract 1, keep the same length, or produce \(\sqrt{10}\), because the added perpendicular side contributes the square of its length, namely 1. Hence option C follows directly from the Pythagorean theorem.वर्गमूल सर्पिल में लगातार लंबाइयाँ पाइथागोरस प्रमेय से बनाई जाती हैं। यदि वर्तमान कर्ण \(\sqrt{8}\) है और उसके लंबवत 1 इकाई की भुजा जोड़ी जाती है, तो नए कर्ण \(L\) के लिए \(L^2=(\sqrt{8})^2+1^2\) होगा। इसलिए \(L^2=8+1=9\), और \(L=\sqrt{9}\) मिलता है।
अतः अगला कर्ण \(\sqrt{9}\) है, जिसका मान 3 भी है। यहाँ 1 को सीधे पुराने कर्ण में नहीं जोड़ा जाता और न ही 1 घटाया जाता है। नई भुजा का वर्ग पाइथागोरस प्रमेय में जुड़ता है, इसलिए 8 में 1 जोड़ा जाता है। इस कारण \(\sqrt{7}\), \(\sqrt{8}\) या \(\sqrt{10}\) नहीं, बल्कि विकल्प C सही है।
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