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नए कर्ण का वर्ग (35+1=36) होगा, इसलिए \(OQ=\sqrt{36}\)। कर्ण पूछने पर वर्गमूल रूप लिखें। / The square of the new hypotenuse is (35+1=36), so \(OQ=\sqrt{36}\). When the hypotenuse is asked, write the square root form.
A. धीमी प्रक्रिया के बावजूद निर्णय अधिक वैध और संतुलित हो सकते हैं/Despite slow process decisions may become more legitimate and balanced
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में प्रक्रिया समय ले सकती है लेकिन वैधता और गुणवत्ता बढ़ा सकती है। परीक्षा में गति और वैधता का संतुलन लिखें। / Democratic process may take time but can increase legitimacy and quality. Exam tip: write balance between speed and legitimacy.
पिछले चरण में वर्गमूल के अंदर की संख्या (1) कम होती है। इसलिए \(\sqrt{42}\) से पहले \(\sqrt{41}\) होगा। / In the previous step, the number under the root is (1) less. Therefore, \(\sqrt{41}\) comes before \(\sqrt{42}\).
B. जनता अगली बार नेता बदलकर गलती सुधार सकती है/People can correct the mistake by changing the leader next time
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में गलती स्थायी नहीं होती क्योंकि चुनाव सुधार का अवसर देते हैं। परीक्षा में गलती और सुधार साथ लिखें। / In democracy a mistake is not permanent because elections give a chance to correct it. Exam tip: write mistake and correction together.
(r)वें त्रिभुज का कर्ण \(\sqrt{r+1}\) होता है। इसलिए (18)वें त्रिभुज का कर्ण \(\sqrt{19}\) है। / The hypotenuse of the (r)th triangle is \(\sqrt{r+1}\). Therefore, the (18)th triangle has hypotenuse \(\sqrt{19}\).
C. क्योंकि आलोचना जनमत और प्रश्न भी सरकार को उत्तरदायी रखते हैं/Because criticism public opinion and questions also keep government answerable
Explanation
Simple Explanation
जवाबदेही चुनाव के साथ सार्वजनिक निगरानी से भी बनती है। परीक्षा में चुनाव आलोचना और जनमत को साथ रखें। / Accountability is built through elections as well as public scrutiny. Exam tip: keep elections criticism and public opinion together.
\(\sqrt{2}\) पहला त्रिभुज देता है, इसलिए \(\sqrt{48}\) तक त्रिभुजों की संख्या (48-1=47) होगी। गणना में आरंभिक \(\sqrt{1}\) को अलग रखें। / \(\sqrt{2}\) is given by the first triangle, so up to \(\sqrt{48}\), the number of triangles is (48-1=47). Keep the initial \(\sqrt{1}\) separate in counting.
D. यह लोकतंत्र की आलोचना है लेकिन चुनाव शांतिपूर्ण सत्ता परिवर्तन भी देते हैं/This is a criticism of democracy but elections also provide peaceful transfer of power
Explanation
Simple Explanation
चुनावी प्रतिस्पर्धा में तनाव का खतरा हो सकता है पर चुनाव लोकतंत्र का शांतिपूर्ण माध्यम भी हैं। परीक्षा में संतुलित दृष्टिकोण रखें। / Electoral competition may carry tension but elections are also a peaceful democratic method. Exam tip: keep a balanced view.
लगातार कर्णों में वर्गमूल के अंदर की संख्याएं (1) के अंतर से बढ़ती हैं। इसलिए \(\sqrt{22},\sqrt{23},\sqrt{24}\) सही क्रम है। / In consecutive hypotenuses, the numbers under the roots increase by (1). Therefore, \(\sqrt{22},\sqrt{23},\sqrt{24}\) is the correct order.
A. क्योंकि नागरिक को सम्मान आवाज आलोचना और भागीदारी भी मिलती है/Because citizens also get respect voice criticism and participation
Explanation
Simple Explanation
गरिमा में राजनीतिक आवाज और सम्मानित भागीदारी भी शामिल है। परीक्षा में गरिमा को व्यापक लोकतांत्रिक मूल्य मानें। / Dignity includes political voice and respected participation. Exam tip: treat dignity as a broad democratic value.
पाइथागोरस प्रमेय से \(OQ^2=63+1=64\)। प्रश्न \(OQ^2\) पूछता है, इसलिए उत्तर (64) है। / By Pythagoras theorem, \(OQ^2=63+1=64\). The question asks for \(OQ^2\), so the answer is (64).
B. चुनावी खर्च और असमान प्रभाव का तर्क/Argument of election expense and unequal influence
Explanation
Simple Explanation
धनबल राजनीतिक समानता और निष्पक्ष प्रतिस्पर्धा को प्रभावित कर सकता है। परीक्षा में चुनावी खर्च को विरोधी तर्क में रखें। / Money power can affect political equality and fair competition. Exam tip: place election expense under arguments against democracy.
(\(\sqrt{30}\)2+12=31), इसलिए \(\sqrt{30}\) पर लंब बनता है। अगले वर्गमूल के लिए पिछले अंदर मान को पहचानें। / (\(\sqrt{30}\)2+12=31), so the perpendicular is drawn on \(\sqrt{30}\). For the next square root, identify the previous inner value.
C. क्योंकि निर्णय की गुणवत्ता के लिए तर्क और तथ्य जरूरी हैं/Because reasoning and facts are necessary for decision quality
Explanation
Simple Explanation
बहस तभी उपयोगी है जब वह तर्क और तथ्य पर आधारित हो। परीक्षा में बहस की गुणवत्ता भी जांचें। / Debate is useful only when based on reasoning and facts. Exam tip: check quality of debate too.
A. लंबाइयों का अंतर (1) नहीं, उनके वर्गों का अंतर (1) है/The difference of lengths is not (1), the difference of their squares is (1)
Explanation
Simple Explanation
(\(\sqrt{11}\)2-\(\sqrt{10}\)2=1), लेकिन \(\sqrt{11}-\sqrt{10}\neq1\)। परीक्षा में लंबाई और वर्ग में अंतर समझें। / (\(\sqrt{11}\)2-\(\sqrt{10}\)2=1), but \(\sqrt{11}-\sqrt{10}\neq1\). In exams, understand the difference between length and square.
D. लोकप्रिय समर्थन और प्रशासनिक क्षमता का अंतर/Difference between popular support and administrative ability
Explanation
Simple Explanation
चुनाव जीतना हमेशा अच्छी प्रशासनिक क्षमता का प्रमाण नहीं होता। परीक्षा में लोकप्रियता और योग्यता का अंतर याद रखें। / Winning elections is not always proof of good administrative ability. Exam tip: remember the difference between popularity and competence.
\(\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=6\sqrt{2}\)। पूर्ण वर्ग गुणनखंड निकालना सरल करने का अच्छा तरीका है। / \(\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=6\sqrt{2}\). Taking out the perfect square factor is a good way to simplify.
A. जनता की सहमति शासन को वैधता देती है/People's consent gives legitimacy to governance
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र में वैधता जनता की इच्छा से आती है। परीक्षा में गति और वैधता का अंतर समझें। / In democracy legitimacy comes from people's will. Exam tip: understand difference between speed and legitimacy.
\(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\) है और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। इसलिए \(\sqrt{50}\) अपरिमेय संख्या है। / \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), and \(\sqrt{2}\) is irrational. Therefore, \(\sqrt{50}\) is an irrational number.
B. नेता मत पाने के लिए अव्यावहारिक या अल्पकालिक वादे कर सकते हैं/Leaders may make unrealistic or short term promises to get votes
Explanation
Simple Explanation
लोकलुभावन वादे दीर्घकालिक हित को कमजोर कर सकते हैं। परीक्षा में इसे लोकतंत्र की आलोचना मानें। / Populist promises may weaken long term interest. Exam tip: treat this as a criticism of democracy.
\(\sqrt{49}=7\), जो प्राकृतिक संख्या है। पूर्ण वर्गों के वर्गमूल प्राकृतिक संख्या हो सकते हैं। / \(\sqrt{49}=7\), which is a natural number. Square roots of perfect squares can be natural numbers.
C. संवाद प्रतिनिधित्व और समझौते से/By dialogue representation and compromise
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र विविध हितों को मंच और बातचीत का अवसर देता है। परीक्षा में विविधता और प्रतिनिधित्व जोड़ें। / Democracy gives different interests a platform and chance for dialogue. Exam tip: connect diversity and representation.
अगले चरण में अंदर की संख्या (1) बढ़ती है, इसलिए \(\sqrt{81}\) बनेगा। सर्पिल क्रम में कोई संख्या नहीं छोड़ता। / In the next step, the inner number increases by (1), so \(\sqrt{81}\) is formed. The spiral does not skip numbers in order.
D. लोकतंत्र बहुमत के साथ अधिकार और गरिमा का सम्मान भी मांगता है/Democracy requires respect for rights and dignity along with majority
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र केवल बहुमत का शासन नहीं है। परीक्षा में बहुमत और अधिकारों का संतुलन लिखें। / Democracy is not merely rule of majority. Exam tip: write balance between majority and rights.
\(OQ^2=a+1\), इसलिए \(OQ=\sqrt{a+1}\)। सामान्य रूप में भी पाइथागोरस प्रमेय ही लागू होता है। / \(OQ^2=a+1\), so \(OQ=\sqrt{a+1}\). Even in general form, Pythagoras theorem applies.
A. क्योंकि प्रश्न जवाबदेही और सुधार को बढ़ाते हैं/Because questions increase accountability and correction
Explanation
Simple Explanation
प्रश्न पूछना लोकतांत्रिक निगरानी का हिस्सा है। परीक्षा में प्रश्न को जवाबदेही से जोड़ें। / Questioning is part of democratic scrutiny. Exam tip: connect questions with accountability.
B. \(\sqrt{98}\) और \(\sqrt{100}\)/\(\sqrt{98}\) and \(\sqrt{100}\)
Explanation
Simple Explanation
क्रम में अंदर की संख्या (1) घटती और (1) बढ़ती है। इसलिए \(\sqrt{99}\) के पहले \(\sqrt{98}\) और बाद में \(\sqrt{100}\) होगा। / In order, the inner number decreases by (1) before and increases by (1) after. So \(\sqrt{98}\) comes before \(\sqrt{99}\), and \(\sqrt{100}\) comes after it.
B. राजनीतिक व्यस्तता और नीति अस्थिरता का तर्क/Argument of political preoccupation and policy instability
Explanation
Simple Explanation
बार बार चुनाव से खर्च और नीतिगत निरंतरता की समस्या हो सकती है। परीक्षा में इसे आलोचना के रूप में पहचानें। / Frequent elections may create cost and policy continuity issues. Exam tip: identify it as criticism.
\(\sqrt{121}=11\), क्योंकि \(11^2=121\)। पूर्ण वर्ग पहचानना समय बचाता है। / \(\sqrt{121}=11\), because \(11^2=121\). Identifying perfect squares saves time.
C. लोकतांत्रिक जवाबदेही और सार्वजनिक निगरानी/Democratic accountability and public scrutiny
Explanation
Simple Explanation
सार्वजनिक निगरानी सरकार को उत्तरदायी रखती है। परीक्षा में नागरिक समाज को जवाबदेही से जोड़ें। / Public scrutiny keeps government answerable. Exam tip: connect civil society with accountability.
हर नए चरण में अंदर की संख्या (1) बढ़ती है, इसलिए (8+5=13)। अंतिम कर्ण \(\sqrt{13}\) होगा। / At each new step, the inner number increases by (1), so (8+5=13). The final hypotenuse is \(\sqrt{13}\).
D. औपचारिक समानता और वास्तविक राजनीतिक समानता का अंतर/Difference between formal equality and real political equality
Explanation
Simple Explanation
धन असमानता समान अवसर को प्रभावित कर सकती है। परीक्षा में अधिकार और वास्तविक समानता अलग समझें। / Economic inequality can affect equal opportunity. Exam tip: distinguish rights from real equality.
(7) चरण पीछे जाने पर (29-7=22) मिलता है। इसलिए शुरुआत का कर्ण \(\sqrt{22}\) था। / Going (7) steps backward gives (29-7=22). Therefore, the starting hypotenuse was \(\sqrt{22}\).
A. चर्चा निर्णय को धीमा कर सकती है लेकिन वैधता और गुणवत्ता बढ़ा सकती है/Discussion may slow decisions but can increase legitimacy and quality
Explanation
Simple Explanation
लोकतांत्रिक प्रक्रिया में लाभ और कमी दोनों मौजूद हैं। परीक्षा में एकतरफा उत्तर से बचें। / Democratic process contains both benefit and weakness. Exam tip: avoid one sided answers.
\(\sqrt{54}=\sqrt{9\times6}=3\sqrt{6}\)। सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड चुनें। / \(\sqrt{54}=\sqrt{9\times6}=3\sqrt{6}\). Choose the greatest perfect square factor.
B. नागरिकों की समान राजनीतिक गरिमा/Equal political dignity of citizens
Explanation
Simple Explanation
मतदाता क्षमता की आलोचना नागरिक गरिमा और समान राजनीतिक महत्व से टकरा सकती है। परीक्षा में तर्कों का संबंध समझें। / Criticism of voter capacity may conflict with citizen dignity and equal political value. Exam tip: understand relations among arguments.
B. पिछले कर्ण पर (1) इकाई का लंब बनाना/Drawing a (1) unit perpendicular to the previous hypotenuse
Explanation
Simple Explanation
मुख्य रचना पिछले कर्ण पर (1) इकाई का लंब बनाने पर निर्भर करती है। इसी से अगला समकोण त्रिभुज बनता है। / The main construction depends on drawing a (1) unit perpendicular to the previous hypotenuse. This creates the next right triangle.
C. यह लोकलुभावन राजनीति की कमजोरी है/This is a weakness of populist politics
Explanation
Simple Explanation
मत पाने के लिए अल्पकालिक फैसले लोकतंत्र की आलोचना बन सकते हैं। परीक्षा में लोकलुभावनवाद पहचानें। / Short term decisions for votes can be a criticism of democracy. Exam tip: identify populism.
B. नहीं, दिशा बदलती है क्योंकि प्रत्येक नया लंब पिछले कर्ण पर बनता है/No, the direction changes because each new perpendicular is drawn on the previous hypotenuse
Explanation
Simple Explanation
हर नए चरण में लंब पिछले कर्ण पर बनता है, इसलिए दिशा धीरे-धीरे बदलती है। सर्पिल इसी घुमाव से बनता है। / At each new step, the perpendicular is drawn on the previous hypotenuse, so the direction gradually changes. The spiral is formed by this turning.
A. जब नागरिक जागरूक हों और चुनाव निष्पक्ष हों/When citizens are aware and elections are fair
Explanation
Simple Explanation
सुधार की क्षमता जागरूक नागरिक और निष्पक्ष चुनाव से मजबूत होती है। परीक्षा में अवसर और शर्त दोनों लिखें। / Capacity for correction becomes stronger with aware citizens and fair elections. Exam tip: write both opportunity and condition.
B. नहीं, क्योंकि पाइथागोरस प्रमेय के लिए समकोण जरूरी है/No, because a right angle is necessary for Pythagoras theorem
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{16}\) तभी निश्चित होगा जब नया खंड पिछले कर्ण पर लंब हो। समकोण के बिना पाइथागोरस प्रमेय नहीं लगेगा। / \(\sqrt{16}\) is certain only when the new segment is perpendicular to the previous hypotenuse. Without a right angle, Pythagoras theorem cannot be applied.
B. मनमानी और जबरदस्ती से/From arbitrariness and coercion
Explanation
Simple Explanation
जनता की सहमति शासन को वैध और स्वीकार्य बनाती है। परीक्षा में सहमति को वैधता से जोड़ें। / People's consent makes governance legitimate and acceptable. Exam tip: connect consent with legitimacy.
अंदर की संख्या (3) से (7) तक (4) बढ़ती है। इसलिए (4) नए चरण चाहिए। / The inner number increases from (3) to (7) by (4). Therefore, (4) new steps are needed.
A. चुनावी विमर्श की गुणवत्ता कमजोर हो सकती है/Quality of electoral debate may weaken
Explanation
Simple Explanation
पहचान आधारित नारे मुद्दा आधारित चर्चा को कमजोर कर सकते हैं। परीक्षा में विमर्श की गुणवत्ता को भी देखें। / Identity based slogans can weaken issue based discussion. Exam tip: examine quality of political debate too.
\(\sqrt{90}=\sqrt{9\times10}=3\sqrt{10}\)। पूर्ण वर्ग (9) को बाहर निकालें। / \(\sqrt{90}=\sqrt{9\times10}=3\sqrt{10}\). Take the perfect square (9) outside.
A. त्वरित निर्णय में जनता की सहमति और जवाबदेही नहीं हो सकती/Quick decisions may lack people's consent and accountability
Explanation
Simple Explanation
लोकतंत्र निर्णय की गति से अधिक वैधता और जवाबदेही पर भी जोर देता है। परीक्षा में तेज और वैध निर्णय का अंतर रखें। / Democracy stresses legitimacy and accountability besides speed. Exam tip: keep difference between fast and legitimate decisions.
(\(\sqrt{26}\)2=26) और \(1^2=1\), इसलिए योग (27) है। यही \(\sqrt{27}\) बनाने का चरण है। / (\(\sqrt{26}\)2=26) and \(1^2=1\), so the sum is (27). This is the step to form \(\sqrt{27}\).
B. सुधार और बेहतर निर्णय का तर्क/Argument of correction and better decision
Explanation
Simple Explanation
सार्वजनिक बहस गलतियों को उजागर कर सुधार संभव बनाती है। परीक्षा में बहस और सुधार को साथ लिखें। / Public debate exposes mistakes and makes correction possible. Exam tip: write debate and correction together.
अगला कर्ण \(\sqrt{101}\) होगा, जो सरल पूर्णांक नहीं है। \(\sqrt{100}=10\) के बाद भी क्रम \(\sqrt{101}\) से चलता है। / The next hypotenuse is \(\sqrt{101}\), which is not a simple integer. Even after \(\sqrt{100}=10\), the sequence continues with \(\sqrt{101}\).
C. नीति सुधार भी हो सकता है और निरंतरता भी प्रभावित हो सकती है/Policy may improve but continuity may also be affected
Explanation
Simple Explanation
बहुमत का बदलना सुधार भी ला सकता है और अस्थिरता भी। परीक्षा में दोहरा प्रभाव लिखें। / Change in majority can bring correction as well as instability. Exam tip: write the dual effect.
