समुच्चय \(A=\{1,2,3,6\}\) पर विभाज्यता संबंध में अधिकतम श्रृंखला में कितने अवयव होंगे?
In the divisibility relation on \(A=\{1,2,3,6\}\), how many elements can a longest chain contain?
#relations
#chain
#partial-order
#divisibility
A (2)
B (3)
C (4)
D (1)
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Step 1
Concept
एक श्रृंखला में हर दो अवयव तुलनीय होने चाहिए। / In a chain, every two elements must be comparable.
Step 2
Why this answer is correct
\(1\mid2\mid6\) और \(1\mid3\mid6\) तीन-तीन अवयवों की श्रृंखलाएं हैं। / \(1\mid2\mid6\) and \(1\mid3\mid6\) are chains of three elements.
Step 3
Exam Tip
(2) और (3) तुलनीय नहीं हैं, इसलिए चार अवयवों की श्रृंखला नहीं बन सकती। / Since (2) and (3) are not comparable, a four-element chain is impossible.
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समुच्चय \(A=\{1,2,4,8,16\}\) पर विभाज्यता संबंध में (2) और (8) का न्यूनतम ऊपरी बाध्य कौन सा है?
In the divisibility relation on \(A=\{1,2,4,8,16\}\), what is the least upper bound of (2) and (8)?
#relations
#lub
#divisibility
#partial-order
A (2)
B (4)
C (8)
D (16)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
ऊपरी बाध्य वह है जिसे (2) और (8) दोनों विभाजित करें। / An upper bound must be divisible by both (2) and (8).
Step 2
Why this answer is correct
(8) और (16) ऐसे ऊपरी बाध्य हैं। / (8) and (16) are upper bounds.
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता क्रम में इनमें न्यूनतम (8) है। / Under divisibility, the least among them is (8).
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समुच्चय \(A=\{1,2,4,8,16\}\) पर विभाज्यता संबंध में (4) और (16) का महानतम निचला बाध्य कौन सा है?
In the divisibility relation on \(A=\{1,2,4,8,16\}\), what is the greatest lower bound of (4) and (16)?
#relations
#glb
#divisibility
#partial-order
A (1)
B (2)
C (4)
D (8)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
निचला बाध्य (4) और (16) दोनों को विभाजित करेगा। / A lower bound must divide both (4) and (16).
Step 2
Why this answer is correct
(1,2,4) सभी निचले बाध्य हैं। / (1,2,4) are lower bounds.
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता क्रम में इनमें सबसे बड़ा (4) है। / Under divisibility, the greatest among them is (4).
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यदि (R) किसी समुच्चय पर प्रतिवर्ती और संक्रामी है, तो \(R\circ R\) के बारे में कौन सा कथन हमेशा सही है?
If (R) is reflexive and transitive on a set, which statement about \(R\circ R\) is always true?
#relations
#composition
#reflexive-transitive
#proof
A \(R\circ R=R\)
B \(R\circ R=\varnothing\)
C \(R\circ R=A\times A\)
D \(R\cap R\circ R=\varnothing\)
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Correct Answer
A. \(R\circ R=R\)
Step 1
Concept
प्रतिवर्तिता से \(R\subseteq R\circ R\) मिलता है। / Reflexivity gives \(R\subseteq R\circ R\).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता से \(R\circ R\subseteq R\) मिलता है। / Transitivity gives \(R\circ R\subseteq R\).
Step 3
Exam Tip
दोनों समावेशन मिलाकर \(R\circ R=R\) होता है। / Combining both inclusions gives \(R\circ R=R\).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,3),(3,4)\}\) का \(R\circ R\) कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), for \(R=\{(1,2),(2,3),(3,4)\}\), what is \(R\circ R\)?
#relations
#composition
#ordered-pairs
#expert
A ({(1,3),(2,4)})
B ({(1,4)})
C ({(1,2),(2,3),(3,4)})
D \(\varnothing\)
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Correct Answer
A. ({(1,3),(2,4)})
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मिलता है। / ((1,2)) and ((2,3)) give ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)) मिलता है। / ((2,3)) and ((3,4)) give ((2,4)).
Step 3
Exam Tip
दो चरणों की और कोई शृंखला नहीं है, इसलिए यही \(R\circ R\) है। / There is no other two-step chain, so this is \(R\circ R\).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,3),(3,4)\}\) का \(R\circ R\circ R\) कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), for \(R=\{(1,2),(2,3),(3,4)\}\), what is \(R\circ R\circ R\)?
#relations
#composition
#powers-of-relation
#expert
A ({(1,3),(2,4)})
B ({(1,4)})
C ({(1,2),(2,3),(3,4)})
D \(\varnothing\)
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Correct Answer
B. ({(1,4)})
Step 1
Concept
तीन बार संयोजन का अर्थ तीन चरणों की शृंखला है। / A triple composition represents a three-step chain.
Step 2
Why this answer is correct
यहां \(1\to2\to3\to4\) एकमात्र तीन-चरण शृंखला है। / Here \(1\to2\to3\to4\) is the only three-step chain.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (R\circ R\circ R={(1,4)}) होगा। / Therefore (R\circ R\circ R={(1,4)}).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) का \(R\circ R\) में कौन सा युग्म नहीं होगा?
On \(A=\{1,2,3\}\), for \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\), which pair will not belong to \(R\circ R\)?
#relations
#composition
#ordered-pairs
#expert
A ((1,1))
B ((1,3))
C ((3,1))
D ((1,2))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
D. ((1,2))
Step 1
Concept
\(1\to2\to1\) से ((1,1)) और \(1\to2\to3\) से ((1,3)) मिलता है। / \(1\to2\to1\) gives ((1,1)), and \(1\to2\to3\) gives ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
\(3\to2\to1\) से ((3,1)) भी मिलता है। / \(3\to2\to1\) gives ((3,1)).
Step 3
Exam Tip
(1) से (2) तक दो चरणों की शृंखला नहीं बनती, इसलिए ((1,2)) नहीं होगा। / There is no two-step chain from (1) to (2), so ((1,2)) is not in \(R\circ R\).
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यदि (R) सममित संबंध है, तो \(R\circ R^{-1}\) के बारे में कौन सा कथन सही है?
If (R) is a symmetric relation, which statement about \(R\circ R^{-1}\) is correct?
#relations
#composition
#inverse
#symmetric
A यह \(R\circ R\) के बराबर होगा / it will be equal to \(R\circ R\)
B यह हमेशा रिक्त होगा / it will always be empty
C यह हमेशा पहचान संबंध होगा / it will always be the identity relation
D यह कभी सममित नहीं होगा / it will never be symmetric
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Correct Answer
A. यह \(R\circ R\) के बराबर होगा / it will be equal to \(R\circ R\)
Step 1
Concept
सममित संबंध के लिए \(R^{-1}=R\) होता है। / For a symmetric relation, \(R^{-1}=R\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(R\circ R^{-1}\) में \(R^{-1}\) की जगह (R) रख सकते हैं। / So in \(R\circ R^{-1}\), we may replace \(R^{-1}\) by (R).
Step 3
Exam Tip
अतः \(R\circ R^{-1}=R\circ R\)। / Hence \(R\circ R^{-1}=R\circ R\).
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किसी संबंध (R) के लिए (\(R^{-1}\)^{-1}) किसके बराबर होता है?
For any relation (R), what is (\(R^{-1}\)^{-1}) equal to?
#relations
#inverse-relation
#basic-property
#class12
A (R)
B \(R^{-1}\)
C \(\varnothing\)
D \(A\times A\)
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Step 1
Concept
प्रतिलोम लेने पर हर युग्म की दिशा बदलती है। / Taking the inverse reverses every ordered pair.
Step 2
Why this answer is correct
दो बार दिशा बदलने पर युग्म अपनी मूल दिशा में लौट आता है। / Reversing twice brings each pair back to its original direction.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (\(R^{-1}\)^{-1}=R) होता है। / Therefore (\(R^{-1}\)^{-1}=R).
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यदि (R) और (S) संबंध हैं, तो (\(R\cup S\)^{-1}) किसके बराबर होता है?
If (R) and (S) are relations, what is (\(R\cup S\)^{-1}) equal to?
#relations
#inverse
#union
#sets
A \(R^{-1}\cup S^{-1}\)
B \(R^{-1}\cap S^{-1}\)
C \(R\cup S^{-1}\)
D \(R^{-1}-S^{-1}\)
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Correct Answer
A. \(R^{-1}\cup S^{-1}\)
Step 1
Concept
संघ में जो युग्म (R) या (S) में होता है, उसका उल्टा प्रतिलोम में आएगा। / A pair in the union comes from (R) or from (S).
Step 2
Why this answer is correct
यदि युग्म (R) से आया है तो उल्टा \(R^{-1}\) में होगा, और यदि (S) से आया है तो \(S^{-1}\) में होगा। / Its reverse will then lie in \(R^{-1}\) or in \(S^{-1}\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए प्रतिलोम \(R^{-1}\cup S^{-1}\) है। / Hence (\(R\cup S\)^{-1}=R^{-1}\cup S^{-1}).
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