पांच तत्वों वाले समुच्चय पर ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें न्यूनतम संख्या से ठीक (6) अधिक युग्म हों?
On a five-element set, how many reflexive relations have exactly (6) more pairs than the minimum possible number?
#reflexive relation
#counting
#minimum relation
A \(\binom{20}{6}\)
B \(\binom{25}{6}\)
C \(2^{20}\)
D \(\binom{6}{5}\)
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Correct Answer
A. \(\binom{20}{6}\)
Step 1
Concept
पांच तत्वों पर न्यूनतम प्रतिवर्ती संबंध में (5) विकर्ण युग्म होते हैं। / On a five-element set, the minimum reflexive relation has (5) diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
न्यूनतम से (6) अधिक युग्म का मतलब (6) अविकर्ण युग्म चुनना है। / Having (6) more pairs means choosing (6) non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
अविकर्ण युग्म (25-5=20) हैं, इसलिए संख्या \(\binom{20}{6}\) है। / There are (25-5=20) non-diagonal pairs, so the count is \(\binom{20}{6}\).
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यदि (A) में (n) तत्व हैं, तो ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या क्या होगी जिनमें ठीक (n+2) युग्म हों?
If (A) has (n) elements, how many reflexive relations have exactly (n+2) ordered pairs?
#reflexive relation
#general formula
#counting
A \(\binom{n^2-n}{2}\)
B \(2^{n^2-n}\)
C \(\binom{n^2}{n+2}\)
D \(n^2-n\)
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Correct Answer
A. \(\binom{n^2-n}{2}\)
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती संबंध में (n) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / A reflexive relation must contain (n) diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
ठीक (n+2) युग्म चाहिए, इसलिए (2) अविकर्ण युग्म चुनने होंगे। / To have exactly (n+2) pairs, choose (2) non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
अविकर्ण युग्म \(n^2-n\) हैं, अतः संख्या \(\binom{n^2-n}{2}\) है। / Since there are \(n^2-n\) non-diagonal pairs, the number is \(\binom{n^2-n}{2}\).
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तीन तत्वों वाले समुच्चय पर ऐसे संबंधों की संख्या कितनी है जो प्रतिवर्ती हैं और सार्वत्रिक संबंध नहीं हैं?
On a three-element set, how many relations are reflexive but not the universal relation?
#reflexive relation
#universal relation
#counting
A (63)
B (64)
C (511)
D (512)
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Step 1
Concept
तीन तत्वों पर प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या \(2^{9-3}=2^6=64\) है। / On a three-element set, the number of reflexive relations is \(2^{9-3}=2^6=64\).
Step 2
Why this answer is correct
इनमें सार्वत्रिक संबंध भी शामिल है। / This count includes the universal relation.
Step 3
Exam Tip
सार्वत्रिक संबंध हटाने पर (64-1=63) संबंध बचते हैं। / Excluding the universal relation gives (64-1=63).
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चार तत्वों वाले समुच्चय पर ऐसे संबंधों की संख्या कितनी है जो प्रतिवर्ती हैं और पहचान संबंध से अलग हैं?
On a four-element set, how many relations are reflexive and different from the identity relation?
#reflexive relation
#identity relation
#counting
A \(2^{12}-1\)
B \(2^{16}-1\)
C \(2^{12}\)
D (12)
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Correct Answer
A. \(2^{12}-1\)
Step 1
Concept
चार तत्वों पर प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या \(2^{16-4}=2^{12}\) है। / On a four-element set, the number of reflexive relations is \(2^{16-4}=2^{12}\).
Step 2
Why this answer is correct
पहचान संबंध भी प्रतिवर्ती है। / The identity relation is one of them.
Step 3
Exam Tip
पहचान संबंध को हटाने पर \(2^{12}-1\) संबंध मिलते हैं। / Removing it leaves \(2^{12}-1\) relations.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) है, तो ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें ((1,2)) अवश्य हो और ((2,1)) अवश्य न हो?
If \(A=\{1,2,3,4\}\), how many reflexive relations must contain ((1,2)) and must not contain ((2,1))?
#reflexive relation
#counting
#restricted pairs
A \(2^{10}\)
B \(2^{11}\)
C \(2^{12}\)
D \(2^8\)
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Correct Answer
A. \(2^{10}\)
Step 1
Concept
(4) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / The (4) diagonal pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
(12) अविकर्ण युग्मों में से ((1,2)) अनिवार्य है और ((2,1)) वर्जित है। / Among the (12) non-diagonal pairs, ((1,2)) is compulsory and ((2,1)) is forbidden.
Step 3
Exam Tip
बाकी (10) अविकर्ण युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{10}\) है। / The remaining (10) non-diagonal pairs are optional, giving \(2^{10}\) relations.
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तीन तत्वों वाले समुच्चय पर ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें कम-से-कम एक अविकर्ण युग्म हो?
On a three-element set, how many reflexive relations contain at least one non-diagonal pair?
#reflexive relation
#non diagonal
#counting
A (63)
B (64)
C (6)
D \(2^9\)
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Step 1
Concept
तीन तत्वों पर कुल प्रतिवर्ती संबंध \(2^6=64\) हैं। / On a three-element set, there are \(2^6=64\) reflexive relations.
Step 2
Why this answer is correct
जिनमें कोई अविकर्ण युग्म नहीं है, वह केवल पहचान संबंध है। / The only one with no non-diagonal pair is the identity relation.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कम-से-कम एक अविकर्ण युग्म वाले संबंध (64-1=63) होंगे। / Hence the number with at least one non-diagonal pair is (64-1=63).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) प्रतिवर्ती है और (R) में ठीक (9) युग्म हैं। ऐसे संबंधों की संख्या क्या है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (R) is reflexive and has exactly (9) pairs. How many such relations are possible?
#reflexive relation
#combinations
#exact pairs
A \(\binom{12}{5}\)
B \(\binom{16}{9}\)
C \(\binom{9}{4}\)
D \(2^9\)
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Correct Answer
A. \(\binom{12}{5}\)
Step 1
Concept
चार विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / The four diagonal pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
कुल (9) युग्म के लिए (5) अविकर्ण युग्म चुनने होंगे। / To have (9) total pairs, choose (5) non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
(12) अविकर्ण युग्मों में से (5) चुनने के तरीके \(\binom{12}{5}\) हैं। / Choosing (5) from (12) non-diagonal pairs gives \(\binom{12}{5}\).
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) है, तो ऐसे प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें कोई भी अविकर्ण युग्म न हो?
If \(A=\{1,2,3,4,5\}\), how many reflexive relations have no non-diagonal pair?
#reflexive relation
#identity relation
#counting
A 1
B 5
C 10
D \(2^5\)
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Step 1
Concept
प्रतिवर्ती संबंध में पांचों विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / A reflexive relation must contain all five diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
कोई अविकर्ण युग्म न होने पर संबंध केवल पहचान संबंध होगा। / If no non-diagonal pair is allowed, the relation is exactly the identity relation.
Step 3
Exam Tip
ऐसा संबंध केवल (1) है। / Therefore only (1) such relation exists.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) ऐसा संबंध है जिसमें हर ((a,a)) है और केवल दो अविकर्ण युग्म नहीं हैं। (R) के कुल कितने युग्म होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (R) is a relation containing every ((a,a)) and missing exactly two non-diagonal pairs. How many total pairs does (R) have?
#reflexive relation
#ordered pairs
#counting
A 12
B 14
C 15
D 16
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Step 1
Concept
\(A\times A\) में कुल (16) युग्म हैं। / \(A\times A\) has (16) pairs.
Step 2
Why this answer is correct
केवल दो अविकर्ण युग्म अनुपस्थित हैं और सभी विकर्ण युग्म मौजूद हैं। / Exactly two non-diagonal pairs are missing while all diagonal pairs are present.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कुल युग्म (16-2=14) होंगे। / Hence the total number of pairs is (16-2=14).
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यदि \(S=\{1,2,3\}\) और (A=\mathcal{P}(S)) है। (A) पर \(R=\{(X,Y):X\subseteq Y\}\) है। (R) में कितने विकर्ण युग्म हैं?
If \(S=\{1,2,3\}\) and (A=\mathcal{P}(S)). On (A), \(R=\{(X,Y):X\subseteq Y\}\). How many diagonal pairs are in (R)?
#reflexive relation
#power set
#subset
A 3
B 6
C 8
D 9
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Step 1
Concept
(\mathcal{P}(S)) में \(2^3=8\) तत्व होते हैं। / (\mathcal{P}(S)) has \(2^3=8\) elements.
Step 2
Why this answer is correct
हर समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है, इसलिए हर ((X,X)) संबंध में है। / Every set is a subset of itself, so every ((X,X)) is in the relation.
Step 3
Exam Tip
अतः विकर्ण युग्मों की संख्या (8) है। / Therefore the number of diagonal pairs is (8).
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