समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर ठीक (10) युग्मों वाले प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या कितनी है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), how many reflexive relations have exactly (10) ordered pairs?
#reflexive relation
#combinations
#counting
A \(\binom{12}{6}\)
B \(\binom{16}{10}\)
C \(\binom{10}{4}\)
D \(\binom{12}{4}\)
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Correct Answer
A. \(\binom{12}{6}\)
Step 1
Concept
\(A\times A\) में (16) युग्म हैं और (4) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / \(A\times A\) has (16) pairs and (4) diagonal pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
कुल (10) युग्म चाहिए, इसलिए बाकी (6) युग्म (12) अविकर्ण युग्मों में से चुनने होंगे। / To get exactly (10) pairs, choose (6) more from the (12) non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
संख्या \(\binom{12}{6}\) होगी। / The count is \(\binom{12}{6}\).
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) है, तो ठीक (9) युग्मों वाले प्रतिवर्ती संबंधों की संख्या क्या होगी?
If \(A=\{1,2,3,4,5\}\), how many reflexive relations have exactly (9) ordered pairs?
#reflexive relation
#counting
#combinations
A \(\binom{20}{4}\)
B \(\binom{25}{9}\)
C \(\binom{20}{9}\)
D \(\binom{25}{4}\)
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Correct Answer
A. \(\binom{20}{4}\)
Step 1
Concept
पांच तत्वों के लिए (5) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / For five elements, (5) diagonal pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
कुल (9) युग्म चाहिए, इसलिए (9-5=4) अविकर्ण युग्म चुनने होंगे। / A relation with (9) pairs needs (9-5=4) additional non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
अविकर्ण युग्म (25-5=20) हैं, अतः उत्तर \(\binom{20}{4}\) है। / There are (25-5=20) non-diagonal pairs, so the answer is \(\binom{20}{4}\).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर ठीक (5) युग्मों वाला प्रतिवर्ती संबंध कितने तरीकों से बनाया जा सकता है?
In how many ways can a reflexive relation with exactly (5) ordered pairs be formed on \(A=\{1,2,3\}\)?
#reflexive relation
#exact pairs
#counting
A \(\binom{6}{2}\)
B \(\binom{9}{5}\)
C \(\binom{5}{3}\)
D \(2^6\)
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Correct Answer
A. \(\binom{6}{2}\)
Step 1
Concept
तीन विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / The (3) diagonal pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
कुल (5) युग्म चाहिए, इसलिए (2) अतिरिक्त युग्म चाहिए। / To have (5) total pairs, choose (2) additional pairs.
Step 3
Exam Tip
अविकर्ण युग्म (9-3=6) हैं, इसलिए \(\binom{6}{2}\) तरीके होंगे। / There are (6) non-diagonal pairs, so the number of ways is \(\binom{6}{2}\).
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और (R) प्रतिवर्ती संबंध है, तो (R) में न्यूनतम कितने युग्म होंगे?
If \(A=\{1,2,3,4\}\) and (R) is reflexive, what is the minimum possible number of ordered pairs in (R)?
#reflexive relation
#minimum pairs
#class 12
A 1
B 4
C 8
D 16
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Step 1
Concept
प्रतिवर्ती संबंध में हर तत्व का स्वयं से युग्म होना चाहिए। / A reflexive relation must include every element paired with itself.
Step 2
Why this answer is correct
चार तत्वों के लिए कम-से-कम ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)) चाहिए। / For four elements, the minimum required pairs are ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)).
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम संख्या समुच्चय के तत्वों की संख्या के बराबर होती है। / The minimum count equals the number of elements in the set.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर एक संबंध (R) में सभी अविकर्ण युग्म हैं, पर कोई विकर्ण युग्म नहीं है। (R) को प्रतिवर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), a relation (R) contains all non-diagonal pairs but no diagonal pair. How many pairs must be added to make (R) reflexive?
#reflexive relation
#non diagonal pairs
#expert
A 0
B 5
C 10
D 20
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Step 1
Concept
प्रतिवर्ती होने के लिए पांचों विकर्ण युग्म जरूरी हैं। / Reflexivity needs all five diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
संबंध में कोई विकर्ण युग्म नहीं है, इसलिए सभी पांच जोड़ने होंगे। / Since the relation has no diagonal pair, all five must be added.
Step 3
Exam Tip
अविकर्ण युग्मों की अधिक संख्या प्रतिवर्तिता की कमी पूरी नहीं करती। / Having many non-diagonal pairs does not compensate for missing diagonal pairs.
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\(यदि (A={1,2,3,4}) और (R={(a,b):a+b\) विषम है}) है, तो (R) के लिए सही कथन क्या है?
\(If (A={1,2,3,4}) and (R={(a,b):a+b\) is odd}), which statement is correct about (R)?
#reflexive relation
#parity
#odd even
A प्रतिवर्ती है / It is reflexive
B प्रतिवर्ती नहीं है / It is not reflexive
C सार्वत्रिक संबंध है / It is universal relation
D केवल ((1,1)) रखता है / It contains only ((1,1))
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Correct Answer
B. प्रतिवर्ती नहीं है / It is not reflexive
Step 1
Concept
((a,a)) के लिए योग (a+a=2a) होता है। / For ((a,a)), the sum is (a+a=2a).
Step 2
Why this answer is correct
(2a) हमेशा सम होता है, विषम नहीं। इसलिए कोई भी विकर्ण युग्म नहीं आएगा। / (2a) is always even, not odd, so no diagonal pair belongs to (R).
Step 3
Exam Tip
योग की सम-विषम प्रकृति देखकर प्रतिवर्तिता तुरंत जांची जा सकती है। / Parity of the diagonal sum gives a quick reflexivity check.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (R={(a,b):\(a\equiv b \pmod{2}\)}) है। (R) प्रतिवर्ती है या नहीं?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (R={(a,b):\(a\equiv b \pmod{2}\)}). Is (R) reflexive?
#reflexive relation
#modulo
#congruence
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल सम तत्वों पर / Only on even elements
D केवल विषम तत्वों पर / Only on odd elements
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Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
प्रतिवर्ती जांच के लिए (b=a) रखें। / To test reflexivity, put (b=a).
Step 2
Why this answer is correct
हर (a) के लिए \(a\equiv a \pmod{2}\) सत्य है। / For every (a), \(a\equiv a \pmod{2}\) is true.
Step 3
Exam Tip
समान शेषफल वाला संबंध हमेशा विकर्ण युग्मों को शामिल करता है। / Congruence with the same element always includes diagonal pairs.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (R={(a,b):\(a\equiv b+1 \pmod{2}\)}) है। (R) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (R={(a,b):\(a\equiv b+1 \pmod{2}\)}). What is the correct conclusion about (R)?
#reflexive relation
#modulo
#expert
A प्रतिवर्ती है / It is reflexive
B प्रतिवर्ती नहीं है / It is not reflexive
C सिर्फ (a=1) पर प्रतिवर्ती है / Reflexive only at (a=1)
D सभी युग्म रखता है / It contains all pairs
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Correct Answer
B. प्रतिवर्ती नहीं है / It is not reflexive
Step 1
Concept
विकर्ण पर (b=a) रखने से \(a\equiv a+1 \pmod{2}\) मिलता है। / On the diagonal, put (b=a), giving \(a\equiv a+1 \pmod{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
कोई संख्या अपने से (1) अधिक संख्या के समान शेषफल वाली नहीं हो सकती। / A number and the next number do not have the same parity.
Step 3
Exam Tip
विकर्ण पर शर्त असत्य हो तो संबंध प्रतिवर्ती नहीं होता। / If the diagonal condition fails, the relation is not reflexive.
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यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) और (R={(a,b):\(a^2\equiv b^2 \pmod{3}\)}) है, तो (R) का प्रतिवर्ती होना किस कारण से सही है?
If \(A=\{1,2,3,4,5\}\) and (R={(a,b):\(a^2\equiv b^2 \pmod{3}\)}), why is (R) reflexive?
#reflexive relation
#modulo
#squares
A क्योंकि \(a^2\equiv a^2 \pmod{3}\) हर (a) पर सत्य है / Because \(a^2\equiv a^2 \pmod{3}\) for every (a)
B क्योंकि सभी वर्ग (3) से विभाज्य हैं / Because all squares are divisible by (3)
C क्योंकि (A) में (3) है / Because (A) contains (3)
D क्योंकि (R) खाली है / Because (R) is empty
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Correct Answer
A. क्योंकि \(a^2\equiv a^2 \pmod{3}\) हर (a) पर सत्य है / Because \(a^2\equiv a^2 \pmod{3}\) for every (a)
Step 1
Concept
प्रतिवर्तिता में ((a,a)) को शर्त में रखें। / For reflexivity, substitute ((a,a)) into the condition.
Step 2
Why this answer is correct
तब \(a^2\equiv a^2 \pmod{3}\) मिलेगा, जो समानता के कारण हमेशा सत्य है। / This gives \(a^2\equiv a^2 \pmod{3}\), which is always true by equality.
Step 3
Exam Tip
घात और शेषफल वाले संबंध में भी पहले समान तत्व की जांच करें। / Even in power and modulo relations, test the same element first.
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\(समुच्चय (A={1,2,3,4}) पर (R={(a,b):a^2+b^2\) सम है}) है। (R) प्रतिवर्ती है या नहीं?
\(On (A={1,2,3,4}), (R={(a,b):a^2+b^2\) is even}). Is (R) reflexive?
#reflexive relation
#parity
#squares
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल सम तत्वों पर / Only on even elements
D केवल विषम तत्वों पर / Only on odd elements
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Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
विकर्ण पर \(a^2+b^2=2a^2\) होगा। / On the diagonal, \(a^2+b^2=2a^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(2a^2\) हमेशा सम है, इसलिए हर ((a,a)) संबंध में है। / \(2a^2\) is always even, so every ((a,a)) belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
विकर्ण पर अभिव्यक्ति को सरल करना तेज तरीका है। / Simplifying the expression on the diagonal is the fastest method.
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