Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(y=\frac{x-2}{3}\) मान लें। / Let \(y=\frac{x-2}{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
(3y=x-2), अतः (x=3y+2)। अब (y) की जगह (x) लिखने पर (f^{-1}(x)=3x+2) मिलेगा। / Then (3y=x-2), so (x=3y+2). Replacing (y) by (x), we get (f^{-1}(x)=3x+2).
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम निकालते समय (x) को अकेला करें और अंत में चर बदलें। / To find an inverse, isolate (x) first and then interchange the variables.
A. कम से कम दो अवयवों का प्रतिबिंब समान होगा/At least two elements have the same image
Step 1
Concept
आच्छादी होने का अर्थ है (B) का हर अवयव किसी न किसी (A) के अवयव से प्राप्त हो। / Onto means every element of (B) is hit by at least one element of (A).
Step 2
Why this answer is correct
(A) में (7) और (B) में (5) अवयव हैं, इसलिए सभी प्रतिबिंब अलग-अलग नहीं हो सकते। / Since (A) has (7) elements and (B) has (5), all images cannot be distinct.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चयों में अवयवों की संख्या देखकर एकैकी और आच्छादी का निर्णय जल्दी हो सकता है। / For finite sets, compare cardinalities to judge one-one and onto quickly.
यदि \(n_1+2=n_2+2\), तो \(n_1=n_2\), इसलिए फलन एकैकी है। / If \(n_1+2=n_2+2\), then \(n_1=n_2\), so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(m\in\mathbb{Z}\) के लिए (n=m-2) भी पूर्णांक है, इसलिए (m) प्राप्त हो जाता है। / For any \(m\in\mathbb{Z}\), (n=m-2) is also an integer, so every integer is obtained.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों पर स्थिर जोड़ या घटाव वाला फलन सामान्यतः एकैकी और आच्छादी रहता है। / On integers, adding or subtracting a fixed integer usually gives a bijection.
A. (1) और (2) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है/(1) and (2) have no preimage
Step 1
Concept
\(n\in\mathbb{N}\) होने पर \(n+2\ge 3\) होगा। / For \(n\in\mathbb{N}\), \(n+2\ge 3\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{N}\) में (1) और (2) हैं, पर वे (f(n)) के रूप में नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{N}\) contains (1) and (2), but they are not values of (f(n)).
Step 3
Exam Tip
प्रांत बदलने से फलन की आच्छादी प्रकृति बदल सकती है। / Changing the domain can change whether a function is onto.
\([0,\infty\)) पर \(x^2\) बढ़ता है, इसलिए दो अलग निवेशों का समान वर्ग नहीं होगा। / On \([0,\infty\)), \(x^2\) is increasing, so two different inputs do not give the same square.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\ge0\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) प्रांत में है और (f(x)=y) देता है। / For any \(y\ge0\), \(x=\sqrt{y}\) belongs to the domain and gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
वर्ग फलन की प्रकृति प्रांत पर बहुत निर्भर करती है। / The nature of the square function depends strongly on its domain.
\(x=\sqrt[3]{y}\), इसलिए चर बदलने पर (f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x})। / Then \(x=\sqrt[3]{y}\), so after interchanging variables (f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}).
Step 3
Exam Tip
घन फलन \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) पर एकैकी और आच्छादी होता है, इसलिए उसका व्युत्क्रम होता है। / The cube function is bijective on \(\mathbb{R}\), so its inverse exists.
