Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
मैट्रिक्स \(C\) का आकार \(1\times3\) है (1 पंक्ति और 3 स्तंभ)। केवल एक पंक्ति वाली मैट्रिक्स को पंक्ति मैट्रिक्स कहा जाता है, इसलिए उत्तर पंक्ति मैट्रिक्स है। नज़दीकी भ्रांतियाँ: स्तंभ मैट्रिक्स वह होता है जिसकी केवल एक स्तम्भ (जैसे \(3\times1\)) हो — यह यहाँ लागू नहीं होता; विकर्ण और इकाई मैट्रिक्स वर्गाकार (square) होते हैं, जबकि यह \(1\times3\) है। परīk्षा युक्ति: पहले मैट्रिक्स के आयाम (rows × columns) गिनें — यदि rows = 1 तो वह पंक्ति मैट्रिक्स है। / Matrix \(C\) has size \(1\times3\) (one row and three columns). A matrix with only one row is a row matrix, so the correct answer is row matrix. Closest distractor: a column matrix would have one column (e.g. \(3\times1\)), which is not the case here; diagonal and identity matrices must be square, unlike this \(1\times3\) matrix. Exam tip: always check the dimensions (rows × columns); if rows = 1 it's a row matrix.
इस मैट्रिक्स के सभी अवयव शून्य (0) हैं। किसी भी आयाम का ऐसा मैट्रिक्स जिसमें सभी प्रविष्टियाँ 0 हों, उसे शून्य मैट्रिक्स कहा जाता है — अतः उत्तर B सही है। विकल्प A (इकाई मैट्रिक्स) में मुख्य विकर्ण पर 1 होते हैं, जो यहाँ नहीं हैं। विकल्प C (स्केलर मैट्रिक्स) सामान्य रूप से λI होता है; शून्य मैट्रिक्स λ=0 के लिए स्केलर मैट्रिक्स का विशेष मामला है, पर मानक वर्गीकरण में इसे प्रमुख रूप से शून्य मैट्रिक्स कहा जाता है। विकल्प D (स्तम्भ मैट्रिक्स) का अर्थ केवल एक स्तम्भ वाला मैट्रिक्स है, जबकि दिया गया मैट्रिक्स 2×2 है। परीक्षा टिप: सबसे पहले सभी तत्व देखें — यदि सभी तत्व 0 हों तो तुरंत शून्य मैट्रिक्स लिखें। / All entries of this matrix are zero, so it is a zero matrix. A matrix whose every entry is 0 is called the zero matrix — therefore B is correct. Identity matrices have 1s on the main diagonal (not true here). A scalar matrix is of the form λI; the zero matrix is the special case with λ=0, but conventionally it is identified as the zero matrix in classification questions. A column matrix has a single column, whereas the given matrix is 2×2. Exam tip: Check the entries first — if every entry is 0, the matrix is the zero matrix immediately.
C. क्रम \(2\times5\) वाली मैट्रिक्स/Matrix of order \(2\times5\)
Explanation
Simple Explanation
परिभाषा: आयताकार मैट्रिक्स वह होता है जिसकी पंक्तियों (rows) और स्तम्भों (columns) की संख्या भिन्न हो। सामान्य रूप से क्रम \(m\times n\) जहाँ \(m\ne n\) आयताकार होगा। विकल्प C का क्रम \(2\times5\) है और \(2\ne5\), इसलिए यह आयताकार मैट्रिक्स है। विकल्प A, B और D के क्रम \(2\times2\), \(3\times3\) और \(1\times1\) हैं जिनमें पंक्तियाँ और स्तम्भ समान हैं — वे square (वर्गाकार) मैट्रिक्स हैं, इसलिए वे गलत विकल्प हैं। परीक्षा टिप: किसी भी क्रम \(m\times n\) में केवल \(m\) और \(n\) की तुलना कर लें; बराबर हों तो square, नहीं तो rectangular। / Definition: A rectangular matrix has a different number of rows and columns. In general an order \(m\times n\) matrix is rectangular if \(m\ne n\). Option C is of order \(2\times5\) and since \(2\ne5\) it is rectangular. Options A, B and D are of orders \(2\times2\), \(3\times3\) and \(1\times1\) respectively; in each of these the number of rows equals the number of columns, so they are square matrices and not rectangular. Exam tip: To decide quickly, compare the two numbers in the order \(m\times n\); equal ⇒ square, unequal ⇒ rectangular.
विकर्ण मैट्रिक्स की परिभाषा: मुख्य विकर्ण के बाहर के सभी अवयव शून्य होते हैं। दिए गए मैट्रिक्स में मुख्य विकर्ण के बाहर के अवयव 0 हैं और मुख्य विकर्ण पर 2 तथा 3 हैं; इसलिए यह विकर्ण मैट्रिक्स है। निकटतम भ्रामक विकल्प: इकाई मैट्रिक्स में मुख्य विकर्ण पर सभी तत्व 1 होते हैं — यहाँ वे 1 नहीं हैं। परीक्षा-सुझाव: किसी भी मैट्रिक्स का प्रकार बताने से पहले मुख्य विकर्ण के बाहर के तत्वों को जांचें। / Definition: A diagonal matrix has all off-diagonal entries equal to zero. In the given matrix the off-diagonal entries are 0 and the diagonal entries are 2 and 3, so it is a diagonal matrix. Closest distractor: an identity matrix must have 1s on the diagonal, which this matrix does not. Exam tip: quickly check whether all non-diagonal elements are zero to recognize a diagonal matrix.
मध्यवर्ती (main) विकर्ण के बाहर के सभी अवयव शून्य हैं और विकर्ण पर क्रमशः 2, 3, 4 जैसे गैर-शून्य मान हैं। इन्हीं गुणों के कारण यह विकर्ण मैट्रिक्स है। निकटतम विचलन (Zero matrix) गलत है क्योंकि शून्य मैट्रिक्स में सभी अवयव शून्य होते हैं, पर यहाँ विकर्ण पर 2, 3, 4 हैं। पंक्ति या स्तंभ मैट्रिक्स नहीं है क्योंकि वह 1×n या n×1 का आकार होता है, जबकि यह 3×3 है। परीक्षा टिप: किसी मैट्रिक्स को विकर्ण मानने के लिए सिर्फ यह जाँचें कि मुख्य विकर्ण के बाहर सभी प्रविष्टियाँ 0 हों। / All entries outside the main diagonal are zero while the diagonal entries are 2, 3 and 4 (nonzero). These properties define a diagonal matrix. The zero-matrix option is incorrect because a zero matrix requires every entry to be 0, which is not true here. It is also not a row or column matrix since those have dimensions 1×n or n×1 whereas this is 3×3. Exam tip: Check whether all off-diagonal entries are 0 to identify a diagonal matrix quickly.
A. तीसरे क्रम की इकाई मैट्रिक्स/Identity matrix of order 3
Explanation
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इकाई (identity) मैट्रिक्स में मुख्य विकर्ण (main diagonal) पर सभी प्रविष्टियाँ 1 होती हैं और बाकी सभी प्रविष्टियाँ 0 होती हैं। दिया गया मैट्रिक्स \(3\times3\) है और इसकी मुख्य विकर्ण पर 1 तथा शेष स्थानों पर 0 हैं, इसलिए यह तीसरे क्रम की इकाई मैट्रिक्स है। निकटतम भ्रामक विकल्प शून्य मैट्रिक्स इसलिए गलत है क्योंकि शून्य मैट्रिक्स में सभी प्रविष्टियाँ 0 होतीं — यहाँ मुख्य विकर्ण पर 1 हैं। पंक्ति और स्तंभ मैट्रिक्स का आकार क्रम में एक पंक्ति या एक स्तंभ होता है, इसलिए वे भी उपयुक्त नहीं हैं। परीक्षा युक्ति: पहचान के लिए मुख्य विकर्ण (diagonal) पर 1 हैं या नहीं तुरंत देख लें। / An identity matrix has 1s on the main diagonal and 0s elsewhere. The given matrix is 3×3 with ones on its main diagonal and zeros in all other positions, so it is the identity matrix of order 3. The closest distractor, the zero matrix, is incorrect because a zero matrix has every entry equal to 0, whereas here diagonal entries are 1. Row and column matrices are of sizes 1×n or n×1 respectively, so they do not match a 3×3 identity matrix. Exam tip: quickly check the main diagonal — if all are 1 and others 0, it's an identity matrix.
अदिश (scalar) मैट्रिक्स वह मैट्रिक्स होती है जिसे kI के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ I इकाई मैट्रिक्स है और k समान स्केलर है। इसलिए मुख्य विकर्ण पर सभी प्रविष्टियाँ समान (= k) होती हैं और सभी गैर-विकर्ण अवयव शून्य होते हैं। निकटतम भ्रामक विकल्प पंक्ति मैट्रिक्स है — पर वह केवल एक पंक्ति में तत्व रखती है और विकर्ण पर समानता या अन्य अवयवों के शून्य होने की कोई शर्त नहीं होती। परीक्षा टिप: किसी भी मैट्रिक्स को scalar मानने के लिए उसे kI के रूप में व्यक्त कर पाना चाहिए (सभी गैर-विकर्ण अवयव शून्य और विकर्ण बराबर)। / A scalar matrix is of the form kI, where I is the identity matrix and k is a scalar. Thus every main diagonal entry equals k and every off-diagonal entry is zero. The closest distractor, row matrix, only means nonzero entries may lie in a single row and does not require equal diagonal entries or zero off-diagonals. Exam tip: Check if the matrix can be written as kI — if yes, it's a scalar matrix.
इकाई मैट्रिक्स (नोटेशन अक्सर \(I_n\)) की परिभाषा यह है कि इसके मुख्य विकर्ण पर सभी अवयव 1 होते हैं और बाकी सभी अवयव 0 होते हैं। इसलिए दिया गया विवरण सीधे इकाई मैट्रिक्स को सूचित करता है। निकटतम भ्रामक विकल्प 'विकर्ण मैट्रिक्स' है — वह भी केवल मुख्य विकर्ण पर संभावित गैर-शून्य अवयव रखता है, पर वे अनिवार्य रूप से 1 नहीं होते; इकाई मैट्रिक्स विकर्ण मैट्रिक्स का एक विशेष मामला है जहाँ विकर्ण पर सभी मान 1 हैं। 'शून्य मैट्रिक्स' में सभी अवयव 0 होते हैं (न तो विकर्ण पर 1) और 'आयताकार मैट्रिक्स' आकार से संबंधित है और सामान्यतः वर्गाकार नहीं भी हो सकती, जबकि इकाई मैट्रिक्स वर्गाकार होना आवश्यक है। परीक्षा-सुझाव: किसी विकल्प को चुनते समय जाँचें कि क्या मैट्रिक्स वर्गाकार है और विकर्ण के मान विशेष रूप से 1 हैं। / An identity matrix (commonly denoted \(I_n\)) is defined by having 1s on the main diagonal and 0s elsewhere, so the given description matches the identity matrix exactly. The closest distractor is the diagonal matrix — it has zeros off the main diagonal but its diagonal entries need not be 1; the identity matrix is just the special diagonal matrix with all diagonal entries equal to 1. The zero matrix has all entries 0 (including the diagonal), and a rectangular matrix refers to shape and may not be square, whereas an identity matrix must be square. Exam tip: verify the matrix is square and that diagonal entries are specifically 1 before selecting the answer.
शून्य मैट्रिक्स की परिभाषा: हर प्रविष्टि 0 होती है। विकल्प A में चारों तत्व 0 हैं इसलिए यह 2×2 शून्य मैट्रिक्स है। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प B (पहचान मैट्रिक्स) में अग्ररेखा पर 1 हैं, इसलिए वह शून्य मैट्रिक्स नहीं हो सकता। परिक्षा सुझाव: किसी मैट्रिक्स को शून्य मानने से पहले सभी प्रविष्टियाँ जाँचें — कोई भी 0 के अलग मान होने पर वह शून्य मैट्रिक्स नहीं होगा। / Definition: a zero matrix has every entry equal to 0. In option A all four entries are 0, so it is the 2×2 zero matrix. The closest distractor B is the identity matrix with 1s on the diagonal, so it is not a zero matrix. Exam tip: verify every entry — a single nonzero entry immediately rules out the zero matrix.
इकाई मैट्रिक्स में मुख्य विकर्ण पर (1) और बाकी (0) होते हैं। यह रूप दूसरे विकल्प में है। / An identity matrix has (1) on the main diagonal and (0) elsewhere. This form is in the second option.
मुख्य विकर्ण पर समान अवयव (3) हैं और बाहर के अवयव (0) हैं। इसलिए (A) अदिश मैट्रिक्स है। / The main diagonal has equal elements (3), and outside elements are (0). Therefore (A) is a scalar matrix.
