जब चाप की लंबाई त्रिज्या के बराबर होती है तब कोण (1) रेडियन होता है। रेडियन की मूल परिभाषा याद रखें। / When arc length equals radius the angle is (1) radian. Remember the basic definition of radian.
इस सूत्र में (s) चाप की लंबाई को दर्शाता है। प्रतीकों का अर्थ याद रखने से सूत्र सही लगता है। / In this formula (s) represents arc length. Knowing the symbols helps in applying the formula correctly.
इस सूत्र में (r) वृत्त की त्रिज्या को दर्शाता है। रेडियन वाले प्रश्नों में त्रिज्या और चाप अलग पहचानें। / In this formula (r) represents the radius of the circle. In radian questions distinguish radius and arc length.
रेडियन में कोण का सूत्र \(\theta=\frac{s}{r}\) है, जहाँ \(s\) चाप की लंबाई और \(r\) त्रिज्या है। अतः \(\theta=\frac{10}{5}=2\) रेडियन। \(1\) रेडियन तब होता जब चाप की लंबाई त्रिज्या के बराबर होती। परीक्षा टिप: इस सूत्र का प्रयोग करने से पहले \(s\) और \(r\) की इकाइयाँ समान होनी चाहिए। / For an angle measured in radians, \(\theta=\frac{s}{r}\), where \(s\) is the arc length and \(r\) is the radius. Thus, \(\theta=\frac{10}{5}=2\) radians. It would be \(1\) radian only if the arc length were equal to the radius. Exam tip: Ensure that \(s\) and \(r\) are in the same unit before applying the formula.
तृतीय चतुर्थांश के कोणों का मान 180° से अधिक और 270° से कम होता है। 210° इस सीमा में है, इसलिए इसकी अंतिम भुजा तृतीय चतुर्थांश में होगी। 315° चतुर्थ चतुर्थांश में है। परीक्षा टिप: कोण को 90° के अंतरालों से मिलाएँ। / Angles in the third quadrant are greater than 180° and less than 270°. Since 210° lies in this interval, its terminal side is in the third quadrant. In contrast, 315° lies in the fourth quadrant. Exam tip: compare the angle with 90° intervals.
रेडियन में मापे गए केंद्रीय कोण के लिए चाप की लंबाई का सूत्र \(s=r\theta\) है। अतः \(s=7\times4=28\) cm। विकल्प 14 cm केवल त्रिज्या का दोगुना है, जबकि चाप की लंबाई निकालने के लिए कोण \(\theta\) से गुणा करना आवश्यक है। परीक्षा टिप: \(s=r\theta\) का प्रयोग तभी करें जब \(\theta\) रेडियन में हो। / For a central angle measured in radians, the arc-length formula is \(s=r\theta\). Thus, \(s=7\times4=28\) cm. The value 14 cm is only twice the radius; arc length must also be multiplied by the angle \(\theta\). Exam tip: use \(s=r\theta\) directly only when \(\theta\) is in radians.
\(r=\frac{s}{\theta}=\frac{16}{2}=8\) सेमी होता है। सूत्र को आवश्यक राशि के अनुसार बदलें। / \(r=\frac{s}{\theta}=\frac{16}{2}=8\) cm. Rearrange the formula according to the required quantity.
डिग्री से रेडियन में बदलने के लिए \(\frac{\pi}{180^\circ}\) से गुणा करते हैं। दिशा उलटी हो तो गुणक भी उलटा होता है। / To convert degrees into radians multiply by \(\frac{\pi}{180^\circ}\). If conversion direction reverses the factor also reverses.
रेडियन से डिग्री में बदलने के लिए \(\frac{180^\circ}{\pi}\) से गुणा करते हैं। पहले \(\pi\) को काटकर गणना करें। / To convert radians into degrees multiply by \(\frac{180^\circ}{\pi}\). Cancel \(\pi\) first and then calculate.
द्वितीय चतुर्थांश के कोण \(90^\circ\) से अधिक और \(180^\circ\) से कम होते हैं। \(120^\circ\) इस सीमा में है। \(210^\circ\) तृतीय चतुर्थांश में आता है। परीक्षा टिप: चतुर्थांशों की सीमाएँ \(90^\circ\) के गुणजों से याद रखें। / Angles in the second quadrant are greater than \(90^\circ\) and less than \(180^\circ\). Since \(120^\circ\) lies in this interval, it is correct. \(210^\circ\) lies in the third quadrant. Exam tip: use multiples of \(90^\circ\) as quadrant boundaries.
\(105^\circ\times\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{7\pi}{12}\) होता है। अनुपात को सरल करना मुख्य चरण है। / \(105^\circ\times\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{7\pi}{12}\). Simplifying the ratio is the main step.
सह-अंतिम कोणों की प्रारम्भिक और अंतिम भुजाएँ समान होती हैं तथा उनका अंतर \(360^\circ\) का पूर्ण गुणज होता है। यहाँ \(405^\circ-45^\circ=360^\circ\) है। परीक्षा में अंतर निकालकर \(360^\circ\) से जाँचें। / Coterminal angles have the same initial and terminal sides, and their difference is a whole multiple of \(360^\circ\). Here, \(405^\circ-45^\circ=360^\circ\). In exams, subtract the angles and check for a multiple of \(360^\circ\).
\(330^\circ\times\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{11\pi}{6}\) होता है। \(30^\circ=\frac{\pi}{6}\) से भी याद रख सकते हैं। / \(330^\circ\times\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{11\pi}{6}\). You can also remember it using \(30^\circ=\frac{\pi}{6}\).
\(\frac{11\pi}{6}\times\frac{180^\circ}{\pi}=330^\circ\) होता है। \(\pi\) कटने के बाद \(11\times30^\circ\) करें। / \(\frac{11\pi}{6}\times\frac{180^\circ}{\pi}=330^\circ\). After canceling \(\pi\), calculate \(11\times30^\circ\).
\(\frac{5\pi}{4}\times\frac{180^\circ}{\pi}=225^\circ\) होता है। \(\frac{\pi}{4}=45^\circ\) को (5) से गुणा करें। / \(\frac{5\pi}{4}\times\frac{180^\circ}{\pi}=225^\circ\). Multiply \(\frac{\pi}{4}=45^\circ\) by (5).
\(\frac{7\pi}{4}\times\frac{180^\circ}{\pi}=315^\circ\) होता है। \(45^\circ\) के गुणज जल्दी पहचानें। / \(\frac{7\pi}{4}\times\frac{180^\circ}{\pi}=315^\circ\). Recognize multiples of \(45^\circ\) quickly.
(1) रेडियन \(=\frac{180^\circ}{\pi}\approx57.3^\circ\) होता है। अनुमान में \(\pi\approx3.14\) लें। / (1) radian \(=\frac{180^\circ}{\pi}\approx57.3^\circ\). For approximation take \(\pi\approx3.14\).
\(1^\circ=\frac{\pi}{180}\approx0.01745\) रेडियन होता है। छोटे डिग्री कोण का रेडियन मान छोटा होता है। / \(1^\circ=\frac{\pi}{180}\approx0.01745\) radian. A small degree angle has a small radian value.
\(35^\circ\), \(0^\circ\) और \(90^\circ\) के बीच है इसलिए पहले चतुर्थांश में है। सीमा कोणों से चतुर्थांश पहचानें। / \(35^\circ\) lies between \(0^\circ\) and \(90^\circ\), so it is in the first quadrant. Identify quadrants using boundary angles.
\(145^\circ\), \(90^\circ\) और \(180^\circ\) के बीच है इसलिए दूसरे चतुर्थांश में है। कोण की स्थिति पहले दायरा देखकर तय करें। / \(145^\circ\) lies between \(90^\circ\) and \(180^\circ\), so it is in the second quadrant. First check the range of the angle.
\(235^\circ\), \(180^\circ\) और \(270^\circ\) के बीच है इसलिए तीसरे चतुर्थांश में है। तीसरे चतुर्थांश की सीमा याद रखें। / \(235^\circ\) lies between \(180^\circ\) and \(270^\circ\), so it is in the third quadrant. Remember the range of the third quadrant.
\(320^\circ\), \(270^\circ\) और \(360^\circ\) के बीच है इसलिए चौथे चतुर्थांश में है। \(270^\circ\) के बाद चौथा चतुर्थांश आता है। / \(320^\circ\) lies between \(270^\circ\) and \(360^\circ\), so it is in the fourth quadrant. The fourth quadrant comes after \(270^\circ\).
\(180^\circ\) पर अंतिम भुजा ऋणात्मक (x)-अक्ष पर होती है। अक्षों पर स्थित कोण किसी चतुर्थांश में नहीं आते। / At \(180^\circ\), the terminal side lies on the negative (x)-axis. Angles on axes do not belong to any quadrant.
\(270^\circ\) पर अंतिम भुजा ऋणात्मक (y)-अक्ष पर होती है। अक्षीय कोणों को अलग से याद रखें। / At \(270^\circ\), the terminal side lies on the negative (y)-axis. Remember axial angles separately.
\(90^\circ\) पर अंतिम भुजा धनात्मक (y)-अक्ष पर होती है। सामान्य स्थिति में वामावर्त \(90^\circ\) ऊपर की ओर जाता है। / At \(90^\circ\), the terminal side lies on the positive (y)-axis. In standard position anticlockwise \(90^\circ\) goes upward.
\(0^\circ\) पर अंतिम भुजा प्रारंभिक भुजा के साथ धनात्मक (x)-अक्ष पर रहती है। शून्य कोण में कोई घूर्णन नहीं होता। / At \(0^\circ\), the terminal side stays with the initial side on the positive (x)-axis. A zero angle has no rotation.
\(-90^\circ\) दक्षिणावर्त घूर्णन है इसलिए अंतिम भुजा ऋणात्मक (y)-अक्ष पर होती है। ऋणात्मक चिन्ह दिशा बताता है। / \(-90^\circ\) is clockwise rotation so the terminal side lies on the negative (y)-axis. The negative sign shows direction.
1 डिग्री में 60 मिनट होते हैं। इसलिए \(25^\circ=25\times60'=1500'\) और शेष \(30'\) जोड़ने पर \(1500'+30'=1530'\) मिलता है। \(1500'\) केवल 25 डिग्री के मिनट हैं; उसमें दिए गए अतिरिक्त 30 मिनट शामिल नहीं हैं। परीक्षा टिप: मिश्रित कोण को मिनट में बदलते समय डिग्री को 60 से गुणा करके मिनट जोड़ें। / There are 60 minutes in 1 degree. Thus, \(25^\circ=25\times60'=1500'\); adding the remaining \(30'\) gives \(1500'+30'=1530'\). \(1500'\) represents only 25 degrees and does not include the extra 30 minutes. Exam tip: To convert a mixed angle into minutes, multiply the degrees by 60 and then add the minutes.
\(45'=\frac{45}{60}^\circ=0.75^\circ\) इसलिए कुल \(12.75^\circ\) है। मिनट को (60) से भाग दें। / \(45'=\frac{45}{60}^\circ=0.75^\circ\), so the total is \(12.75^\circ\). Divide minutes by (60).
दशमलव भाग 0.5° को मिनट में बदलने के लिए 60 से गुणा करते हैं: \(0.5\times 60'=30'\)। अतः \(18.5^\circ=18^\circ 30'\)। विकल्प A में 15′, \(0.25^\circ\) के बराबर होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: डिग्री के दशमलव भाग को मिनट में बदलने के लिए उसे हमेशा 60 से गुणा करें। / Convert the decimal part 0.5° into minutes by multiplying it by 60: \(0.5\times 60'=30'\). Therefore, \(18.5^\circ=18^\circ 30'\). Option A has 15′, which equals \(0.25^\circ\), so it is not correct. Exam tip: To convert the decimal part of a degree into minutes, always multiply it by 60.
\(2^\circ=7200''\), (20'=1200'') और कुल (8430'') होता है। यहाँ सही गणना में विकल्पों को ध्यान से जांचें। / \(2^\circ=7200''\), (20'=1200''), and the total is (8430''). Check the options carefully in such calculations.
एक डिग्री में \(3600''\) और एक मिनट में \(60''\) होते हैं। \(8430''=2\times3600''+1230''\), तथा \(1230''=20\times60''+30''\)। इसलिए कोण \(2^\circ\,20'\,30''\) है। विकल्प B में मिनट और सेकंड का क्रम बदल दिया गया है। परीक्षा टिप: पहले कुल सेकंड को \(3600\) से भाग देकर डिग्री ज्ञात करें, फिर शेष को \(60\) से भाग दें। / One degree equals \(3600''\), and one minute equals \(60''\). Here, \(8430''=2\times3600''+1230''\), and \(1230''=20\times60''+30''\). Therefore, the angle is \(2^\circ\,20'\,30''\). Option B incorrectly interchanges the minutes and seconds. Exam tip: first divide total seconds by \(3600\) for degrees, then divide the remainder by \(60\) for minutes.
दशमलव भाग \(0.25^\circ\) को मिनट में बदलने के लिए \(60\) से गुणा करते हैं: \(0.25\times 60=15'\)। अतः \(3.25^\circ=3^\circ 15'\) है। \(3^\circ 20'\) तब होता, जब दशमलव भाग \(\frac{1}{3}^\circ\) होता। परीक्षा टिप: डिग्री के दशमलव भाग को मिनट में बदलने के लिए हमेशा \(60\) से गुणा करें। / Convert the decimal part \(0.25^\circ\) into minutes by multiplying by \(60\): \(0.25\times 60=15'\). Therefore, \(3.25^\circ=3^\circ 15'\). The option \(3^\circ 20'\) would correspond to a decimal part of \(\frac{1}{3}^\circ\), not \(0.25^\circ\). Exam tip: multiply the decimal part of degrees by \(60\) to convert it into minutes.
\(18'=\frac{18}{60}^\circ=0.30^\circ\) इसलिए \(6^\circ18'=6.30^\circ\) है। मिनट को सीधे दशमलव न मानें। / \(18'=\frac{18}{60}^\circ=0.30^\circ\), so \(6^\circ18'=6.30^\circ\). Do not treat minutes directly as decimals.
\(370^\circ\) में से एक पूर्ण घूर्णन, अर्थात \(360^\circ\), घटाने पर \(370^\circ-360^\circ=10^\circ\) प्राप्त होता है। इसलिए दिया गया कोण \(10^\circ\) के समकोटि है और दिए गए अंतराल में इसका मुख्य कोण \(10^\circ\) है। \(20^\circ\) जैसे विकल्प के लिए शेषफल \(20^\circ\) होना चाहिए, जो यहाँ नहीं है। परीक्षा टिप: \(360^\circ\) से बड़े कोणों का मुख्य कोण पाने के लिए उन्हें \(360^\circ\) से भाग देकर शेषफल लें। / Subtract one complete revolution, \(360^\circ\), from \(370^\circ\): \(370^\circ-360^\circ=10^\circ\). Thus, \(370^\circ\) is coterminal with \(10^\circ\), so its principal angle in the given interval is \(10^\circ\). An option such as \(20^\circ\) would require a remainder of \(20^\circ\), which is not obtained here. Exam tip: For angles greater than \(360^\circ\), divide by \(360^\circ\) and use the remainder to find the principal angle.
मुख्य कोण ज्ञात करने के लिए दिए गए कोण में से \(360^\circ\) के पूर्ण गुणज घटाते हैं। \(725^\circ=2\times360^\circ+5^\circ\), इसलिए इसका मुख्य कोण \(5^\circ\) है। \(15^\circ\) प्राप्त करने के लिए \(710^\circ\) घटाना पड़ेगा, जो \(360^\circ\) का गुणज नहीं है। परीक्षा टिप: कोण को \(360^\circ\) से भाग देकर शेषफल लें। / To find the principal angle, subtract complete multiples of \(360^\circ\) from the given angle. Since \(725^\circ=2\times360^\circ+5^\circ\), its principal angle is \(5^\circ\). The angle \(15^\circ\) would result from subtracting \(710^\circ\), which is not a multiple of \(360^\circ\). Exam tip: divide the angle by \(360^\circ\) and take the remainder.
सह-अंतिम कोण प्राप्त करने के लिए कोण में \(360^\circ\) के गुणज जोड़े या घटाए जाते हैं। \(-210^\circ+360^\circ=150^\circ\), जो \(0^\circ\) और \(360^\circ\) के बीच है। इसलिए सही उत्तर \(150^\circ\) है। \(210^\circ\) अलग कोण है; यह \(-210^\circ\) में \(360^\circ\) जोड़ने से नहीं मिलता। परीक्षा टिप: ऋणात्मक कोण को मानक परास में लाने के लिए पहले \(360^\circ\) जोड़ें। / Coterminal angles differ by an integer multiple of \(360^\circ\). Here, \(-210^\circ+360^\circ=150^\circ\), and \(150^\circ\) lies between \(0^\circ\) and \(360^\circ\). Therefore, the correct answer is \(150^\circ\). \(210^\circ\) is a different angle and is not obtained by adding \(360^\circ\) to \(-210^\circ\). Exam tip: To convert a negative angle to the standard range, first add \(360^\circ\).
मुख्य कोण ज्ञात करने के लिए दिए गए कोण में \(360^\circ\) के गुणज जोड़ते हैं, ताकि परिणाम \(0^\circ\) से \(360^\circ\) के बीच आ जाए। \(-675^\circ+720^\circ=45^\circ\), जहाँ \(720^\circ=2\times360^\circ\) है। इसलिए मुख्य कोण \(45^\circ\) है। \(60^\circ\) निकट विकल्प है, पर वह \(-675^\circ\) का सह-अंत कोण नहीं है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक कोण के लिए \(360^\circ\) को बार-बार जोड़ें। / To find the principal angle, add a multiple of \(360^\circ\) until the result lies between \(0^\circ\) and \(360^\circ\). Here, \(-675^\circ+720^\circ=45^\circ\), where \(720^\circ=2\times360^\circ\). Therefore, the principal angle is \(45^\circ\). Although \(60^\circ\) is close, it is not coterminal with \(-675^\circ\). Exam tip: for a negative angle, keep adding \(360^\circ\).
दूसरे चतुर्थांश में संदर्भ कोण \(180^\circ-\theta\) होता है इसलिए \(70^\circ\) मिलता है। संदर्भ कोण हमेशा न्यून कोण होता है। / In the second quadrant the reference angle is \(180^\circ-\theta\), so it is \(70^\circ\). A reference angle is always acute.
तीसरे चतुर्थांश में संदर्भ कोण \(\theta-180^\circ\) होता है इसलिए \(70^\circ\) मिलता है। पहले चतुर्थांश पहचानें फिर नियम लगाएं। / In the third quadrant the reference angle is \(\theta-180^\circ\), so it is \(70^\circ\). Identify the quadrant first and then apply the rule.
चौथे चतुर्थांश में संदर्भ कोण \(360^\circ-\theta\) होता है इसलिए \(50^\circ\) मिलता है। अंतिम भुजा से (x)-अक्ष तक का छोटा कोण लें। / In the fourth quadrant the reference angle is \(360^\circ-\theta\), so it is \(50^\circ\). Take the smaller angle to the (x)-axis.
पहले चतुर्थांश में संदर्भ कोण वही कोण होता है इसलिए \(28^\circ\) है। पहले चतुर्थांश में अलग गणना की जरूरत नहीं होती। / In the first quadrant the reference angle is the angle itself, so it is \(28^\circ\). No extra calculation is needed in the first quadrant.
\(380^\circ-20^\circ=360^\circ\) इसलिए दोनों सह-अंतिम कोण हैं। अंतर \(360^\circ\) का गुणज हो तो सह-अंतिम मानें। / \(380^\circ-20^\circ=360^\circ\), so they are coterminal angles. If the difference is a multiple of \(360^\circ\), they are coterminal.
\(65^\circ-360^\circ=-295^\circ\) होता है। ऋणात्मक सह-अंतिम कोण पाने के लिए \(360^\circ\) घटाएं। / \(65^\circ-360^\circ=-295^\circ\). Subtract \(360^\circ\) to get a negative coterminal angle.
सह-अंतिम कोणों में अंतर 360^\circ का पूर्ण गुणज होता है। अतः \(-40^\circ\) में 360^\circ जोड़ने पर \((-40^\circ+360^\circ)=320^\circ\) मिलता है, जो धनात्मक है। 340^\circ, -40^\circ से 380^\circ अलग है, जो 360^\circ का गुणज नहीं है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक कोण का सबसे छोटा धनात्मक सह-अंतिम कोण पाने के लिए उसमें 360^\circ जोड़ें। / Coterminal angles differ by an integral multiple of 360^\circ. Adding 360^\circ to -40^\circ gives \((-40^\circ+360^\circ)=320^\circ\), which is positive. In contrast, 340^\circ differs from -40^\circ by 380^\circ, not a multiple of 360^\circ. Exam tip: To find the least positive coterminal angle of a negative angle, add 360^\circ.
एक पूरा चक्कर \(360^\circ\) के बराबर होता है। इसलिए 3 पूरे चक्करों का कोण \(3\times360^\circ=1080^\circ\) होगा। \(720^\circ\) केवल 2 पूरे चक्करों के बराबर है। परीक्षा टिप: पूरे चक्करों को कोण में बदलने के लिए चक्करों की संख्या को \(360^\circ\) से गुणा करें। / One complete revolution equals \(360^\circ\). Therefore, the angle for 3 complete revolutions is \(3\times360^\circ=1080^\circ\). \(720^\circ\) represents only 2 complete revolutions. Exam tip: multiply the number of complete revolutions by \(360^\circ\) to convert them into degrees.
एक पूरा चक्कर \(360^\circ\) के बराबर होता है। इसलिए \(2.5\) चक्करों का कोण \(2.5\times360^\circ=900^\circ\) होगा। \(720^\circ\) केवल 2 पूरे चक्करों के बराबर है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: चक्करों को डिग्री में बदलने के लिए चक्करों की संख्या को \(360^\circ\) से गुणा करें। / One complete revolution equals \(360^\circ\). Therefore, the angle for \(2.5\) revolutions is \(2.5\times360^\circ=900^\circ\). \(720^\circ\) represents only 2 complete revolutions, so it is not correct. Exam tip: To convert revolutions into degrees, multiply the number of revolutions by \(360^\circ\).
B. (2) चक्कर और \(90^\circ\)/(2) revolutions and \(90^\circ\)
Explanation
Simple Explanation
\(810^\circ=720^\circ+90^\circ\) इसलिए (2) पूरे चक्कर और \(90^\circ\) शेष हैं। \(360^\circ\) के गुणज अलग करें। / \(810^\circ=720^\circ+90^\circ\), so it is (2) complete revolutions and \(90^\circ\) remaining. Separate multiples of \(360^\circ\).
न्यून कोण \(0^\circ\) और \(90^\circ\) के बीच होता है इसलिए \(42^\circ\) सही है। कोण का प्रकार सीमा से पहचानें। / An acute angle lies between \(0^\circ\) and \(90^\circ\), so \(42^\circ\) is correct. Identify angle type using its range.
अधिक कोण \(90^\circ\) और \(180^\circ\) के बीच होता है इसलिए \(132^\circ\) सही है। \(90^\circ\) और \(180^\circ\) खुद अधिक कोण नहीं हैं। / An obtuse angle lies between \(90^\circ\) and \(180^\circ\), so \(132^\circ\) is correct. \(90^\circ\) and \(180^\circ\) themselves are not obtuse angles.
