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\(A\cup B\) में दोनों समुच्चयों के सभी अलग-अलग अवयव आते हैं। दोहराए गए अवयवों को केवल एक बार लिखें। / \(A\cup B\) contains all distinct elements of both sets. Write repeated elements only once.
\(A\cap B\) में केवल वे अवयव आते हैं जो दोनों समुच्चयों में हों। सामान्य अवयवों को ध्यान से पहचानें। / \(A\cap B\) contains only elements present in both sets. Identify common elements carefully.
(A-B) में (A) के वे अवयव रहते हैं जो (B) में नहीं हैं। अंतर में हमेशा पहले समुच्चय से शुरुआत करें। / (A-B) keeps elements of (A) that are not in (B). Always start from the first set in difference.
(B-A) में (B) के (b) और (d) बचते हैं क्योंकि ये (A) में नहीं हैं। (A-B) और (B-A) को समान न मानें। / (B-A) leaves (b) and (d) because they are not in (A). Do not assume (A-B) and (B-A) are the same.
यहां \(A=\{1,2,3,4\}\) है और संघ में (B) के (5) और (6) भी जुड़ते हैं। पहले समुच्चय को सूची रूप में बदलें। / Here \(A=\{1,2,3,4\}\), and (5) and (6) from (B) are also included. First convert the set to roster form.
दोनों समुच्चयों में कोई समान अवयव नहीं है इसलिए \(A\cap B=\varnothing\) है। असंयुक्त समुच्चयों का प्रतिच्छेद रिक्त होता है। / There is no common element, so \(A\cap B=\varnothing\). Disjoint sets have an empty intersection.
क्योंकि \(A\subseteq B\), इसलिए \(A\cup B=B\) है। उपसमुच्चय वाले प्रश्नों में बड़ा समुच्चय संघ होता है। / Since \(A\subseteq B\), \(A\cup B=B\). In subset cases, the larger set is the union.
यहां \(B\subseteq A\), इसलिए \(A\cap B=B\) है। उपसमुच्चय में प्रतिच्छेद छोटा समुच्चय देता है। / Here \(B\subseteq A\), so \(A\cap B=B\). In subset cases, intersection gives the smaller set.
रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता इसलिए \(A\cup \varnothing=A\) है। यह संघ का मूल पहचान सूत्र है। / The empty set has no element, so \(A\cup \varnothing=A\). This is a basic identity of union.
\(\varnothing\) में कोई अवयव नहीं है, इसलिए सामान्य अवयव भी नहीं होगा। हमेशा \(A\cap \varnothing=\varnothing\) होता है। / Since \(\varnothing\) has no element, there is no common element. Always \(A\cap \varnothing=\varnothing\).
\(\varnothing\) से कोई अवयव हटाने के लिए नहीं है, इसलिए \(A-\varnothing=A\) है। अंतर में हटाए जाने वाले समुच्चय को ध्यान से देखें। / There is no element in \(\varnothing\) to remove, so \(A-\varnothing=A\). In difference, check the removing set carefully.
\(\varnothing\) में पहले से कोई अवयव नहीं है, इसलिए कुछ भी नहीं बचेगा। याद रखें \(\varnothing-A=\varnothing\) होता है। / The empty set has no element from the start, so nothing remains. Remember \(\varnothing-A=\varnothing\).
(A-B={1,2}) और (B-A={5,6}), इसलिए संघ ({1,2,5,6}) है। यह सामान्य भाग को छोड़कर बचे भागों को दिखाता है। / (A-B={1,2}) and (B-A={5,6}), so the union is ({1,2,5,6}). It shows the parts outside the common part.
सूत्र (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)) से (14+9-4=19) है। सामान्य भाग को एक बार घटाना जरूरी है। / Using (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)), (14+9-4=19). The common part must be subtracted once.
सूत्र से (n\(A\cap B\)=12+11-20=3) है। उल्टा सूत्र लगाते समय संघ को घटाएं। / From the formula, (n\(A\cap B\)=12+11-20=3). When using the formula backward, subtract the union.
(A-B) में (A) से सामान्य (7) अवयव हटेंगे, इसलिए (18-7=11) है। केवल (A) से जुड़े अवयव गिनें। / In (A-B), the (7) common elements are removed from (A), so (18-7=11). Count only elements related to (A).
(B-A) के लिए (B) से सामान्य भाग हटेगा, इसलिए (15-6=9) है। अंतर में पहले समुच्चय की संख्या से घटाएं। / For (B-A), the common part is removed from (B), so (15-6=9). In difference, subtract from the first set.
\(A=\{2,3,4,5,6,7\}\) है और (4,6) हटाने पर ({2,3,5,7}) बचता है। पहले सीमा के अनुसार अवयव लिखें। / \(A=\{2,3,4,5,6,7\}\), and removing (4,6) gives ({2,3,5,7}). First list elements according to the bounds.
संघ ({0,1,2,3,4,5,6}) और प्रतिच्छेद ({2,3,4}) है। प्रतिच्छेद हटाने पर ({0,1,5,6}) मिलता है। / The union is ({0,1,2,3,4,5,6}) and the intersection is ({2,3,4}). Removing the intersection gives ({0,1,5,6}).
संघ में समुच्चयों का क्रम बदलने से उत्तर नहीं बदलता। इसे संघ का क्रमविनिमेय नियम कहते हैं। / The order of sets does not change the union. This is the commutative law of union.
केवल (3) तीनों समुच्चयों में मौजूद है। तीन समुच्चयों के प्रतिच्छेद में अवयव सभी में होना चाहिए। / Only (3) is present in all three sets. In the intersection of three sets, the element must be in every set.
\(B\cup C={2,3,5,6,7}\) है और (A) से इन्हें हटाने पर ({1,4}) बचता है। पहले कोष्ठक हल करें। / \(B\cup C={2,3,5,6,7}\), and removing these from (A) leaves ({1,4}). Solve the bracket first.
\(B\cup C={b,d,e,f}\) है और इसका (A) से सामान्य भाग ({b,d}) है। संयुक्त क्रियाओं को क्रम से करें। / \(B\cup C={b,d,e,f}\), and its common part with (A) is ({b,d}). Do combined operations step by step.
\(A\cap B={3,5}\) है और (C) के साथ संघ ({3,5,7,11}) है। कोष्ठक वाली क्रिया पहले करें। / \(A\cap B={3,5}\), and its union with (C) is ({3,5,7,11}). Perform the operation inside brackets first.
\(A\cup B={1,2,3,4,5,6,8}\) है, इसलिए इसमें (7) अवयव हैं। सामान्य अवयवों को दो बार न गिनें। / \(A\cup B={1,2,3,4,5,6,8}\), so it has (7) elements. Do not count common elements twice.
सामान्य अवयव (24) और (48) हैं, इसलिए संख्या (2) है। प्रतिच्छेद में केवल समान अवयव गिने जाते हैं। / The common elements are (24) and (48), so the count is (2). In intersection, count only common elements.
(A) से (8) और (64) हटेंगे क्योंकि वे (B) में भी हैं। इसलिए (A-B={1,27}) है। / The elements (8) and (64) are removed from (A) because they are also in (B). So (A-B={1,27}).
दोनों समुच्चय असंयुक्त हैं, इसलिए (A) से कोई अवयव नहीं हटेगा। असंयुक्त समुच्चयों के लिए (A-B=A) होता है। / The two sets are disjoint, so no element is removed from (A). For disjoint sets, (A-B=A).
दोनों समुच्चयों में केवल (book) समान है। प्रतिच्छेद में केवल समान अवयव लिखें। / Only (book) is common to both sets. Write only common elements in the intersection.
संघ में सभी अलग-अलग नाम आते हैं, इसलिए (lily) एक बार लिखा जाएगा। उत्तर ({rose,lily,lotus,jasmine}) है। / The union contains all distinct names, so (lily) is written once. The answer is ({rose,lily,lotus,jasmine}).
(A) से (east) और (west) हटाने पर (north) और (south) बचते हैं। अंतर में हटाए गए अवयव उत्तर में नहीं आते। / Removing (east) and (west) from (A) leaves (north) and (south). Removed elements do not appear in the difference.
(4) दोनों समुच्चयों में है, इसलिए वह \(A\cap B\) में है। प्रतिच्छेद के लिए अवयव दोनों में होना चाहिए। / (4) is in both sets, so it is in \(A\cap B\). For intersection, an element must be in both sets.
(6) समुच्चय (A) में है, इसलिए \(A\cup B\) में भी होगा। संघ में किसी भी एक समुच्चय का अवयव शामिल होता है। / (6) is in set (A), so it is also in \(A\cup B\). A union includes elements from either set.
(1) (A) में है लेकिन (B) में नहीं है, इसलिए \(1\in A-B\) है। अंतर में पहले समुच्चय के गैर-सामान्य अवयव रहते हैं। / (1) is in (A) but not in (B), so \(1\in A-B\). Difference keeps non-common elements of the first set.
\(A\cup B\) में (A) और (B) के सभी अलग-अलग अवयव हैं। (U) केवल सार्वत्रिक समुच्चय है, उत्तर हमेशा पूरा (U) नहीं होता। / \(A\cup B\) contains all distinct elements of (A) and (B). (U) is only the universal set; the answer is not always the whole (U).
(A) और (B) में सामान्य अवयव (c) और (e) हैं। सार्वत्रिक समुच्चय केवल संदर्भ देता है। / The common elements of (A) and (B) are (c) and (e). The universal set only gives the reference.
(A) से (B) का समान अवयव (20) हटता है और ({10,40}) बचता है। (U) दिए होने पर भी अंतर (A) और (B) से निकालें। / The common element (20) is removed from (A), leaving ({10,40}). Even when (U) is given, find the difference from (A) and (B).
\(A\cup B\) में (A) के सभी अवयव हैं, इसलिए प्रतिच्छेद (A) ही होगा। यह अवशोषण नियम का उदाहरण है। / \(A\cup B\) contains all elements of (A), so the intersection is (A) itself. This is an example of the absorption law.
\(A\cap B={q,r}\) है और यह (A) का भाग है, इसलिए संघ (A) ही होगा। यह अवशोषण नियम है। / \(A\cap B={q,r}\), and it is a part of (A), so the union is (A) itself. This is the absorption law.
एक कक्षा में (22) विद्यार्थी चित्रकला पसंद करते हैं, (16) संगीत पसंद करते हैं और (6) दोनों पसंद करते हैं। कम से कम एक गतिविधि पसंद करने वाले कितने विद्यार्थी हैं?
कम से कम एक का अर्थ (n\(A\cup B\)) है, इसलिए (22+16-6=32) है। दोनों पसंद करने वालों को दो बार न गिनें। / At least one means (n\(A\cup B\)), so (22+16-6=32). Do not count those who like both twice.
केवल चाय (=30-12=18) है। केवल वाले प्रश्न में उसी समुच्चय से प्रतिच्छेद घटाएं। / Only tea is (30-12=18). In only-type questions, subtract the intersection from that set.
केवल साइकिल (=14-9=5) है। केवल दूसरे समुच्चय के लिए दूसरे समुच्चय से सामान्य भाग घटाएं। / Only bicycle is (14-9=5). For only the second set, subtract the common part from the second set.
\(A=\{1,2,3,4,6,12\}\) है और (B) के साथ सामान्य भाग ({1,2,3}) है। गुणनखंड वाले समुच्चय को पहले लिखें। / \(A=\{1,2,3,4,6,12\}\), and the common part with (B) is ({1,2,3}). List the factor set first.
\(A=\{1,2,3,6,9,18\}\) है और (B) हटाने पर ({1,18}) बचता है। सूची रूप में बदलने से गलती कम होती है। / \(A=\{1,2,3,6,9,18\}\), and removing (B) leaves ({1,18}). Converting to roster form reduces mistakes.
पहले (A-B={1,4,6}) है और इसका (C) से सामान्य भाग ({4,6}) है। मिश्रित क्रियाओं में कोष्ठक पहले हल करें। / First (A-B={1,4,6}), and its common part with (C) is ({4,6}). In mixed operations, solve the bracket first.
पहले \(A\cup B={1,2,3,4,6,8}\) है, फिर (C) के साथ सामान्य भाग ({2,6}) मिलता है। मिश्रित क्रिया में कोष्ठक पहले हल करें। / First \(A\cup B={1,2,3,4,6,8}\), then the common part with (C) is ({2,6}). In mixed operations, solve the bracket first.
पहले \(B\cap C={4,6}\) है, फिर (A) से इन्हें हटाने पर ({1,2,3,5}) बचता है। अंतर में पहले समुच्चय से ही अवयव हटाएं। / First \(B\cap C={4,6}\), then removing these from (A) leaves ({1,2,3,5}). In difference, remove elements only from the first set.
एक पुस्तकालय में (35) विद्यार्थी कहानी की किताबें पढ़ते हैं, (20) विद्यार्थी कविता की किताबें पढ़ते हैं और (45) विद्यार्थी कम से कम एक प्रकार की किताब पढ़ते हैं। दोनों प्रकार की किताबें पढ़ने वाले कितने हैं?
सूत्र से (n\(A\cap B\)=35+20-45=10) है। कम से कम एक का अर्थ (n\(A\cup B\)) होता है। / Using the formula, (n\(A\cap B\)=35+20-45=10). At least one means (n\(A\cup B\)).
(A-B={3,9}) और (B-A={18,24}) हैं, जिनमें कोई समान अवयव नहीं है। इसलिए उनका प्रतिच्छेद \(\varnothing\) है। / (A-B={3,9}) and (B-A={18,24}), and they have no common element. Therefore their intersection is \(\varnothing\).
