Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
वास्तविक वर्गमूल के लिए मूलांक के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए: \(4-x\ge 0\)। इससे \(x\le 4\) प्राप्त होता है, इसलिए डोमेन \((- infty,4]\) है। विकल्प B में असमानता की दिशा उलट गई है, जबकि विकल्प C अनावश्यक रूप से \(x\ge 0\) भी मानता है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन में पहले मूलांक \(\ge 0\) रखकर डोमेन ज्ञात करें। / For a real square root, the radicand must be non-negative: \(4-x\ge 0\). Thus \(x\le 4\), so the domain is \((- infty,4]\). Option B reverses the inequality, while option C incorrectly adds the unnecessary restriction \(x\ge 0\). Exam tip: For a square-root function, set its radicand greater than or equal to zero to find the domain.
परिमेय फलन में हर शून्य नहीं हो सकता। यहाँ हर \(x-1\) है, इसलिए \(x-1=0\) रखने पर \(x=1\) मिलता है। अतः \(x=1\) डोमेन से बाहर है, जबकि अन्य दिए गए मानों पर हर शून्य नहीं होता। परीक्षा में याद रखें: परिमेय फलन का डोमेन पाने के लिए हर को शून्य करने वाले मान को अवश्य हटाएँ। / The denominator of a rational function cannot be zero. Here the denominator is \(x-1\), and solving \(x-1=0\) gives \(x=1\). Therefore, \(x=1\) is excluded from the domain; the other listed values do not make the denominator zero. Exam tip: to find the domain of a rational function, exclude the values that make its denominator zero.
जब \(x>2\), तब \(x+2>0\) और \(x-2>0\), इसलिए \(|x+2|=x+2\) तथा \(|x-2|=x-2\)। अतः \(y=(x+2)-(x-2)=4\)। विकल्प \(2x\) तब मिलता है जब ऋणात्मक पद को सही ढंग से घटाया नहीं जाता। परीक्षा-युक्ति: मापांक वाले व्यंजक में पहले प्रत्येक अंदरूनी पद का चिह्न निर्धारित करें। / When \(x>2\), both \(x+2\) and \(x-2\) are positive. Hence, \(|x+2|=x+2\) and \(|x-2|=x-2\), so \(y=(x+2)-(x-2)=4\). The option \(2x\) results from mishandling the subtraction of the second modulus term. Exam tip: determine the sign of each expression inside an absolute value before removing the modulus.
यह फलन बिंदु \(x=1\) और \(x=-1\) से दूरियों के योग को दर्शाता है। त्रिभुज असमता के अनुसार \(|x-1|+|x+1|\geq |(x-1)-(x+1)|=2\)। \(-1\leq x\leq 1\) के लिए दोनों दूरियों का योग ठीक 2 होता है, जबकि इस अंतराल के बाहर यह 2 से बढ़ जाता है। इसलिए परास \([2,\infty)\) है। विकल्प B में न्यूनतम मान 0 मान लिया गया है, जो संभव नहीं है। परीक्षा-युक्ति: मॉड्यूलस वाले फलन में न्यूनतम मान पाने के लिए महत्वपूर्ण बिंदुओं के बीच का अंतराल अवश्य जाँचें। / The function represents the sum of the distances of \(x\) from 1 and from \(-1\). By the triangle inequality, \(|x-1|+|x+1|\geq |(x-1)-(x+1)|=2\). For \(-1\leq x\leq 1\), this sum is exactly 2, and outside this interval it increases above 2. Hence the range is \([2,\infty)\). Option B incorrectly assumes that the minimum can be 0, although the two points are 2 units apart. Exam tip: For a sum of absolute-value terms, check the interval between their critical points to find the minimum.
फलन के लिए \(x\neq 0\), इसलिए \(|x|>0\) और \(y=\frac{1}{|x|}>0\)। जैसे-जैसे \(|x|\) बहुत बड़ा होता है, \(y\) शून्य के बहुत निकट पहुँचता है, लेकिन कभी \(0\) नहीं होता; और \(|x|\) शून्य के निकट होने पर \(y\) असीमित रूप से बढ़ सकता है। अतः रेंज \((0,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें \(0\) शामिल है। परीक्षा-युक्ति: \(1/\text{धनात्मक संख्या}\) हमेशा धनात्मक होता है, इसलिए ऋणात्मक मान रेंज में नहीं आएँगे। / For this function, \(x\neq 0\), so \(|x|>0\) and therefore \(y=\frac{1}{|x|}>0\). As \(|x|\) becomes very large, \(y\) approaches zero but never equals it; as \(|x|\) approaches zero, \(y\) can increase without bound. Hence the range is \((0,\infty)\). Option B is incorrect because it includes \(0\). Exam tip: the reciprocal of a positive number is always positive, so negative values cannot belong to the range.
क्योंकि \(|x-5|\ge 0\), इसलिए \(y=|x-5|+2\ge 2\)। \(|x-5|=0\) तब होता है जब \(x=5\), अतः फलन का न्यूनतम मान \(2\) है और इसके बाद हर मान प्राप्त किया जा सकता है। इसलिए परास \([2,\infty)\) है। विकल्प B में 5 को न्यूनतम y-मान मान लिया गया है, जबकि 5 शीर्ष-बिंदु का x-निर्देशांक है। परीक्षा-युक्ति: परास ज्ञात करने के लिए पहले y का न्यूनतम या अधिकतम मान निर्धारित करें। / Since \(|x-5|\ge 0\), we have \(y=|x-5|+2\ge 2\). Equality occurs when \(x=5\), so the minimum value of the function is \(2\), and every value greater than 2 is attainable. Hence, the range is \([2,\infty)\). Option B incorrectly treats 5 as the minimum y-value; it is the x-coordinate of the vertex. Exam tip: To find the range of a modulus function, first determine its minimum or maximum y-value.
वास्तविक मान वाले वर्गमूल के लिए इसके अंदर की राशि अशून्य से कम नहीं होनी चाहिए। अतः \\(x-6\\ge 0\\), जिससे \\(x\\ge 6\\) प्राप्त होता है। इसलिए डोमेन \\([6,\\infty)\\) है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का डोमेन निकालते समय radicand को \\(\\ge 0\\) रखें; 6 शामिल है क्योंकि \\(\\sqrt{0}\\) परिभाषित है। / For a real-valued square root, the expression under the radical must be non-negative. Thus, \\(x-6\\ge 0\\), which gives \\(x\\ge 6\\). Therefore, the domain is \\([6,\\infty)\\). Exam tip: For a square-root function, set the radicand \\(\\ge 0\\); 6 is included because \\(\\sqrt{0}\\) is defined.
वास्तविक मान वाले वर्गमूल के लिए उसके अंदर का व्यंजक अशून्य या धनात्मक होना चाहिए: \(16-x^2\ge 0\)। अतः \(x^2\le16\), इसलिए \(-4\le x\le4\)। दोनों सिरों पर वर्गमूल का मान 0 है, इसलिए वे भी डोमेन में शामिल हैं। विकल्प B केवल उन मानों को दर्शाता है जहाँ \(16-x^2\) ऋणात्मक होता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का डोमेन निकालने के लिए radicand को \(\ge0\) रखें। / For a real-valued square root, the expression inside the radical must be non-negative: \(16-x^2\ge0\). Thus \(x^2\le16\), which gives \(-4\le x\le4\). Both endpoints are included because the square root equals 0 there. Option B represents values for which \(16-x^2\) is negative, so it cannot be the domain. Exam tip: for a square-root function, set the radicand greater than or equal to zero.
दिया गया फलन \(y=\sqrt{16-x^2}\) समीकरण \(x^2+y^2=16\) वाले वृत्त के ऊपरी अर्धभाग को दर्शाता है। वर्गमूल के कारण \(y\ge 0\), और \(y\) का अधिकतम मान \(x=0\) पर \(4\) होता है। \(x=\pm4\) पर \(y=0\), इसलिए परास \([0,4]\) है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन में पहले न्यूनतम और अधिकतम संभव मान जाँचें। / The function \(y=\sqrt{16-x^2}\) represents the upper semicircle of \(x^2+y^2=16\). Since a square root is non-negative, \(y\ge 0\), and its maximum value is \(4\) at \(x=0\). At \(x=\pm4\), \(y=0\); therefore, the range is \([0,4]\). Exam tip: For a square-root function, first identify its minimum and maximum possible output values.
परिमेय फलन में हर शून्य नहीं हो सकता, क्योंकि शून्य से भाग देना परिभाषित नहीं है। यहाँ \(x+2=0\) रखने पर \(x=-2\) प्राप्त होता है, इसलिए \(x=-2\) डोमेन से बाहर है। अन्य दिए गए मानों पर हर शून्य नहीं होता, इसलिए वे डोमेन में शामिल हैं। परीक्षा-युक्ति: किसी परिमेय फलन का डोमेन ज्ञात करने के लिए उसके हर को शून्य करके निषिद्ध मान निकालें। / The denominator of a rational function cannot be zero because division by zero is undefined. Setting \(x+2=0\) gives \(x=-2\), so this value is excluded from the domain. For the other given values, the denominator is non-zero, so they belong to the domain. Exam tip: To find excluded values of a rational function, set its denominator equal to zero.
