Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
कुल (7!) व्यवस्थाओं में (A) और (B) के दो सापेक्ष क्रम समान रूप से संभव हैं, इसलिए आधी व्यवस्थाएं मान्य हैं। परीक्षा में left of जैसी relative order शर्त के लिए symmetry प्रयोग करें। / In total (7!) arrangements, the two relative orders of (A) and (B) are equally likely, so half are valid. Exam tip: use symmetry for relative order conditions like left of.
दो alternate patterns संभव हैं और प्रत्येक में भारतीय (5!) तथा विदेशी (5!) तरीकों से बैठते हैं। परीक्षा में बराबर समूहों के alternate arrangement में (2) patterns होते हैं। / There are (2) alternate patterns, and in each pattern Indians can be arranged in (5!) ways and foreigners in (5!) ways. Exam tip: equal groups in alternate arrangement give (2) patterns.
(0) और (8) के साथ बाकी (4) अंक \(\binom{7}{4}\) तरीकों से चुनें; प्रत्येक चयन में कुल (6!) से first zero वाले (5!) घटाएं। परीक्षा में leading zero का correction अनिवार्य है। / Choose the other (4) digits with (0) and (8) in \(\binom{7}{4}\) ways; for each selection subtract (5!) leading-zero cases from (6!). Exam tip: leading zero correction is mandatory.
(6) अंगूठियों में से (4) को (4) अलग-अलग उंगलियों पर क्रम सहित रखना है, इसलिए \(^{6}P_{4}=360\)। परीक्षा में distinct fingers होने पर permutation लगती है। / We assign (4) of the (6) rings to (4) distinct fingers with order, so \(^{6}P_{4}=360\). Exam tip: distinct fingers require permutations.
(A) को स्थिर करें, (B) की विपरीत सीट निश्चित है, और बाकी (8) लोग (8!) तरीकों से बैठते हैं। परीक्षा में circular symmetry हटाने के लिए एक व्यक्ति को स्थिर करें। / Fix (A); the opposite seat for (B) is fixed, and the remaining (8) people can be arranged in (8!) ways. Exam tip: fix one person to remove circular symmetry.
कुल (11) अक्षर हैं; (I) चार, (S) चार और (P) दो बार आते हैं, इसलिए \(\frac{11!}{4!,4!,2!}\) है। परीक्षा में समान अक्षरों की गिनती दोबारा जांचें। / There are (11) letters; (I) occurs four times, (S) occurs four times, and (P) occurs twice, so the count is \(\frac{11!}{4!,4!,2!}\). Exam tip: recheck repeated-letter counts.
सही जाने वाले (2) पुरस्कार \(\binom{7}{2}\) तरीकों से चुनें और बाकी (5) का derangement (!5=44) है। परीक्षा में exactly correct cases के लिए derangement का प्रयोग करें। / Choose the (2) correctly assigned prizes in \(\binom{7}{2}\) ways and derange the remaining (5), giving (!5=44). Exam tip: use derangement for exactly correct cases.
बाकी (3) अक्षर (6) में से चुनें, फिर (5!) कुल व्यवस्थाओं से special pair adjacent वाली \(2!\times4!\) व्यवस्थाएं घटाएं। परीक्षा में शामिल और adjacent restriction को अलग-अलग संभालें। / Choose the other (3) letters from (6), then subtract adjacent special-pair arrangements \(2!\times4!\) from total (5!). Exam tip: handle inclusion and adjacency restrictions separately.
हजारों का अंक (5,6,7,8,9) में से और इकाई अंक सम होना चाहिए; leading और ending cases अलग गिनने पर (400) मिलता है। परीक्षा में overlapping digit choices को case-wise गिनें। / The thousands digit must be from (5,6,7,8,9), and the units digit must be even; case-wise counting gives (400). Exam tip: count overlapping digit choices case by case.
(AB) खंड बनाकर (8) वस्तुओं की व्यवस्थाएं लें, फिर (C) के खंड से adjacent होने वाले (2) बाहरी स्थानों को घटाएं; कुल (2!\times\(8!-2\times7!\)) है। परीक्षा में compound restriction में block और subtraction दोनों लग सकते हैं। / Form an (AB) block among (8) objects, then subtract cases where (C) is adjacent to the block on either outside side; total is (2!\times\(8!-2\times7!\)). Exam tip: compound restrictions may need both block and subtraction.
