Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. क्योंकि दोनों पद अलग हैं/Because the two posts are different
Explanation
Simple Explanation
Captain और vice-captain बदलने से outcome बदलता है। परीक्षा में roles अलग हों तो order important मानें। / Switching captain and vice-captain changes the outcome. In exams treat different roles as order important.
C. क्योंकि केवल समूह चाहिए/Because only a group is needed
Explanation
Simple Explanation
Committee में केवल सदस्यता गिनी जाती है, क्रम नहीं। परीक्षा में group बिना पद के हो तो combination लगाएं। / Only membership is counted in a committee, not order. In exams use combination for a group without posts.
B. पहले स्थान पर (n), फिर (n-1), फिर घटती choices मिलती हैं/Choices are (n), then (n-1), then decreasing
Explanation
Simple Explanation
हर चुने गए object के बाद available choices कम होती जाती हैं। परीक्षा में distinct arrangement में decreasing product लिखें। / After each chosen object available choices decrease. In exams write decreasing products for distinct arrangements.
यह (r) चुनने और (n-r) छोड़ने की symmetry है। परीक्षा में opposite indices का sum (n) हो तो यह relation लगाएं। / This is the symmetry of choosing (r) and leaving (n-r). In exams use this relation when opposite indices sum to (n).
क्रमचय और संचय का संबंध \(^{n}P_r=^{n}C_r\cdot r!\) होता है। यहाँ \(r=2\) है, इसलिए \(^{n}P_2=^{n}C_2\cdot 2!\) तथा \(k=2!\) होगा। विकल्प \(2\) का संख्यात्मक मान भी \(2!\) के बराबर है, इसलिए इसे अलग विकल्प रखने से प्रश्न में दो सही उत्तर बन जाते; अतः परीक्षा में ऐसे विकल्पों की समतुल्यता अवश्य जाँचें। परीक्षा टिप: क्रमचय में क्रम महत्वपूर्ण होता है, इसलिए संचय के प्रत्येक चयन को \(r!\) से गुणा किया जाता है। / The relation between permutations and combinations is \(^{n}P_r=^{n}C_r\cdot r!\). Here \(r=2\), so \(^{n}P_2=^{n}C_2\cdot 2!\), giving \(k=2!\). Note that \(2\) is numerically equal to \(2!\), so listing both as separate options would create two correct answers; always check equivalent expressions in MCQs. Exam tip: order matters in permutations, so each combination is multiplied by \(r!\).
A. किसी भी वस्तु को न चुनने का एक तरीका है/There is one way to choose no object
Explanation
Simple Explanation
Empty selection भी एक valid selection है। परीक्षा में (0!) और empty choice दोनों का मान (1) याद रखें। / The empty selection is also a valid selection. In exams remember both (0!) and empty choice as (1).
A. (n) वस्तुओं में से सभी (n) चुनने का केवल एक तरीका है/There is exactly one way to choose all (n) objects
Explanation
Simple Explanation
सभी वस्तुएं चुनने पर selection fixed हो जाता है। परीक्षा में extreme cases \(^{n}C_0\) और \(^{n}C_n\) को जल्दी पहचानें। / When all objects are chosen the selection is fixed. In exams quickly identify extreme cases \(^{n}C_0\) and \(^{n}C_n\).
B. n भिन्न वस्तुओं में से r वस्तुएँ चुनकर उन्हें r भिन्न पदों पर क्रम से व्यवस्थित करना/Choosing r objects from n distinct objects and arranging them in r distinct positions
Explanation
Simple Explanation
पहले \(\binom{n}{r}\) तरीकों से r वस्तुएँ चुनी जाती हैं, फिर उन्हें \(r!\) क्रमों में रखा जाता है। अतः यह चयन सहित क्रम-विन्यास है; केवल समिति में क्रम नहीं होता। परीक्षा टिप: क्रम हो तो \(r!\) गुणा करें। / First choose r objects in \(\binom{n}{r}\) ways, then arrange them in \(r!\) orders. Thus it represents selection followed by ordering; a committee has no order. Exam tip: multiply by \(r!\) whenever positions or order matter.
संबंध \(^{n}P_r=^{n}C_r\cdot r!\) होता है, क्योंकि चुनी हुई \(r\) वस्तुओं को \(r!\) क्रमों में व्यवस्थित किया जा सकता है। यहाँ \(r=4\) है, इसलिए \(x=4!\)। \(\frac{12!}{8!}\) स्वयं \(^{12}P_4\) है, जबकि \(\frac{12!}{4!8!}\) स्वयं \(^{12}C_4\) है। परीक्षा टिप: क्रमचय और संचय को जोड़ने वाले सूत्र में गुणक हमेशा \(r!\) होता है। / The relation is \(^{n}P_r=^{n}C_r\cdot r!\), because the \(r\) selected objects can be arranged in \(r!\) orders. Here \(r=4\), so \(x=4!\). \(\frac{12!}{8!}\) is \(^{12}P_4\) itself, while \(\frac{12!}{4!8!}\) is \(^{12}C_4\) itself. Exam tip: in the relation between permutations and combinations, the multiplying factor is always \(r!\).
Code में order बदलने से code बदल जाता है। परीक्षा में code या password में सामान्यतः permutation relation लगाएं। / Changing order changes the code. In exams usually use permutation relation for codes or passwords.
