Level 41 • 4/50 questions • 25 seconds per question.
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Which statement is equivalent to \(x\in\(-\infty,4\),)?
A. \(x\le 4\)
अंतराल \((-\infty,4)\) में (4) शामिल है और उससे छोटे सभी मान आते हैं। इसलिए यह \(x\le 4\) है। / The interval \((-\infty,4)\) includes (4) and all smaller values. Hence it is \(x\le 4\).
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If \(x\in\mathbb{Z}\) and \(-4\le x\le 4\), how many integer values of \(x\) are possible?
A. 9
दोनों सिरों को शामिल करते हुए पूर्णांक हैं: \(-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\)। अतः मानों की संख्या \(4-(-4)+1=9\) है। विकल्प B में एक सिरा छूट जाता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-युक्ति: समावेशी अंतराल \([a,b]\) में पूर्णांकों की संख्या \(b-a+1\) होती है। / Including both endpoints, the integers are \(-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\). Hence, their number is \(4-(-4)+1=9\). Option B would result from omitting one endpoint. Exam tip: the number of integers in the inclusive interval \([a,b]\) is \(b-a+1\).
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If \(x\in(2,5]\) and \(y=x-2\), in which interval will (y) lie?
A. (y\in(0,3])
पूरे अंतराल से (2) घटाने पर सिरों से भी (2) घटता है। खुला (2) अब खुला (0) बनता है और (5) बंद रहता है। / Subtracting (2) from the whole interval subtracts (2) from the endpoints. The open (2) becomes open (0), and (5) remains closed.
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If \(x\in(0,2)\), in which interval does \(x^2\) lie?
A. \(x^2\in(0,4)\)
चूँकि \(0<x<2\), और इस पूरे धनात्मक अंतराल पर वर्ग फलन बढ़ता है, इसलिए \(0^2<x^2<2^2\), अर्थात \(0<x^2<4\)। अतः सही अंतराल \((0,4)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x\) न तो 0 के बराबर हो सकता है और न 2 के, इसलिए दोनों सिरे शामिल नहीं होंगे। परीक्षा-युक्ति: खुले अंतराल के सिरों को वर्ग करने के बाद भी जाँचें कि वे शामिल हैं या नहीं। / Since \(0<x<2\), and the square function is increasing throughout this positive interval, we get \(0^2<x^2<2^2\), or \(0<x^2<4\). Therefore, the correct interval is \((0,4)\). Option B is incorrect because \(x\) cannot equal either 0 or 2, so neither endpoint is included. Exam tip: after transforming an interval, always check whether its endpoints are open or closed.
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