Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(A') में (U) के वे अवयव होते हैं जो (A) में नहीं होते। पूरक निकालते समय हमेशा (U) को आधार मानें। / (A') contains the elements of (U) that are not in (A). Always take (U) as the base while finding complement.
सूत्र (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)) से (36+28-12=52) मिलता है। साझा भाग को एक बार घटाएं। / Using (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)), we get (36+28-12=52). Subtract the common part once.
\(A\cup B\) में दोनों वृत्तों का पूरा भाग आता है। जो भाग छूटता है वह दोनों से बाहर यानी (\(A\cup B\)') है। / \(A\cup B\) includes the whole of both circles. The part left is outside both, that is (\(A\cup B\)').
बीच का साझा भाग \(A\cap B\) कहलाता है। प्रतिच्छेद में केवल दोनों में आने वाले अवयव होते हैं। / The middle common part is called \(A\cap B\). Intersection contains only elements common to both sets.
संघ में केवल (A), साझा भाग और केवल (B) आते हैं। इसलिए साझा भाग (81-29-34=18) है। / The union contains only (A), the common part, and only (B). Therefore the common part is (81-29-34=18).
न (A) न (B) की संख्या (85-56=29) है। यह दोनों वृत्तों के बाहर लेकिन (U) के अंदर का क्षेत्र है। / The number in neither (A) nor (B) is (85-56=29). It is outside both circles but inside (U).
संघ में तीनों क्षेत्र आते हैं, इसलिए (18+7+14=39)। वेन आरेख में हर क्षेत्र को एक बार जोड़ें। / The union includes all three regions, so (18+7+14=39). In a Venn diagram, add each region once.
यदि \(n(U)=94\), केवल \(A\) में 26 सदस्य, \(A\cap B\) में 15 सदस्य, और केवल \(B\) में 31 सदस्य हों, तो यूनिवर्स के बाहर (A और B के बाहर) कितने सदस्य हैं?
A और B के भीतर ज्ञात सदस्य हैं: केवल A (26) + A∩B (15) + केवल B (31) = 26+15+31 = 72. कुल यूनिवर्स में 94 सदस्य हैं, अतः बाहर के सदस्य = 94−72 = 22. यहाँ निकटतम विकर्षक 72 है, जो A∪B का योग है (यूनिवर्स से घटाने से पहले के अंदर के सदस्य), इसलिए वह बाहर की संख्या नहीं है। परीक्षात्मक सुझाव: पहले अनुकूलित क्षेत्रों का कुल जोड़ निकालें और उसे \(n(U)\) से घटाएँ। / Elements inside A or B are: only A (26) + A∩B (15) + only B (31) = 26+15+31 = 72. Since the universal set has 94 elements, the outside (neither A nor B) = 94−72 = 22. The closest distractor 72 is just the count of A∪B, not the outside region. Exam tip: sum all disjoint regions inside the Venn diagram first, then subtract from \(n(U)\).
दो-वृत्त Venn आरेख में कुल तत्व 4 क्षेत्रों का योग होते हैं: केवल A, केवल B, A∩B (साझा भाग) और दोनों के बाहर (neither)। इसलिए साझे भाग की संख्या निकालने के लिए ज्ञात क्षेत्रों को कुल से घटाएँ: \(n(A\cap B)=76-(18+20+23)=76-61=15\)। विकल्प B (43) केवल "केवल A" और "केवल B" का योग है (20+23) और इसमें साझा भाग व बाहरी भाग शामिल नहीं है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: दो-वृत्त प्रश्नों में तुरंत एक छोटा Venn आरेख बनाइए और चारों क्षेत्रों का योग कुल के बराबर होता है। / In a two-set Venn diagram the universal set splits into four regions: only A, only B, A∩B (the intersection), and neither. So compute the intersection by subtracting the known three regions from the total: \(n(A\cap B)=76-(18+20+23)=76-61=15\). Option B (43) is just 20+23 (only A plus only B) and omits the intersection and the outside region, so it is incorrect. Exam tip: draw the Venn diagram and equate the sum of the four regions to the total to avoid sign/errors.
संघ में केवल (A), साझा भाग और केवल (B) आते हैं। इसलिए साझा भाग (63-24-27=12) है। / The union contains only (A), the common part, and only (B). Therefore, the common part is (63-24-27=12).
कम से कम एक विषय पढ़ने वाले (34+27-11=50) हैं। दोनों पढ़ने वालों को दो बार नहीं गिनना चाहिए। / Those who study at least one subject are (34+27-11=50). Students studying both should not be counted twice.
केवल आम पसंद करने वाले (32-9=23) हैं। कुल आम पसंद करने वालों से दोनों पसंद करने वालों को घटाएं। / Those who like only mango are (32-9=23). Subtract those who like both from total mango lovers.
एक परीक्षा में (100) विद्यार्थियों में (62) ने गणित पास किया, (49) ने विज्ञान पास किया, और (35) ने दोनों पास किए। केवल विज्ञान पास करने वाले कितने हैं?
केवल विज्ञान पास करने वाले (49-35=14) हैं। विषय के कुल से दोनों पास करने वालों को घटाएं। / Those who passed only Science are (49-35=14). Subtract those who passed both from the total of that subject.
कम से कम एक जगह जाने वाले (70+52-30=92) हैं। वेन आरेख में साझा भाग को एक बार घटाते हैं। / Those who visited at least one place are (70+52-30=92). In a Venn diagram, subtract the common part once.
\(A\cup B=A\) का अर्थ है (B) के सभी अवयव (A) में पहले से हैं। इसलिए \(B\subseteq A\) सही है। / \(A\cup B=A\) means all elements of (B) are already in (A). Therefore, \(B\subseteq A\) is correct.
C. तीनों वृत्तों के साझा भाग में/In the common part of all three circles
Explanation
Simple Explanation
\(A\cap B\cap C\) तीनों समुच्चयों का साझा भाग है। तीन वृत्तों में यह बीच का सामान्य क्षेत्र होता है। / \(A\cap B\cap C\) is the common part of all three sets. In three circles, it is the central common region.
तीन समुच्चयों के सूत्र से (12+14+10-5-3-4+2=26)। जोड़ी प्रतिच्छेद घटाकर तीनों का साझा भाग जोड़ें। / By the three-set formula, (12+14+10-5-3-4+2=26). Subtract pairwise intersections and add the common part of all three.
सूत्र से (16+18+9-6-2-3+1=33) मिलता है। तीन समुच्चयों में अंतिम साझा भाग जोड़ना न भूलें। / The formula gives (16+18+9-6-2-3+1=33). In three sets, do not forget to add the final common part.
