Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
गुणांक अनुपात समान करने पर \(\beta=3\) मिलता है। स्थिर अनुपात \(\frac{5}{9}\) अलग है, इसलिए कोई हल नहीं। / Equating coefficient ratios gives \(\beta=3\). The constant ratio \(\frac{5}{9}\) is different, so there is no solution.
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{\alpha}{9}\neq\frac{4}{12}\) होना चाहिए। इसलिए \(\alpha\neq3\) सही शर्त है। / For a unique solution, \(\frac{\alpha}{9}\neq\frac{4}{12}\) must hold. Thus \(\alpha\neq3\) is correct.
गुणांक अनुपात समान करने पर (q=2) मिलता है। स्थिर पद अनुपात समान नहीं है, इसलिए कोई हल नहीं। / Equating coefficient ratios gives (q=2). The constant ratio is not equal, so there is no solution.
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{p+4}{5}\neq\frac{-9}{-15}\) होना चाहिए। इसलिए \(p\neq-1\)। / For a unique solution, \(\frac{p+4}{5}\neq\frac{-9}{-15}\) must hold. Hence \(p\neq-1\).
अनंत हलों के लिए \(\frac{4}{12}=\frac{m-5}{6}=\frac{9}{27}\) चाहिए। इससे (m=7) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{4}{12}=\frac{m-5}{6}=\frac{9}{27}\) is required. This gives (m=7).
गुणांक अनुपात समान करने पर (k=0) मिलता है। स्थिर अनुपात \(\frac{3}{8}\) अलग है, इसलिए कोई हल नहीं। / Equating coefficient ratios gives (k=0). The constant ratio \(\frac{3}{8}\) is different, so there is no solution.
अद्वितीय न होने के लिए सारणिक शून्य होना चाहिए। ((k-3)k-8=0) से \(k=\frac{3\pm\sqrt{41}}{2}\) मिलता है। / For non-unique solutions, the determinant must be zero. From ((k-3)k-8=0), \(k=\frac{3\pm\sqrt{41}}{2}\).
अलग ढाल वाली रेखाएँ केवल एक बिंदु पर मिलती हैं। इसलिए युग्म संगत और स्वतंत्र होता है। / Lines with different slopes meet at exactly one point. Hence the pair is consistent and independent.
समान ढाल और अलग अवरोध का अर्थ अलग समांतर रेखाएँ है। इसलिए वे कभी नहीं कटतीं। / Same slope and different intercepts mean distinct parallel lines. Therefore, they never intersect.
(D=0) और असंगत सहायक सारणिक समांतर अलग रेखाओं का संकेत देते हैं। इसलिए कोई हल नहीं होता। / (D=0) with a non-zero auxiliary determinant indicates distinct parallel lines. Hence there is no solution.
C. \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)
Explanation
Simple Explanation
संपाती रेखाएँ एक ही रेखा को दर्शाती हैं। इसलिए तीनों अनुपात समान होते हैं और अनंत हल मिलते हैं। / Coincident lines represent the same line. Hence all three ratios are equal and infinitely many solutions occur.
गुणांक अनुपात अलग होने पर रेखाएँ एक बिंदु पर कटती हैं। इसलिए अद्वितीय हल मिलता है। / When coefficient ratios are different, the lines intersect at one point. Therefore, a unique solution is obtained.
यह स्थिति अलग-अलग समांतर रेखाएँ बनाती है। इसलिए युग्म असंगत होता है। / This condition forms distinct parallel lines. Therefore, the pair is inconsistent.
C. \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\)
Explanation
Simple Explanation
कोई हल नहीं तब होता है जब रेखाएँ समांतर और अलग हों। इसका अनुपात रूप \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\) है। / No solution occurs when lines are parallel and distinct. Its ratio form is \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\).
यहाँ \(\frac{4}{8}\neq\frac{5}{9}\) है। इसलिए रेखाएँ एक बिंदु पर कटती हैं। / Here \(\frac{4}{8}\neq\frac{5}{9}\). Therefore, the lines intersect at one point.
गुणांक अनुपात समान है लेकिन स्थिर पद अनुपात समान नहीं है। इसलिए रेखाएँ समांतर और अलग हैं। / The coefficient ratio is equal but the constant ratio is not equal. Hence the lines are parallel and distinct.
दूसरा समीकरण पहले का (4) गुना है। दोनों समान रेखाएँ हैं, इसलिए अनंत हल हैं। / The second equation is (4) times the first. Both are the same line, so there are infinitely many solutions.
अनंत हलों के लिए \(\frac{6}{15}=\frac{h+1}{20}=\frac{12}{30}\) होना चाहिए। इससे (h=7) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{6}{15}=\frac{h+1}{20}=\frac{12}{30}\) must hold. This gives (h=7).
गुणांक अनुपात समान करने पर \(\frac{l}{9}=\frac{6}{18}\) से (l=3) मिलता है। स्थिर पद अनुपात अलग है। / Equating coefficient ratios, \(\frac{l}{9}=\frac{6}{18}\) gives (l=3). The constant ratio is different.
गुणांक अनुपात \(\frac{1}{7}\) है। कोई हल नहीं के लिए \(\frac{d}{28}\neq\frac{1}{7}\), इसलिए \(d\neq4\)। / The coefficient ratio is \(\frac{1}{7}\). For no solution, \(\frac{d}{28}\neq\frac{1}{7}\), so \(d\neq4\).
यहाँ \(\frac{v+2}{10}=\frac{-3}{-5}=\frac{6}{10}\) होना चाहिए। इससे (v=4) मिलता है। / Here \(\frac{v+2}{10}=\frac{-3}{-5}=\frac{6}{10}\) must hold. This gives (v=4).
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{13}{26}\neq\frac{t}{10}\) होना चाहिए। अतः \(t\neq5\) सही है। / For a unique solution, \(\frac{13}{26}\neq\frac{t}{10}\) must hold. Hence \(t\neq5\) is correct.
गुणांक अनुपात समान करने पर \(\frac{u}{4}=\frac{9}{6}\) से (u=6) मिलता है। स्थिर पद अनुपात अलग है, इसलिए कोई हल नहीं है। / Equating coefficient ratios, \(\frac{u}{4}=\frac{9}{6}\) gives (u=6). The constant ratio is different, so there is no solution.
अनंत हलों के लिए \(\frac{12}{20}=\frac{s}{10}=\frac{18}{30}\) चाहिए। इससे (s=6) आता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{12}{20}=\frac{s}{10}=\frac{18}{30}\) is needed. This gives (s=6).
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{r}{8}\neq\frac{5}{10}\) होना चाहिए। इसलिए \(r\neq4\) सही है। / For a unique solution, \(\frac{r}{8}\neq\frac{5}{10}\) must hold. So \(r\neq4\) is correct.
गुणांक अनुपात \(\frac{1}{3}\) है। कोई हल नहीं के लिए \(\frac{c}{21}\neq\frac{1}{3}\), अतः \(c\neq7\)। / The coefficient ratio is \(\frac{1}{3}\). For no solution, \(\frac{c}{21}\neq\frac{1}{3}\), hence \(c\neq7\).
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{p-2}{5}\neq\frac{9}{15}\) चाहिए। इसलिए \(p\neq5\) सही है। / For a unique solution, \(\frac{p-2}{5}\neq\frac{9}{15}\) is needed. Hence \(p\neq5\) is correct.
