Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
शून्यक वह x‑मान होता है जहाँ ग्राफ x‑अक्ष को काटता है; यहाँ शून्यक -2, 4 और 10 हैं। माध्य निकालने के लिए इनके योग को संख्या से भाग करें: \(\frac{-2+4+10}{3}=4\)। नज़दीकी गलत विकल्प B (12) कुल योग है, परन्तु माध्य नहीं। परीक्षा‑टिप: प्रत्यक्ष रूप से कटान बिंदुओं से केवल x‑मूल्य लें और उन्हें शून्यकों की गिनती से भाग दें। / Zeroes are the x‑values where the graph meets the x‑axis; here they are -2, 4 and 10. The mean is the sum divided by the count: \(\frac{-2+4+10}{3}=4\). The closest distractor B (12) is the sum of the zeroes, not the mean. Exam tip: read only the x‑coordinates from intercepts and divide by the number of zeroes.
A. दूसरा (5), कटान ((4,0)), ((5,0))/Other (5), intersections ((4,0)), ((5,0))
Explanation
Simple Explanation
द्विघात में शून्यकों का योग (9) है इसलिए दूसरा शून्यक (5) है। टिप: शून्यक को तुरंत ((x,0)) में बदलें। / In the quadratic, the sum of zeroes is (9), so the other zero is (5). Tip: quickly convert a zero to ((x,0)).
(x-2-8x-33=(x-11)(x+3)) है इसलिए शून्यक (11) और (-3) हैं। टिप: गुणनखंडों से बिंदु ((x,0)) बनाएं। / (x-2-8x-33=(x-11)(x+3)), so the zeroes are (11) and (-3). Tip: form ((x,0)) points from factors.
यह ((x-u)(x-v)) है इसलिए शून्यक (u) और (v) हैं। टिप: शून्यक को ((x,0)) बिंदु के रूप में लिखें। / It is ((x-u)(x-v)), so the zeroes are (u) and (v). Tip: write each zero as the point ((x,0)).
माध्य \(=\dfrac{-1+3+7}{3}=3\). स्पष्टीकरण: x‑अक्ष पर दिए कटान बिंदुओं के x‑मान ही बहुपद के शून्यक होते हैं; उनका योग 9 है और तीन से भाग करने पर माध्य 3 आता है। विकल्प 9 इसलिए गलत है क्योंकि वह कुल योग है, माध्य नहीं (भाग करना छूट गया)। विकल्प -3 चिन्ह की त्रुटि से हो सकता है और 7 केवल एक शून्यक है। परीक्षा सुझाव: हमेशा पहले कटान बिंदुओं से x‑मान लें, फिर उनका औसत निकालें (योग ÷ संख्या)। / Mean \(=\dfrac{-1+3+7}{3}=3\). Explanation: The x-coordinates of the intercepts are the zeros; their sum is 9 and dividing by 3 gives the mean 3. Option 9 is incorrect because it is the sum, not the average (division was omitted). Option -3 results from a sign error, and 7 is just one of the zeros. Exam tip: read off the x-values from intercepts first, then compute average = (sum)/(count).
\(p(x)=x^2-bx= x(x-b)\) के रूप में फैक्टर होता है। x-अक्ष पर कटान वही बिंदु होते हैं जहाँ \(p(x)=0\), अतः \(x(x-b)=0\) से \(x=0\) या \(x=b\)। इसलिए कटान बिंदु \((0,0)\) और \((b,0)\) हैं। निकटतम भ्रमित विकल्प (B) गलत है क्योंकि \(p(-b)=(-b)^2-b(-b)=2b^2\), जो सामान्य रूप से शून्य नहीं है (जब \(b\ne0\))। विकल्प (D) गलत है क्योंकि \((0,b)\) एक y-अक्ष पर बिंदु है न कि x-अक्ष पर। परीक्षा टिप: x-अक्ष के लिए हमेशा \(p(x)=0\) रखें और सामान्य कारक निकालें। / Factor: \(p(x)=x^2-bx= x(x-b)\). x-intercepts occur where \(p(x)=0\), so \(x(x-b)=0\) gives \(x=0\) or \(x=b\). Thus the intercepts are \((0,0)\) and \((b,0)\). The closest distractor (B) is incorrect because \(p(-b)=(-b)^2-b(-b)=2b^2\), which is not zero for general \(b\ne0\). Option (D) is wrong since \((0,b)\) is on the y-axis, not the x-axis. Exam tip: set \(p(x)=0\) and factor out the common \(x\) to find x-intercepts quickly.
A. दूसरा (4), कटान ((3,0)), ((4,0))/Other (4), intersections ((3,0)), ((4,0))
Explanation
Simple Explanation
द्विघात में शून्यकों का योग (7) है, इसलिए दूसरा शून्यक (4) है। टिप: शून्यक को तुरंत ((x,0)) में बदलें। / In the quadratic, the sum of zeroes is (7), so the other zero is (4). Tip: quickly convert a zero to ((x,0)).
(x-2-4x-21=(x-7)(x+3)) है, इसलिए शून्यक (7) और (-3) हैं। टिप: गुणनखंडों से बिंदु ((x,0)) बनाएं। / (x-2-4x-21=(x-7)(x+3)), so the zeroes are (7) and (-3). Tip: form ((x,0)) points from factors.
बहुपद को गुणनखंड में लिखें: \(p(x)=x^2-(m+n)x+mn=(x-m)(x-n)\)। इसलिए जड़ें (roots) हैं \(x=m\) और \(x=n\)। इन जड़ों के कारण ग्राफ़ x-अक्ष को बिंदुओं \((m,0)\) और \((n,0)\) पर काटेगा। निकटतम विचलन: \((-m,0)\) व \((-n,0)\) गलत हैं क्योंकि वहाँ संकेतन चिह्न उल्टा है; \((0,m)\) और \((0,n)\) y-अक्ष के कटान हैं; \((m,n)\) जैसे बिंदु रूट नहीं दर्शाते। परीक्षा-टिप: हमेशा पहले \(p(x)=0\) रखें और बहुपद को गुणनखंड में बाँटकर जड़ें निकालें; फिर हर जड़ को \((\, ext{root}\,,0)\) के रूप में लिखें। / Factor the polynomial: \(p(x)=x^2-(m+n)x+mn=(x-m)(x-n)\). Hence the roots are \(x=m\) and \(x=n\), so the x-intercepts are (m,0) and (n,0). Closest distractor (\(-m,0\),\(-n,0\)) is incorrect because the signs are negated; (0,m),(0,n) are y-intercepts; (m,n) are arbitrary coordinate points and do not represent roots. Exam tip: set \(p(x)=0\) or factorize to find roots, then report each root as (root,0).
हमेशा शून्यबिंदु पाने के लिए \(p(x)=0\) रखें। \(p(x)=x^2-ax=x(x-a)\) है, इसलिए \(x=0\) या \(x=a\) पर ही बहुपद शून्य होगा। इसलिए ग्राफ़ के \(x\)-अक्ष के साथ छेदन बिंदु \((0,0)\) और \((a,0)\) हैं। निकटतम भ्रामक विकल्प \(\,\,(0,0),( -a,0)\) गलत इसलिए कि वह \(x=a\) को नकारता है—सही मूल का चिन्ह बदलना त्रुटि है। परीक्षा टिप: हमेशा बहुपद को गुणनखंडों में लिखकर \(=0\) रखें ताकि शून्य निकालना सरल हो। / Set \(p(x)=0\). Factor: \(p(x)=x^2-ax=x(x-a)\). Thus the roots are \(x=0\) and \(x=a\), so the x-intercepts are \((0,0)\) and \((a,0)\). The closest distractor \((0,0),(-a,0)\) is wrong because it flips the sign of the second root; sign errors are common when factoring or solving. Exam tip: always factor and set each factor equal to zero; intercepts have y-coordinate 0, so give points of the form \((\text{root},0)\).
A. दूसरा (3), कटान ((2,0)), ((3,0))/Other (3), intersections ((2,0)), ((3,0))
Explanation
Simple Explanation
द्विघात में शून्यकों का योग (5) है, इसलिए दूसरा शून्यक (3) है। टिप: शून्यक को तुरंत ((x,0)) में बदलें। / In the quadratic, the sum of zeroes is (5), so the other zero is (3). Tip: immediately convert a zero to ((x,0)).
(x-2+2x-15=(x+5)(x-3)), इसलिए शून्यक (-5) और (3) हैं। टिप: गुणनखंडों से बिंदु ((x,0)) बनाएं। / (x-2+2x-15=(x+5)(x-3)), so the zeroes are (-5) and (3). Tip: form points ((x,0)) from factors.
बहुपद ((x-a)(x-b)) के बराबर है, इसलिए शून्यक (a) और (b) हैं। टिप: गुणनखंड रूप को ग्राफ कटान से जोड़ें। / The polynomial equals ((x-a)(x-b)), so the zeroes are (a) and (b). Tip: connect factor form with graph intersections.
x-अक्ष पर कोई भी प्रतिच्छेदन बिंदु (x,0) दर्शाता है कि उस बिंदु पर y = 0 है। इसलिए दिए गए बिंदुओं (a,0), (b,0), (c,0) के पहले निर्देशांक a, b, c वही शून्यक (zeroes) हैं। विकल्प A गलत है क्योंकि (0,0,0) त्रिकीय शून्यक नहीं बल्कि गलत रूप में लिखी गई सूची है; विकल्प C गलत है क्योंकि (a+0) = a इत्यादि होने से ऐसे लिखना संभव और समानार्थी है; विकल्प D गलत है क्योंकि केवल c ही नहीं बल्कि a और b भी शून्यक हैं। परीक्षा टिप: x-अक्ष पर मिलने वाला बिंदु (p,0) से शून्यक सीधे p पढ़ें। / An x-axis intercept (x,0) means the function value is zero at that x, so the x-coordinates a, b, c of (a,0), (b,0), (c,0) are the zeroes. Option A is wrong because (0,0,0) does not represent the three x-values a, b, c. Option C is false since (a+0)=a (and similarly for b, c), so writing (a+0,b+0,c+0) is equivalent to (a,b,c). Option D is wrong because all three a, b and c are zeroes, not just c. Exam tip: whenever you see an intercept (p,0), the zero of the polynomial/function is p (the x-coordinate).
यदि ग्राफ x-अक्ष को बिंदु (a,0) पर काटता है, तो x=a उस बहुपद का शून्यक (root) होता है क्योंकि बहुपद का मान वहीं पर 0 है। यहाँ दिए गए बिंदु (0,0), (2,0) और (5,0) का अर्थ है कि x=0, x=2 और x=5 पर बहुपद का मान 0 है; इसलिए वे तीनों शून्यक हैं। निकटतम विकर्षक: विकल्प D गलती से मूल (0) को छोड़ देता है; विकल्प A और C भी सही बिंदुओं को अनदेखा करते हैं। परीक्षा युक्ति: ग्राफ के x-अक्ष पर जहाँ ordinate = 0 होता है, वही x के मान बहुपद के शून्यक होते हैं — खासकर (0,0) को कभी न भूलें। / If a graph meets the x-axis at (a,0), then x=a is a root of the polynomial because the polynomial's value is 0 there. Since the graph passes through (0,0), (2,0) and (5,0), the polynomial equals zero at x=0, x=2 and x=5; hence all three are zeros. Closest distractor: option D wrongly omits x=0; options A and C ignore the given x-intercepts. Exam tip: any x-intercept (a,0) directly gives a root x=a — never overlook the origin (0,0).
(x)-अक्ष कटान पर (y=p(x)=0) होता है। टिप: कटान बिंदु से फलन मान सीधे पढ़ें। / At an (x)-axis intersection, (y=p(x)=0). Tip: read the function value directly from the intersection point.
x-अक्ष पर कटान वे बिंदु होते हैं जहाँ ग्राफ का मान शून्य हो, यानी \(p(x)=0\)। \(x^2-16=0\) से \(x^2=16\) और इसलिए \(x=\pm4\)। अतः x-अक्ष पर कटान बिंदु \((4,0)\) और \((-4,0)\) हैं। विकल्प A गलत है क्योंकि वे y-अक्ष के बिंदु जैसी तरह दिखते हैं और इस बहुपद के लिये सत्य नहीं हैं; विकल्प C और D भी गलत हैं क्योंकि उन x मानों को रखने पर \(p(x)\) शून्य नहीं होता (उदा. \(x=16\) पर \(p(16)=256-16\neq0\)). परीक्षा-टिप: x-अक्ष कटान खोजने के लिये हमेशा बहुपद को शून्य के बराबर रखकर हल करें और शून्यांक को बिंदु के रूप में \((x,0)\) लिखें। / X-intercepts occur where the polynomial equals zero, i.e. set \(p(x)=0\). Solving \(x^2-16=0\) gives \(x^2=16\) so \(x=\pm4\). Therefore the x-intercepts are \((4,0)\) and \((-4,0)\). Option A lists y-axis-like points that are not zeros here; options C and D are incorrect because substituting those x-values does not make \(p(x)=0\) (for example \(p(16)=256-16\neq0\)). Exam tip: always solve \(p(x)=0\) to find zeros and report them as \((x,0)\).
शून्यक (-6) और (2) हैं, इसलिए गुणनफल (-12) है। टिप: (y)-निर्देशांक को गुणन में शामिल न करें। / The zeroes are (-6) and (2), so the product is (-12). Tip: do not include the (y)-coordinate in the product.
