factorial simplification MCQ Questions for Class 11
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\(\frac{6!}{5!}=6\) और \(\frac{5!}{3!}=5\times4=20\), क्योंकि अंश और हर के समान फैक्टोरियल पद कट जाते हैं। इसलिए दिया गया व्यंजक \(6\times20=120\) है। \(100\) प्राप्त होना फैक्टोरियल पदों के गलत विस्तार या निरस्तीकरण को दर्शाता है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के अनुपात में पहले समान फैक्टोरियल पद काटें, फिर बचे हुए क्रमागत पूर्णांकों का गुणन करें। / \(\frac{6!}{5!}=6\) and \(\frac{5!}{3!}=5\times4=20\), because the common factorial terms in the numerator and denominator cancel. Hence, the expression equals \(6\times20=120\). Getting \(100\) indicates incorrect expansion or cancellation of factorial terms. Exam tip: In factorial ratios, cancel the common factorial terms first, then multiply the remaining consecutive integers.
क्योंकि \(n!=n(n-1)(n-2)!\), इसलिए \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\)। प्रश्न में \(n(n-1)=72\) दिया है, अतः व्यंजक का मान \(72\) है। \(144\) तब मिल सकता है जब दिए गए मान को गलती से दोगुना कर दिया जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में अंश को हर के फैक्टोरियल तक ही प्रसारित करके समान पदों को काटें। / Since \(n!=n(n-1)(n-2)!\), \(\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)\). The question gives \(n(n-1)=72\), so the value of the expression is \(72\). \(144\) could arise from incorrectly doubling the given value. Exam tip: In a factorial fraction, expand the numerator only up to the factorial in the denominator, then cancel common factors.
\(n!=n(n-1)(n-2)(n-3)!\) होने से \(\frac{n!}{(n-3)!}=n(n-1)(n-2)\) होगा। अतः \(n(n-1)(n-2)=120\)। \(n=6\) के लिए \(6\times5\times4=120\), इसलिए सही उत्तर 6 है। निकटतम विकल्प \(n=5\) पर \(5\times4\times3=60\) मिलता है, जो 120 नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में समान फैक्टोरियल पदों को काटकर शेष क्रमागत गुणनखंड लिखें। / Using \(n!=n(n-1)(n-2)(n-3)!\), we get \(\frac{n!}{(n-3)!}=n(n-1)(n-2)\). Hence, \(n(n-1)(n-2)=120\). For \(n=6\), \(6\times5\times4=120\), so 6 is correct. The closest option, \(n=5\), gives \(5\times4\times3=60\), not 120. Exam tip: In a factorial fraction, cancel the common factorial term and write the remaining consecutive factors.
बड़े क्रमगुणित को छोटे क्रमगुणित तक फैलाने पर \((n+4)!=(n+4)(n+3)(n+2)!\) मिलता है। इसलिए \(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\) है, क्योंकि \((n+2)!\) कट जाता है। विकल्प B में \(n+3\) के स्थान पर \(n+2\) लिया गया है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: क्रमगुणितों के भाग में अंश वाले क्रमगुणित को हर वाले क्रमगुणित तक ही फैलाएँ। / Expand the larger factorial up to the smaller factorial: \((n+4)!=(n+4)(n+3)(n+2)!\). Thus, \(\frac{(n+4)!}{(n+2)!}=(n+4)(n+3)\), since \((n+2)!\) cancels. Option B incorrectly has \(n+2\) instead of \(n+3\). Exam tip: In a factorial quotient, expand the numerator factorial only until the denominator factorial appears.
गुणधर्म \(n!=n\times(n-1)!\) से \(\frac{8!}{7!}=8\), \(\frac{7!}{6!}=7\) और \(\frac{6!}{5!}=6\) मिलता है। इसलिए व्यंजक का मान \(8+7+6=21\) है। विकल्प 20 जैसी त्रुटि पदों को सही ढंग से सरल किए बिना जोड़ने से हो सकती है। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{(n-1)!}\) को सीधे \(n\) लिखें। / Using \(n!=n\times(n-1)!\), \(\frac{8!}{7!}=8\), \(\frac{7!}{6!}=7\), and \(\frac{6!}{5!}=6\). Therefore, the expression equals \(8+7+6=21\). An answer such as 20 can arise from adding terms without simplifying each factorial ratio correctly. Exam tip: directly use \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\).
\(10!=10\times9!\) होने पर अंश \(10!-9!=10\times9!-9!=9!(10-1)=9\times9!\) होगा। इसलिए \(\frac{9\times9!}{8!}=9\times9=81\)। अतः सही उत्तर 81 है। विकल्प 90 तब मिलता है जब \(10!/8!\) निकालते समय \(-9!\) को अनदेखा कर दिया जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल वाले व्यंजकों में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के रूप में लिखकर समान पद बाहर निकालें। / Since \(10!=10\times9!\), the numerator becomes \(10!-9!=10\times9!-9!=9!(10-1)=9\times9!\). Hence, \(\frac{9\times9!}{8!}=9\times9=81\). Therefore, 81 is the correct answer. Option 90 can result from calculating \(10!/8!\) while incorrectly ignoring \(-9!\). Exam tip: In factorial expressions, rewrite the larger factorial in terms of the smaller one and factor out the common term first.
\(12!=12\times11\times10\times9!\) लिखने पर \(\frac{12!}{9!}=\frac{12\times11\times10\times9!}{9!}=12\times11\times10\) मिलता है। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प D में 12 के स्थान पर 9 है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{r!}\) में, जब \(n>r\), तो \(n\) से \(r+1\) तक के गुणनखंड बचते हैं। / Write \(12!=12\times11\times10\times9!\). Then \(\frac{12!}{9!}=\frac{12\times11\times10\times9!}{9!}=12\times11\times10\). Hence, option B is correct. Option D wrongly includes 9 instead of 12. Exam tip: for \(\frac{n!}{r!}\), where \(n>r\), the factors from \(n\) down to \(r+1\) remain after cancellation.
क्योंकि \(11!=11\times10\times9!\) और \(2!=2\) है, इसलिए \(\frac{11!}{9!,2!}=\frac{11\times10\times9!}{9!\times2}=\frac{110}{2}=55\)। विकल्प 66, \(\binom{12}{2}\) का मान है, इसलिए यहाँ सही नहीं है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में पहले समान फैक्टोरियल पदों को काटें, फिर शेष गुणन करें। / Since \(11!=11\times10\times9!\) and \(2!=2\), \(\frac{11!}{9!,2!}=\frac{11\times10\times9!}{9!\times2}=\frac{110}{2}=55\). The value 66 is \(\binom{12}{2}\), so it does not apply here. Exam tip: In factorial fractions, first cancel the common factorial terms and then multiply the remaining factors.
फैक्टोरियल के विस्तार से \((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)n!\) होता है। इसे \(n!\) से भाग देने पर \(n!\) कट जाता है और \((n+3)(n+2)(n+1)\) प्राप्त होता है। विकल्प D में केवल दो गुणक हैं, जबकि \((n+3)!\) तक पहुँचने के लिए \(n!\) के बाद तीन क्रमागत गुणक आते हैं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान पदों को काटें। / Expanding the factorial gives \((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)n!\). On dividing by \(n!\), the factor \(n!\) cancels, leaving \((n+3)(n+2)(n+1)\). Option D has only two factors, whereas three consecutive factors occur after \(n!\) in \((n+3)!\). Exam tip: In factorial quotients, expand the larger factorial up to the smaller one and cancel common factors.
फैक्टोरियल के विस्तार से \((n+2)!=(n+2)(n+1)!\), इसलिए \(\frac{(n+2)!}{(n+1)!}=n+2\)। इसी प्रकार \(n!=n(n-1)!\), अतः \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\)। इसलिए पूरा व्यंजक \((n+2)-n=2\) है। \(n+2\) केवल पहला अनुपात है, दोनों अनुपातों का अंतर नहीं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे वाले तक फैलाकर समान पद काटें। / Using factorial expansion, \((n+2)!=(n+2)(n+1)!\), so \(\frac{(n+2)!}{(n+1)!}=n+2\). Similarly, \(n!=n(n-1)!\), hence \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\). Therefore, the expression is \((n+2)-n=2\). Note that \(n+2\) is only the first ratio, not the difference of the two ratios. Exam tip: In factorial fractions, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and cancel common factors.
\(6!=6\times5\times4\times3!\), इसलिए \(\frac{6!}{3!}=6\times5\times4=120\)। साथ ही, \(4!=4\times3\times2\times1=24\)। अतः \(\frac{6!}{3!}+4!=120+24=144\)। विकल्प 120 केवल भागफल है; इसमें \(4!\) जोड़ना शेष है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में समान \(n!\) पदों को काटकर पहले सरल करें। / Since \(6!=6\times5\times4\times3!\), \(\frac{6!}{3!}=6\times5\times4=120\). Also, \(4!=4\times3\times2\times1=24\). Therefore, \(\frac{6!}{3!}+4!=120+24=144\). Option 120 is only the quotient and does not include \(4!\). Exam tip: In factorial fractions, cancel the common factorial part first.
\(n=3\) रखने पर \(\frac{(n+2)!}{n!}=\frac{5!}{3!}\) प्राप्त होता है। क्योंकि \(5!=5\times4\times3!\), इसलिए \(\frac{5!}{3!}=5\times4=20\)। विकल्प 60, \(5!\) का मान है, लेकिन प्रश्न में \(3!\) से भाग भी दिया गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भिन्न में समान \(n!\) पदों को काटने के लिए बड़े फैक्टोरियल को फैलाकर लिखें। / Substituting \(n=3\) gives \(\frac{(n+2)!}{n!}=\frac{5!}{3!}\). Since \(5!=5\times4\times3!\), \(\frac{5!}{3!}=5\times4=20\). Option 60 is the value of \(5!\), but the expression must also be divided by \(3!\). Exam tip: Expand the larger factorial to cancel common \(n!\) terms in a factorial fraction.
क्योंकि \((n+1)!=(n+1)\cdot n!\), इसलिए \(\frac{(n+1)!}{n!}=n+1\)। अतः \(n+1=8\), जिससे \(n=7\) प्राप्त होता है। विकल्प 8 निकट का भ्रामक विकल्प है, क्योंकि वह \(n+1\) का मान है, \(n\) का नहीं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के ऐसे अनुपात में पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के गुणनखंडों में लिखें। / Since \((n+1)!=(n+1)\cdot n!\), \(\frac{(n+1)!}{n!}=n+1\). Thus, \(n+1=8\), which gives \(n=7\). Option 8 is a close distractor because it is the value of \(n+1\), not of \(n\). Exam tip: In factorial ratios, first expand the larger factorial in terms of the smaller one.
क्योंकि \(8!=8\times7!\), इसलिए \(\frac{8!}{8}=\frac{8\times7!}{8}=7!\)। अतः सही विकल्प \(7!\) है। \(8!\) को उत्तर मानना गलत है, क्योंकि भाजक 8 से भाग देने पर एक गुणनखंड हट जाता है। परीक्षा टिप: \(n!=n\times(n-1)!\) का प्रयोग करके ऐसे प्रश्न तुरंत हल करें। / Since \(8!=8\times7!\), \(\frac{8!}{8}=\frac{8\times7!}{8}=7!\). Therefore, \(7!\) is correct. Choosing \(8!\) is incorrect because dividing by 8 removes the factor 8. Exam tip: use \(n!=n\times(n-1)!\) to simplify such expressions quickly.
क्रमगुणित के विस्तार से \((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)!\)। अतः \((n+1)!\) से भाग देने पर \(\frac{(n+3)!}{(n+1)!}=(n+3)(n+2)\) मिलता है। विकल्प C में \((n+1)\) अनावश्यक रूप से शामिल है। परीक्षा टिप: क्रमगुणितों के भाग में बड़े क्रमगुणित को छोटे क्रमगुणित तक फैलाकर समान पद काटें। / Expanding the larger factorial gives \((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)!\). Dividing by \((n+1)!\) therefore leaves \((n+3)(n+2)\). Option C incorrectly includes the extra factor \((n+1)\). Exam tip: In factorial division, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and cancel the common part.
\(6!=6\times5\times4\times3!\) है। इसलिए \(\frac{6!}{3!}=6\times5\times4=120\)। अब \(120\div5=24\), अतः सही उत्तर 24 है। 30 तब मिल सकता है जब गुणनखंडों को गलत तरीके से रद्द किया जाए। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल भिन्न में पहले सामान्य फैक्टोरियल को काटें, फिर शेष गणना करें। / Since \(6!=6\times5\times4\times3!\), \(\frac{6!}{3!}=6\times5\times4=120\). Now \(120\div5=24\), so the correct answer is 24. A value such as 30 can result from cancelling factors incorrectly. Exam tip: In a factorial fraction, first expand only up to the common factorial and cancel it before calculating.
\(6!=6\times5\times4!\) है। अतः \(\frac{6!}{4!}=6\times5=30\), इसलिए अनुपात \(30:1\) है। \(20:1\) तब मिलता यदि केवल \(5\times4\) लिया जाता, जो यहाँ सही नहीं है। परीक्षा में बड़े क्रमगुणित को छोटे क्रमगुणित के गुणन के रूप में लिखकर समान पद काटें। / Since \(6!=6\times5\times4!\), \(\frac{6!}{4!}=6\times5=30\). Therefore, the ratio is \(30:1\). The ratio \(20:1\) would result from incorrectly using only \(5\times4\). In exams, expand the larger factorial up to the smaller factorial and cancel the common part.
क्योंकि \((n+2)!=(n+2)(n+1)!\), इसलिए \(\frac{(n+2)!}{(n+1)!}=n+2\)। अब 1 जोड़ने पर \(n+2+1=n+3\) मिलता है। \(n+2\) विकल्प में बाहर का \(+1\) जोड़ना छूट गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के ऐसे भिन्नों में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल के गुणनखंड के रूप में लिखकर समान पदों को काटें। / Since \((n+2)!=(n+2)(n+1)!\), \(\frac{(n+2)!}{(n+1)!}=n+2\). Adding 1 gives \(n+2+1=n+3\). Option \(n+2\) misses the \(+1\) outside the fraction. Exam tip: In factorial fractions, expand the larger factorial up to the smaller factorial and cancel common factors.
क्योंकि \(11!=11\times10\times9!\), इसलिए \(\frac{11!}{9!}=\frac{11\times10\times9!}{9!}=11\times10=110\)। अतः सही उत्तर 110 है। 121, \(11\times11\) है, जबकि यहाँ क्रमागत गुणनखंड 11 और 10 हैं। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर समान गुणनखंड काटें। / Since \(11!=11\times10\times9!\), \(\frac{11!}{9!}=\frac{11\times10\times9!}{9!}=11\times10=110\). Therefore, the correct answer is 110. Note that 121 is \(11\times11\), whereas the required consecutive factors are 11 and 10. Exam tip: In factorial division, expand the larger factorial only up to the smaller factorial and cancel common factors.
क्योंकि \(8!=8\times7!\), इसलिए \(8!-7!=8\times7!-7!=7!(8-1)=7\times7!\)। अब \(7!=5040\), अतः मान \(7\times5040=35280\) है। \(40320\) केवल \(8!\) का मान है, उसमें से \(7!\) घटाया नहीं गया है। परीक्षा टिप: लगातार फैक्टोरियल वाले व्यंजकों में छोटे फैक्टोरियल को उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में लें। / Since \(8!=8\times7!\), \(8!-7!=8\times7!-7!=7!(8-1)=7\times7!\). As \(7!=5040\), the value is \(7\times5040=35280\). \(40320\) is only the value of \(8!\); it does not account for subtracting \(7!\). Exam tip: For consecutive factorials, factor out the smaller factorial first.
क्योंकि \(6!=6\times5!\), इसलिए \(\frac{a}{b}=\frac{6!}{5!}=\frac{6\times5!}{5!}=6\)। अतः सही विकल्प B है। \(30\) इसलिए गलत है क्योंकि वह \(5!\) का मान है, \(\frac{6!}{5!}\) का नहीं। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\) का नियम सीधे लागू करें। / Since \(6!=6\times5!\), \(\frac{a}{b}=\frac{6!}{5!}=\frac{6\times5!}{5!}=6\). Therefore, option B is correct. \(30\) is incorrect because it is the value of \(5!\), not of \(\frac{6!}{5!}\). Exam tip: use the direct rule \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\).
क्योंकि \(8!=8\times7\times6\times5!\), इसलिए \(\frac{8!}{3!\,5!}=\frac{8\times7\times6}{3!}=\frac{8\times7\times6}{6}=56\)। अतः सही उत्तर 56 है। 60 एक निकट विकल्प हो सकता है, लेकिन उसमें \(3!=6\) से सही भाग नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाकर पहले समान पदों को काटें। / Since \(8!=8\times7\times6\times5!\), \(\frac{8!}{3!\,5!}=\frac{8\times7\times6}{3!}=\frac{8\times7\times6}{6}=56\). Hence, the correct answer is 56. Option 60 is a close distractor, but it does not divide correctly by \(3!=6\). Exam tip: Expand the larger factorial only up to the smaller factorial, then cancel common factors first.
क्योंकि \(12!=12\times11!\), अतः \(\frac{12!}{11!}=\frac{12\times11!}{11!}=12\)। विकल्प 132, \(12\times11\) है, लेकिन यहाँ \(11!\) से भाग होने पर पूरा \(11!\) कट जाता है। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\) का नियम याद रखें। / Since \(12!=12\times11!\), \(\frac{12!}{11!}=\frac{12\times11!}{11!}=12\). Option 132 is \(12\times11\), but the entire factor \(11!\) cancels in the division. Exam tip: remember that \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\).
क्रमगुणित के विस्तार से \((n+4)!=(n+4)(n+3)!\)। अतः \(\frac{(n+4)!}{(n+3)!}=\frac{(n+4)(n+3)!}{(n+3)!}=n+4\)। \(n+3\) निकट का पद है, लेकिन वह हर में मौजूद क्रमगुणित का अंतिम गुणनखंड है; कटने के बाद बचा अतिरिक्त गुणनखंड \(n+4\) होता है। परीक्षा टिप: \(\frac{(k+1)!}{k!}=k+1\) नियम तुरंत लागू करें। / Using factorial expansion, \((n+4)!=(n+4)(n+3)!\). Therefore, \(\frac{(n+4)!}{(n+3)!}=\frac{(n+4)(n+3)!}{(n+3)!}=n+4\). Although \(n+3\) is a nearby term, it belongs to the factorial in the denominator and cancels out; the extra factor left is \(n+4\). Exam tip: apply \(\frac{(k+1)!}{k!}=k+1\) directly.
क्योंकि \(11!=11\times10!\), इसलिए \(\frac{11!}{10!}=\frac{11\times10!}{10!}=11\)। विकल्प 110, \(11\times10\) करने पर मिलता है, लेकिन यहाँ \(10!\) से पूरा भाग दिया गया है। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\) सीधे लिख सकते हैं। / Since \(11!=11\times10!\), \(\frac{11!}{10!}=\frac{11\times10!}{10!}=11\). The value 110 would result from multiplying 11 by 10, but here the entire \(10!\) is cancelled. Exam tip: use \(\frac{n!}{(n-1)!}=n\) directly.
\(7! = 7\times6\times5!\) होने से \(\frac{7!}{5!}=7\times6=42\) होता है। साथ ही, \(1!=1\), अतः \(42+1=43\)। विकल्प 42 में \(1!\) जोड़ना छूट गया है। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में समान फैक्टोरियल पदों को काटकर शेष गुणनफल लिखें। / Since \(7! = 7\times6\times5!\), \(\frac{7!}{5!}=7\times6=42\). Also, \(1!=1\), so \(42+1=43\). Option 42 results from missing the addition of \(1!\). Exam tip: In a factorial quotient, cancel the common factorial term and multiply the remaining factors.
\(6!=6\times5\times4!\), इसलिए \(\frac{6!}{4!}=6\times5=30\)। साथ ही, परिभाषा के अनुसार \(0!=1\)। अतः \(\frac{6!}{4!}+0!=30+1=31\)। विकल्प 30 तब मिलता है जब \(0!\) को जोड़ना भूल जाएँ। परीक्षा टिप: फैक्टोरियल के भाग में समान फैक्टोरियल पदों को पहले काटकर सरल करें। / Since \(6!=6\times5\times4!\), \(\frac{6!}{4!}=6\times5=30\). Also, by definition, \(0!=1\). Therefore, \(\frac{6!}{4!}+0!=30+1=31\). Option 30 results if \(0!\) is not added. Exam tip: In factorial fractions, cancel common factorial terms first to simplify quickly.
\((n+1)!=(n+1)\cdot n\cdot (n-1)!\)। अतः \(\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=\frac{(n+1)n(n-1)!}{(n-1)!}=n(n+1)\)। विकल्प D में \(n\) के स्थान पर \(n-1\) लिया गया है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: क्रमगुणित के भिन्न में बड़े क्रमगुणित को छोटे क्रमगुणित तक फैलाकर लिखें। / Since \((n+1)!=(n+1)\cdot n\cdot (n-1)!\), \(\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=\frac{(n+1)n(n-1)!}{(n-1)!}=n(n+1)\). Option D incorrectly uses \(n-1\) in place of \(n\). Exam tip: In factorial fractions, expand the larger factorial up to the smaller factorial before cancelling.
क्रमगुणित के विस्तार से \((n+3)!=(n+3)(n+2)!\) होता है। अतः \(\frac{(n+3)!}{(n+2)!}=n+3\), क्योंकि \((n+2)!\) अंश और हर में कट जाता है। \(n+2\) लेने की गलती तब होती है जब अतिरिक्त गुणनखंड \(n+3\) को छोड़ दिया जाता है। परीक्षा टिप: बड़े क्रमगुणित को छोटे क्रमगुणित तक फैलाकर समान पदों को काटें। / Using factorial expansion, \((n+3)!=(n+3)(n+2)!\). Therefore, \(\frac{(n+3)!}{(n+2)!}=n+3\), because \((n+2)!\) cancels from the numerator and denominator. \(n+2\) is a common error caused by omitting the extra factor \(n+3\). Exam tip: Expand the larger factorial only up to the smaller factorial, then cancel common factors.
क्योंकि \(7!=7\times6\times5\times4!\), इसलिए \(\frac{7!}{4!}=7\times6\times5=210\)। \(120\) केवल \(5!\) का मान है, जबकि यहाँ 7, 6 और 5 का गुणन करना है। परीक्षा टिप: \(\frac{n!}{r!}\) में \(r!\) को काटने के बाद \((r+1)\) से \(n\) तक की संख्याओं का गुणन करें। / Since \(7!=7\times6\times5\times4!\), \(\frac{7!}{4!}=7\times6\times5=210\). The value \(120\) is only \(5!\); here, the factors 7, 6, and 5 must be multiplied. Exam tip: In \(\frac{n!}{r!}\), cancel \(r!\) and multiply the integers from \(r+1\) to \(n\).
