Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
कुल \(\binom{11}{4}=330\) हैं। केवल पेन \(\binom{6}{4}=15\) और केवल पेंसिल \(\binom{5}{4}=5\) हटाने पर (310) तरीके मिलते हैं। / Total ways are \(\binom{11}{4}=330\). Removing only pens \(\binom{6}{4}=15\) and only pencils \(\binom{5}{4}=5\) gives (310) ways.
ठीक (3) पुरुष और (2) महिलाएं चाहिए। तरीके \(\binom{7}{3}\binom{6}{2}=525\) हैं। / Exactly (3) men and (2) women are needed. The ways are \(\binom{7}{3}\binom{6}{2}=525\).
कुल \(\binom{12}{5}=792\) हैं और कोई विशेष न हो तो \(\binom{8}{5}=56\) हैं। इसलिए (792-56=736) है। / Total ways are \(\binom{12}{5}=792\) and ways with no special student are \(\binom{8}{5}=56\). Hence (792-56=736).
(3) विशेष में से (2) और बाकी (6) में से (2) चुनेंगे। तरीके \(\binom{3}{2}\binom{6}{2}=45\) हैं। / Choose (2) from (3) special students and (2) from the remaining (6). The ways are \(\binom{3}{2}\binom{6}{2}=45\).
एक रंग तय है और एक हट गया है इसलिए बाकी (2) रंग (6) में से चुनेंगे। तरीके \(\binom{6}{2}=15\) हैं। / One color is fixed and one is removed so choose the remaining (2) colors from (6). The ways are \(\binom{6}{2}=15\).
चयन (2), (3) या (4) उपहारों का होगा। कुल \(\binom{10}{2}+\binom{10}{3}+\binom{10}{4}=375\) है। / The selection can be of (2), (3), or (4) gifts. The total is \(\binom{10}{2}+\binom{10}{3}+\binom{10}{4}=375\).
मामले (3) डॉक्टर (1) नर्स और (4) डॉक्टर हैं। कुल \(\binom{6}{3}\binom{4}{1}+\binom{6}{4}=95\) है। / The cases are (3) doctors (1) nurse and (4) doctors. The total is \(\binom{6}{3}\binom{4}{1}+\binom{6}{4}=95\).
कुल \(\binom{12}{3}=220\) हैं। केवल अंग्रेजी \(\binom{5}{3}=10\) और केवल हिंदी \(\binom{7}{3}=35\) हटाने पर (175) तरीके मिलते हैं। / Total ways are \(\binom{12}{3}=220\). Removing only English \(\binom{5}{3}=10\) and only Hindi \(\binom{7}{3}=35\) gives (175) ways.
मामले (2), (3) और (4) गणित पुस्तकों के हैं। कुल \(\binom{7}{2}\binom{6}{2}+\binom{7}{3}\binom{6}{1}+\binom{7}{4}=560\) है। / The cases are (2), (3), and (4) mathematics books. The total is \(\binom{7}{2}\binom{6}{2}+\binom{7}{3}\binom{6}{1}+\binom{7}{4}=560\).
कुल \(\binom{8}{3}=56\) हैं और दोनों विशेष साथ हों तो तीसरा व्यक्ति (6) तरीकों से चुनेगा। इसलिए (56-6=50) नहीं बल्कि सही उत्तर (50) है। / Total ways are \(\binom{8}{3}=56\) and if both special persons are together the third person is chosen in (6) ways. Hence the valid count is (50).
टीमों की जोड़ियां \(\binom{9}{2}=36\) हैं। हर जोड़ी के (2) मैच होने से कुल (72) मैच होंगे। / The pairs of teams are \(\binom{9}{2}=36\). With (2) matches for each pair the total is (72).
कुल \(\binom{12}{3}=220\) त्रिक हैं और (4) समरेखीय बिंदुओं से \(\binom{4}{3}=4\) त्रिभुज नहीं बनते। इसलिए (220-4=216) है। / Total triples are \(\binom{12}{3}=220\) and \(\binom{4}{3}=4\) triples from collinear points do not form triangles. Hence (220-4=216).
कुल \(\binom{15}{2}=105\) जोड़ियां हैं लेकिन (5) समरेखीय बिंदु \(\binom{5}{2}\) के स्थान पर (1) रेखा देते हैं। इसलिए (105-10+1=96) है। / Total pairs are \(\binom{15}{2}=105\) but (5) collinear points give (1) line instead of \(\binom{5}{2}\). Hence (105-10+1=96).
दो विशेष खिलाड़ी पहले से चुने गए हैं। बाकी (3) खिलाड़ी (8) में से \(\binom{8}{3}=56\) तरीकों से चुने जाएंगे। / The two special players are already selected. The remaining (3) players are chosen from (8) in \(\binom{8}{3}=56\) ways.
कुल \(\binom{11}{4}=330\) हैं और दोनों विशेष साथ हों तो \(\binom{9}{2}=36\) तरीके हैं। इसलिए (330-36=294) नहीं बल्कि सही गणना (294) है। / Total ways are \(\binom{11}{4}=330\) and ways with both special books are \(\binom{9}{2}=36\). Hence the correct count is (294).
कुल चयन \(\binom{9}{5}=126\) हैं और पहले (2) में से कोई न हो तो \(\binom{7}{5}=21\) हैं। इसलिए (126-21=105) नहीं बल्कि सही शर्त के अनुसार (105) है। / Total selections are \(\binom{9}{5}=126\) and selections with none of the first (2) are \(\binom{7}{5}=21\). Thus the valid selections are (105).
मामले (2), (3) और (4) लाल गेंदों के हैं। कुल \(\binom{6}{2}\binom{5}{2}+\binom{6}{3}\binom{5}{1}+\binom{6}{4}=275\) है। / The cases are (2), (3), and (4) red balls. The total is \(\binom{6}{2}\binom{5}{2}+\binom{6}{3}\binom{5}{1}+\binom{6}{4}=275\).
कुल चयन \(\binom{12}{4}=495\) हैं और केवल पुरुष \(\binom{7}{4}=35\) हैं। इसलिए (495-35=460) तरीके हैं। / Total selections are \(\binom{12}{4}=495\) and all-men selections are \(\binom{7}{4}=35\). Hence (495-35=460).
ठीक (2) लड़कियां और (3) लड़के चाहिए। तरीके \(\binom{6}{2}\binom{8}{3}=840\) हैं। / Exactly (2) girls and (3) boys are needed. The ways are \(\binom{6}{2}\binom{8}{3}=840\).
विशेष विद्यार्थी को हटाने पर (9) विद्यार्थी बचते हैं। इसलिए \(\binom{9}{4}=126\) तरीके होंगे। / After excluding the special student (9) students remain. So the number of ways is \(\binom{9}{4}=126\).
(2) सदस्य तय हैं इसलिए बाकी (3) सदस्य (10) में से चुने जाएंगे। अतः \(\binom{10}{3}=120\) होगा। / The (2) members are fixed so the remaining (3) are chosen from (10). Hence \(\binom{10}{3}=120\).
कुल \(\binom{10}{3}=120\) हैं और दोनों खास फोटो साथ हों तो \(\binom{8}{1}=8\) तरीके हैं। इसलिए (120-8=112) तरीके हैं। / Total ways are \(\binom{10}{3}=120\), and ways with both particular photos are \(\binom{8}{1}=8\). Thus (120-8=112) ways.
एक खास चाबी हटाने पर (7) चाबियां बचती हैं। इसलिए \(\binom{7}{2}=21\) तरीके हैं। / After removing one particular key, (7) keys remain. Hence there are \(\binom{7}{2}=21\) ways.
कोई गणित पुस्तक नहीं का अर्थ (3) अंग्रेजी पुस्तकें चुनना है। तरीके \(\binom{6}{3}=20\) हैं। / No mathematics book means choosing (3) English books. The ways are \(\binom{6}{3}=20\).
सभी काली गेंदें चाहिए इसलिए \(\binom{7}{4}=35\) तरीके हैं। बाकी सफेद गेंदों का प्रयोग नहीं होगा। / All balls must be black, so there are \(\binom{7}{4}=35\) ways. The white balls are not used.
एक खास पुरस्कार हटाने पर (8) पुरस्कार बचते हैं। इसलिए \(\binom{8}{3}=56\) तरीके हैं। / After removing one particular prize, (8) prizes remain. Hence there are \(\binom{8}{3}=56\) ways.
खास पोस्टर पहले से चुना है। दूसरा पोस्टर शेष (6) में से \(\binom{6}{1}=6\) तरीकों से चुनेगा। / The particular poster is already selected. The second poster is chosen from the remaining (6) in \(\binom{6}{1}=6\) ways.
(3) प्रश्न हटाने पर (12) प्रश्न बचते हैं। इसलिए \(\binom{12}{5}=792\) तरीके हैं। / After removing (3) questions, (12) questions remain. Therefore there are \(\binom{12}{5}=792\) ways.
