Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
ठीक (3) लड़के और (2) लड़कियां चाहिए। तरीके \(\binom{7}{3}\binom{5}{2}=350\) हैं। / Exactly (3) boys and (2) girls are needed. The ways are \(\binom{7}{3}\binom{5}{2}=350\).
(2) विशेष विद्यार्थियों को हटाने पर (11) विद्यार्थी बचते हैं। इसलिए \(\binom{11}{4}=330\) तरीके होंगे। / After excluding (2) special students (11) students remain. So the number of ways is \(\binom{11}{4}=330\).
(2) सदस्य तय हैं इसलिए बाकी (3) सदस्य (12) में से चुने जाएंगे। अतः \(\binom{12}{3}=220\) होगा। / The (2) members are fixed so the remaining (3) are chosen from (12). Hence \(\binom{12}{3}=220\).
विशेष वस्तुओं में से (0) या (1) चुनी जा सकती है। कुल \(\binom{3}{0}\binom{9}{4}+\binom{3}{1}\binom{9}{3}=378\) है। / Either (0) or (1) special object can be chosen. The total is \(\binom{3}{0}\binom{9}{4}+\binom{3}{1}\binom{9}{3}=378\).
कप्तान को हटाने पर (7) खिलाड़ी बचते हैं। इसलिए \(\binom{7}{3}=35\) तरीके हैं। / After removing the captain (7) players remain. Hence there are \(\binom{7}{3}=35\) ways.
विषम चयन की संख्या \(2^{7-1}=64\) होती है। परीक्षा में सम और विषम चयन बराबर होते हैं। / The number of odd selections is \(2^{7-1}=64\). In exams even and odd selections are equal.
सम संख्या का चयन (0), (2), (4), (6) सिक्कों का होगा। कुल \(\binom{6}{0}+\binom{6}{2}+\binom{6}{4}+\binom{6}{6}=32\) है। / An even selection means (0), (2), (4), or (6) coins. The total is \(\binom{6}{0}+\binom{6}{2}+\binom{6}{4}+\binom{6}{6}=32\).
दो निश्चित कार्डों में से (1) चुनें और बाकी (3) कार्ड (8) में से चुनें। तरीके \(\binom{2}{1}\binom{8}{3}=112\) हैं। / Choose (1) of the two fixed cards and (3) cards from the remaining (8). The ways are \(\binom{2}{1}\binom{8}{3}=112\).
वरिष्ठों की संख्या (0) या (1) हो सकती है। कुल \(\binom{5}{0}\binom{7}{4}+\binom{5}{1}\binom{7}{3}=210\) है। / The number of seniors can be (0) or (1). The total is \(\binom{5}{0}\binom{7}{4}+\binom{5}{1}\binom{7}{3}=210\).
मामले अंतिम (3) में से (2) या (3) चुनने के हैं। कुल \(\binom{3}{2}\binom{5}{3}+\binom{3}{3}\binom{5}{2}=40\) है। / The cases are choosing (2) or (3) from the last (3). The total is \(\binom{3}{2}\binom{5}{3}+\binom{3}{3}\binom{5}{2}=40\).
दोनों शामिल हों तो \(\binom{7}{2}=21\) और दोनों बाहर हों तो \(\binom{7}{4}=35\) तरीके हैं। कुल (21+35=56) है। / If both are included there are \(\binom{7}{2}=21\) ways and if both are excluded there are \(\binom{7}{4}=35\) ways. The total is (56).
(2) खराब कुर्सियां हटाने पर (5) अच्छी कुर्सियां बचती हैं। (4) चुनने के तरीके \(\binom{5}{4}=5\) हैं। / After removing (2) broken chairs (5) good chairs remain. The ways to choose (4) are \(\binom{5}{4}=5\).
असफल त्रिभुज के लिए (5) समरेखीय बिंदुओं में से (3) चुने जाते हैं। इसलिए संख्या \(\binom{5}{3}\) है। / For a failed triangle (3) points are chosen from the (5) collinear points. So the number is \(\binom{5}{3}\).
(2) संख्याएं तय हैं और (1) हट गई है। बाकी (2) संख्याएं (8) में से \(\binom{8}{2}=28\) तरीकों से चुनी जाएंगी। / The (2) numbers are fixed and (1) is excluded. The remaining (2) numbers are chosen from (8) in \(\binom{8}{2}=28\) ways.
कुल \(\binom{6}{3}=20\) हैं और दोनों विशेष विषय साथ हों तो तीसरा विषय (4) तरीकों से चुनेगा। इसलिए (20-4=16) है। / Total ways are \(\binom{6}{3}=20\) and if both special subjects are included the third subject is chosen in (4) ways. Hence (20-4=16).
(a) तय है और (b) हट गया है इसलिए बाकी (2) अक्षर (5) में से चुनेंगे। तरीके \(\binom{5}{2}=10\) हैं। / The letter (a) is fixed and (b) is excluded so choose the remaining (2) letters from (5). The ways are \(\binom{5}{2}=10\).
हर रंग से (1) गेंद चुनी जाएगी। तरीके \(\binom{4}{1}\binom{5}{1}\binom{6}{1}=120\) हैं। / One ball is chosen from each color. The ways are \(\binom{4}{1}\binom{5}{1}\binom{6}{1}=120\).
विशेष फलों में से (1) और बाकी (6) में से (3) चुनेंगे। तरीके \(\binom{3}{1}\binom{6}{3}=60\) हैं। / Choose (1) from the special fruits and (3) from the remaining (6). The ways are \(\binom{3}{1}\binom{6}{3}=60\).
कुल \(\binom{8}{4}=70\) हैं और दोनों विशेष न जाएं तो \(\binom{6}{4}=15\) हैं। इसलिए (70-15=55) है। / Total ways are \(\binom{8}{4}=70\) and if both special friends do not go then \(\binom{6}{4}=15\). Hence (70-15=55).
पुरस्कार समान हैं इसलिए केवल चयन होगा। तरीकों की संख्या \(\binom{10}{3}=120\) है। / The prizes are identical so only selection is needed. The number of ways is \(\binom{10}{3}=120\).
कुल \(\binom{11}{4}=330\) हैं। सभी सफेद \(\binom{5}{4}=5\) और सभी काली \(\binom{6}{4}=15\) हटाने पर (310) मिलते हैं। / Total ways are \(\binom{11}{4}=330\). Removing all-white \(\binom{5}{4}=5\) and all-black \(\binom{6}{4}=15\) gives (310).
कुल \(\binom{14}{5}=2002\) हैं। (0) शिक्षक \(\binom{8}{5}=56\) और (1) शिक्षक \(\binom{6}{1}\binom{8}{4}=420\) हटाएं। उत्तर (1526) है। / Total ways are \(\binom{14}{5}=2002\). Remove (0) teacher \(\binom{8}{5}=56\) and (1) teacher \(\binom{6}{1}\binom{8}{4}=420\). The answer is (1526).
(3) विशेष विद्यार्थियों को हटाने पर (10) विद्यार्थी बचते हैं। इसलिए \(\binom{10}{5}=252\) तरीके हैं। / After removing (3) special students (10) students remain. Hence there are \(\binom{10}{5}=252\) ways.
विषम संख्याएं (8) और सम संख्याएं (7) हैं। तरीके \(\binom{8}{2}\binom{7}{1}=196\) हैं। / There are (8) odd numbers and (7) even numbers. The ways are \(\binom{8}{2}\binom{7}{1}=196\).
(1) से (12) तक (6) सम संख्याएं हैं। इसलिए \(\binom{6}{3}=20\) तरीके हैं। / There are (6) even numbers from (1) to (12). Hence there are \(\binom{6}{3}=20\) ways.
कुल \(\binom{8}{4}=70\) हैं और (2), (3) दोनों हों तो \(\binom{6}{2}=15\) हैं। इसलिए (70-15=55) है। / Total subsets are \(\binom{8}{4}=70\) and those containing both (2), (3) are \(\binom{6}{2}=15\). Hence (70-15=55).
(1) पहले से चुना है इसलिए बाकी (2) तत्व (6) में से चुने जाएंगे। तरीकों की संख्या \(\binom{6}{2}=15\) है। / The element (1) is already chosen so the remaining (2) elements are chosen from (6). The number of ways is \(\binom{6}{2}=15\).
पास्कल पहचान से \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\) होता है। इसलिए उत्तर \(\binom{9}{4}\) है। / By Pascal's identity \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\). Hence the answer is \(\binom{9}{4}\).
