Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
कुल \(\binom{13}{5}=1287\) हैं। सभी सफेद \(\binom{6}{5}=6\) और सभी काली \(\binom{7}{5}=21\) हटाने पर (1260) मिलते हैं। / Total ways are \(\binom{13}{5}=1287\). Removing all-white \(\binom{6}{5}=6\) and all-black \(\binom{7}{5}=21\) gives (1260).
कुल \(\binom{16}{5}=4368\) हैं। (0) शिक्षक और (1) शिक्षक के मामले हटाने पर \(4368-\binom{9}{5}-\binom{7}{1}\binom{9}{4}=3213\) है। / Total ways are \(\binom{16}{5}=4368\). Removing the cases of (0) teacher and (1) teacher gives \(4368-\binom{9}{5}-\binom{7}{1}\binom{9}{4}=3213\).
(4) विशेष विद्यार्थियों को हटाने पर (11) विद्यार्थी बचते हैं। इसलिए \(\binom{11}{6}=462\) तरीके हैं। / After removing (4) special students (11) students remain. Hence there are \(\binom{11}{6}=462\) ways.
विषम संख्याएं (10) और सम संख्याएं (10) हैं। तरीके \(\binom{10}{2}\binom{10}{2}=2025\) हैं। / There are (10) odd numbers and (10) even numbers. The ways are \(\binom{10}{2}\binom{10}{2}=2025\).
(1) से (18) तक (9) सम संख्याएं हैं। इसलिए \(\binom{9}{4}=126\) तरीके हैं। / There are (9) even numbers from (1) to (18). Hence there are \(\binom{9}{4}=126\) ways.
कुल \(\binom{9}{5}=126\) हैं और (2), (3) दोनों हों तो \(\binom{7}{3}=35\) हैं। इसलिए (126-35=91) है। / Total subsets are \(\binom{9}{5}=126\) and those containing both (2), (3) are \(\binom{7}{3}=35\). Hence (126-35=91).
(1) पहले से चुना है इसलिए बाकी (3) तत्व (8) में से चुने जाएंगे। तरीकों की संख्या \(\binom{8}{3}=56\) है। / The element (1) is already chosen so the remaining (3) elements are chosen from (8). The number of ways is \(\binom{8}{3}=56\).
पास्कल पहचान से \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\) होता है। इसलिए उत्तर \(\binom{10}{5}\) है। / By Pascal's identity \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\). Hence the answer is \(\binom{10}{5}\).
कुल \(\binom{13}{5}=1287\) हैं। केवल पेन \(\binom{7}{5}=21\) और केवल पेंसिल \(\binom{6}{5}=6\) हटाने पर (1260) है। / Total ways are \(\binom{13}{5}=1287\). Removing only pens \(\binom{7}{5}=21\) and only pencils \(\binom{6}{5}=6\) gives (1260).
ठीक (2) पुरुष और (3) महिलाएं चाहिए। तरीके \(\binom{8}{2}\binom{7}{3}=980\) हैं। / Exactly (2) men and (3) women are needed. The ways are \(\binom{8}{2}\binom{7}{3}=980\).
कुल \(\binom{13}{6}=1716\) हैं और कोई विशेष न हो तो \(\binom{8}{6}=28\) हैं। इसलिए (1716-28=1688) तरीके हैं। / Total ways are \(\binom{13}{6}=1716\) and ways with no special student are \(\binom{8}{6}=28\). Hence (1716-28=1688) ways.
(4) विशेष में से (2) और बाकी (6) में से (3) चुनेंगे। तरीके \(\binom{4}{2}\binom{6}{3}=120\) हैं। / Choose (2) from (4) special students and (3) from the remaining (6). The ways are \(\binom{4}{2}\binom{6}{3}=120\).
एक रंग तय है और एक हट गया है इसलिए बाकी (3) रंग (7) में से चुनेंगे। तरीके \(\binom{7}{3}=35\) हैं। / One color is fixed and one is removed so choose the remaining (3) colors from (7). The ways are \(\binom{7}{3}=35\).
चयन (2) या (3) उपहारों का होगा। कुल \(\binom{11}{2}+\binom{11}{3}=220\) है। / The selection can be of (2) or (3) gifts. The total is \(\binom{11}{2}+\binom{11}{3}=220\).
मामले (3), (4) और (5) डॉक्टरों के हैं। कुल \(\binom{7}{3}\binom{5}{2}+\binom{7}{4}\binom{5}{1}+\binom{7}{5}=546\) है। / The cases are (3), (4), and (5) doctors. The total is \(\binom{7}{3}\binom{5}{2}+\binom{7}{4}\binom{5}{1}+\binom{7}{5}=546\).
कुल \(\binom{14}{4}=1001\) हैं। केवल अंग्रेजी \(\binom{6}{4}=15\) और केवल हिंदी \(\binom{8}{4}=70\) हटाने पर (916) तरीके मिलते हैं। / Total ways are \(\binom{14}{4}=1001\). Removing only English \(\binom{6}{4}=15\) and only Hindi \(\binom{8}{4}=70\) gives (916) ways.
मामले (2), (3) और (4) रसायन पुस्तकों के हैं। कुल \(\binom{8}{2}\binom{5}{2}+\binom{8}{3}\binom{5}{1}+\binom{8}{4}=630\) नहीं बल्कि सही जोड़ (280+280+70=630) है। / The cases are (2), (3), and (4) chemistry books. The correct sum is \(\binom{8}{2}\binom{5}{2}+\binom{8}{3}\binom{5}{1}+\binom{8}{4}=630\).
कुल \(\binom{9}{4}=126\) हैं और दोनों विशेष साथ हों तो \(\binom{7}{2}=21\) हैं। इसलिए (126-21=105) तरीके हैं। / Total ways are \(\binom{9}{4}=126\) and ways with both special persons are \(\binom{7}{2}=21\). Hence (126-21=105).
टीमों की जोड़ियां \(\binom{12}{2}=66\) हैं। हर जोड़ी के (2) मैच होने से कुल (132) मैच होंगे। / The pairs of teams are \(\binom{12}{2}=66\). With (2) matches for each pair the total is (132).
कुल \(\binom{13}{3}=286\) त्रिक हैं और \(\binom{5}{3}=10\) समरेखीय त्रिक त्रिभुज नहीं बनाते। इसलिए (286-10=276) है। / Total triples are \(\binom{13}{3}=286\) and \(\binom{5}{3}=10\) collinear triples do not form triangles. Hence (286-10=276).
कुल \(\binom{16}{2}=120\) जोड़ियां हैं और (6) समरेखीय बिंदु \(\binom{6}{2}\) के स्थान पर (1) रेखा देते हैं। इसलिए (120-15+1=106) है। / Total pairs are \(\binom{16}{2}=120\) and (6) collinear points give (1) line instead of \(\binom{6}{2}\). Hence (120-15+1=106).
(3) विशेष में से (2) और बाकी (8) में से (3) चुनेंगे। तरीके \(\binom{3}{2}\binom{8}{3}=168\) हैं। / Choose (2) from (3) special players and (3) from the remaining (8). The ways are \(\binom{3}{2}\binom{8}{3}=168\).
कुल \(\binom{12}{4}=495\) हैं और दोनों विशेष साथ हों तो \(\binom{10}{2}=45\) हैं। इसलिए (495-45=450) तरीके हैं। / Total ways are \(\binom{12}{4}=495\) and ways with both special books are \(\binom{10}{2}=45\). Hence (495-45=450).
मामले पहले (3) में से (2) या (3) चुनने के हैं। कुल \(\binom{3}{2}\binom{7}{4}+\binom{3}{3}\binom{7}{3}=147\) है। / The cases are choosing (2) or (3) from the first (3). The total is \(\binom{3}{2}\binom{7}{4}+\binom{3}{3}\binom{7}{3}=147\).
ठीक (2) लाल और (3) नीली गेंदें चाहिए। तरीके \(\binom{6}{2}\binom{7}{3}=525\) हैं। / Exactly (2) red and (3) blue balls are needed. The ways are \(\binom{6}{2}\binom{7}{3}=525\).
मामले (2), (3) और (4) महिलाओं के हैं। कुल \(\binom{6}{2}\binom{8}{2}+\binom{6}{3}\binom{8}{1}+\binom{6}{4}=595\) नहीं बल्कि सही जोड़ (420+160+15=595) है। / The cases are (2), (3), and (4) women. The correct sum is \(\binom{6}{2}\binom{8}{2}+\binom{6}{3}\binom{8}{1}+\binom{6}{4}=595\).
