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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Expert Level 18

विरोधाभास विधि से \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय, यदि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) हो और \(p,q\) सह-अभाज्य हों, तो \(p^2=2q^2\) से कौन-सा निष्कर्ष अनिवार्य रूप से निकलता है?

While proving the irrationality of \(\sqrt{2}\) by contradiction, if \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) where \(p\) and \(q\) are coprime, which conclusion necessarily follows from \(p^2=2q^2\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

A. \(p\) सम है\(p\) is even

Explanation

Simple Explanation

\(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है। किसी पूर्णांक का वर्ग सम होने पर वह पूर्णांक भी सम होता है, इसलिए \(p\) सम है। फिर \(q\) भी सम निकलता है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: वर्ग की समता याद रखें। / Since \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even. The square of an integer is even only when the integer itself is even, so \(p\) is even. Substitution then makes \(q\) even too, contradicting coprimality. Exam tip: use parity of squares carefully.

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विरोधाभास विधि से \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय, यदि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) हो और \(p,q\) सह-अभाज्य हों, तो \(p^2=2q^2\) से कौन-सा निष्कर्ष अनिवार्य रूप से निकलता है? / While proving the irrationality of \(\sqrt{2}\) by contradiction, if \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) where \(p\) and \(q\) are coprime, which conclusion necessarily follows from \(p^2=2q^2\)?

Correct Answer: A. \(p\) सम है / \(p\) is even. Explanation: \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है। किसी पूर्णांक का वर्ग सम होने पर वह पूर्णांक भी सम होता है, इसलिए \(p\) सम है। फिर \(q\) भी सम निकलता है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: वर्ग की समता याद रखें। / Since \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even. The square of an integer is even only when the integer itself is even, so \(p\) is even. Substitution then makes \(q\) even too, contradicting coprimality. Exam tip: use parity of squares carefully.