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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Expert Level 18

एक विद्यार्थी दावा करता है कि \(\sqrt{3}\) परिमेय है और उसे सबसे सरल रूप \(\frac{p}{q}\) में लिखता है, जहाँ \(p,q\) सह-अभाज्य हैं। यदि \(p^2=3q^2\), तो इस दावे में त्रुटि क्या है?

A student claims that \(\sqrt{3}\) is rational and writes it as \(\frac{p}{q}\) in lowest terms, where \(p,q\) are coprime. If \(p^2=3q^2\), what is the error in this claim?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

B. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हो जाते हैं, जो उनके सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है।Both \(p\) and \(q\) become divisible by 3, contradicting that they are coprime.

Explanation

Simple Explanation

\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) 3 से विभाज्य है, इसलिए \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा। \(p=3k\) रखने पर \(9k^2=3q^2\), अतः \(q^2=3k^2\) और \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सबसे सरल रूप की शर्त के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: वर्ग के किसी अभाज्य से विभाज्य होने पर संख्या भी उसी अभाज्य से विभाज्य होती है। / Since \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by 3, so \(p\) is divisible by 3. Put \(p=3k\): \(9k^2=3q^2\), hence \(q^2=3k^2\), so \(q\) is also divisible by 3. This contradicts coprimality. Exam tip: if a prime divides a square, it divides the number.

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एक विद्यार्थी दावा करता है कि \(\sqrt{3}\) परिमेय है और उसे सबसे सरल रूप \(\frac{p}{q}\) में लिखता है, जहाँ \(p,q\) सह-अभाज्य हैं। यदि \(p^2=3q^2\), तो इस दावे में त्रुटि क्या है? / A student claims that \(\sqrt{3}\) is rational and writes it as \(\frac{p}{q}\) in lowest terms, where \(p,q\) are coprime. If \(p^2=3q^2\), what is the error in this claim?

Correct Answer: B. \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हो जाते हैं, जो उनके सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। / Both \(p\) and \(q\) become divisible by 3, contradicting that they are coprime.. Explanation: \(p^2=3q^2\) से \(p^2\) 3 से विभाज्य है, इसलिए \(p\) भी 3 से विभाज्य होगा। \(p=3k\) रखने पर \(9k^2=3q^2\), अतः \(q^2=3k^2\) और \(q\) भी 3 से विभाज्य है। यह सबसे सरल रूप की शर्त के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: वर्ग के किसी अभाज्य से विभाज्य होने पर संख्या भी उसी अभाज्य से विभाज्य होती है। / Since \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by 3, so \(p\) is divisible by 3. Put \(p=3k\): \(9k^2=3q^2\), hence \(q^2=3k^2\), so \(q\) is also divisible by 3. This contradicts coprimality. Exam tip: if a prime divides a square, it divides the number.