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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Expert Level 18

एक विद्यार्थी ने मान लिया कि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। समीकरण का वर्ग करने पर \(p^2=2q^2\) मिलता है। इससे सही निष्कर्ष कौन-सा है?

A student assumes that \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers. On squaring, \(p^2=2q^2\) is obtained. Which conclusion follows correctly?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

B. \(p\) और \(q\) दोनों सम हैं, जो उनके सह-अभाज्य होने के विरुद्ध हैBoth \(p\) and \(q\) are even, contradicting their being coprime

Explanation

Simple Explanation

\(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है, इसलिए \(p\) सम होगा। मानें \(p=2r\); तब \(4r^2=2q^2\), अतः \(q^2=2r^2\) और \(q\) भी सम है। यह सह-अभाज्य मान्यता का विरोध है। परीक्षा टिप: सम वर्ग का मूल भी सम होता है। / Since \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even, so \(p\) is even. Put \(p=2r\): \(4r^2=2q^2\), hence \(q^2=2r^2\), making \(q\) even too. This contradicts coprimality. Exam tip: if a square is even, its integer root is even.

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एक विद्यार्थी ने मान लिया कि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। समीकरण का वर्ग करने पर \(p^2=2q^2\) मिलता है। इससे सही निष्कर्ष कौन-सा है? / A student assumes that \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are coprime integers. On squaring, \(p^2=2q^2\) is obtained. Which conclusion follows correctly?

Correct Answer: B. \(p\) और \(q\) दोनों सम हैं, जो उनके सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है / Both \(p\) and \(q\) are even, contradicting their being coprime. Explanation: \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है, इसलिए \(p\) सम होगा। मानें \(p=2r\); तब \(4r^2=2q^2\), अतः \(q^2=2r^2\) और \(q\) भी सम है। यह सह-अभाज्य मान्यता का विरोध है। परीक्षा टिप: सम वर्ग का मूल भी सम होता है। / Since \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even, so \(p\) is even. Put \(p=2r\): \(4r^2=2q^2\), hence \(q^2=2r^2\), making \(q\) even too. This contradicts coprimality. Exam tip: if a square is even, its integer root is even.