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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Expert Level 18

\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के विरोधाभास-प्रमाण में \(\sqrt{3}=p/q\) मानकर \(p\) और \(q\) को सह-अभाज्य लिया जाता है। अंत में \(p\) और \(q\) दोनों के 3 से विभाज्य निकलने पर कौन-सा निष्कर्ष सही है?

In the contradiction proof of the irrationality of \(\sqrt{3}\), we assume \(\sqrt{3}=p/q\), where \(p\) and \(q\) are coprime. If both \(p\) and \(q\) are finally found to be divisible by 3, which conclusion is correct?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

A. यह मान्यता कि \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं, असत्य सिद्ध होती हैThe assumption that \(p\) and \(q\) are coprime is disproved

Explanation

Simple Explanation

यदि \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं, तो उनका एक सामान्य गुणनखंड 3 है। यह उनके सह-अभाज्य होने की प्रारम्भिक शर्त के विरुद्ध है, इसलिए \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं है। परीक्षा टिप: विरोधाभास हमेशा ‘न्यूनतम रूप’ वाली मान्यता पर दिखाइए। / If both \(p\) and \(q\) are divisible by 3, they have the common factor 3. This contradicts the initial condition that they are coprime, so \(\sqrt{3}\) cannot be rational. Exam tip: state clearly that the fraction was assumed to be in lowest terms.

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\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के विरोधाभास-प्रमाण में \(\sqrt{3}=p/q\) मानकर \(p\) और \(q\) को सह-अभाज्य लिया जाता है। अंत में \(p\) और \(q\) दोनों के 3 से विभाज्य निकलने पर कौन-सा निष्कर्ष सही है? / In the contradiction proof of the irrationality of \(\sqrt{3}\), we assume \(\sqrt{3}=p/q\), where \(p\) and \(q\) are coprime. If both \(p\) and \(q\) are finally found to be divisible by 3, which conclusion is correct?

Correct Answer: A. यह मान्यता कि \(p\) और \(q\) सह-अभाज्य हैं, असत्य सिद्ध होती है / The assumption that \(p\) and \(q\) are coprime is disproved. Explanation: यदि \(p\) और \(q\) दोनों 3 से विभाज्य हैं, तो उनका एक सामान्य गुणनखंड 3 है। यह उनके सह-अभाज्य होने की प्रारम्भिक शर्त के विरुद्ध है, इसलिए \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं है। परीक्षा टिप: विरोधाभास हमेशा ‘न्यूनतम रूप’ वाली मान्यता पर दिखाइए। / If both \(p\) and \(q\) are divisible by 3, they have the common factor 3. This contradicts the initial condition that they are coprime, so \(\sqrt{3}\) cannot be rational. Exam tip: state clearly that the fraction was assumed to be in lowest terms.