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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Expert Level 18

यदि ext{\(\sqrt{3}\)} को ext{\(\frac{p}{q}\)} के रूप में, जहाँ ext{\(p\)} और ext{\(q\)} सह-अभाज्य हैं, मानकर विरोधाभास विधि से प्रमाण किया जाए, तो विरोधाभास उत्पन्न करने वाला निष्कर्ष कौन-सा है?

If ext{\(\sqrt{3}\)} is assumed to be ext{\(\frac{p}{q}\)}, where ext{\(p\)} and ext{\(q\)} are coprime, which conclusion produces the contradiction in a proof by contradiction?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

A. p और q दोनों 3 से विभाज्य हैंBoth p and q are divisible by 3

Explanation

Simple Explanation

\(p^2=3q^2\) से 3, \(p\) को विभाजित करता है। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\), इसलिए 3, \(q\) को भी विभाजित करता है। यह सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा में अभाज्य गुणनखंड नियम याद रखें। / From \(p^2=3q^2\), 3 divides \(p\). Put \(p=3k\); then \(q^2=3k^2\), so 3 also divides \(q\). This contradicts their being coprime. Exam tip: use the prime-factor property carefully.

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यदि ext{\(\sqrt{3}\)} को ext{\(\frac{p}{q}\)} के रूप में, जहाँ ext{\(p\)} और ext{\(q\)} सह-अभाज्य हैं, मानकर विरोधाभास विधि से प्रमाण किया जाए, तो विरोधाभास उत्पन्न करने वाला निष्कर्ष कौन-सा है? / If ext{\(\sqrt{3}\)} is assumed to be ext{\(\frac{p}{q}\)}, where ext{\(p\)} and ext{\(q\)} are coprime, which conclusion produces the contradiction in a proof by contradiction?

Correct Answer: A. p और q दोनों 3 से विभाज्य हैं / Both p and q are divisible by 3. Explanation: \(p^2=3q^2\) से 3, \(p\) को विभाजित करता है। \(p=3k\) रखने पर \(q^2=3k^2\), इसलिए 3, \(q\) को भी विभाजित करता है। यह सह-अभाज्यता के विरुद्ध है। परीक्षा में अभाज्य गुणनखंड नियम याद रखें। / From \(p^2=3q^2\), 3 divides \(p\). Put \(p=3k\); then \(q^2=3k^2\), so 3 also divides \(q\). This contradicts their being coprime. Exam tip: use the prime-factor property carefully.