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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Expert Level 17

एक विद्यार्थी ने मान लिया कि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) पूर्णांक हैं तथा \(q\ne0\), और \(p^2=2q^2\) से निष्कर्ष निकाला कि \(p\) और \(q\) दोनों सम हैं। यदि उसने \(p\) और \(q\) को सह-अभाज्य नहीं माना था, तो यह निष्कर्ष अपने-आप विरोधाभास क्यों नहीं है?

A student assumes that \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are integers and \(q\ne0\), and concludes from \(p^2=2q^2\) that both \(p\) and \(q\) are even. If the student did not assume \(p\) and \(q\) to be coprime, why is this conclusion not automatically a contradiction?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

A. क्योंकि दो सम पूर्णांक सह-अभाज्य नहीं होते; विरोधाभास तभी मिलता है जब भिन्न को पहले न्यूनतम रूप में माना गया हो।Because two even integers are not coprime; a contradiction arises only when the fraction is assumed to be in lowest terms.

Explanation

Simple Explanation

\(p^2=2q^2\) से \(p\) सम होता है। \(p=2k\) रखने पर \(q^2=2k^2\), इसलिए \(q\) भी सम है। विरोधाभास केवल सह-अभाज्य \(p,q\) के साथ बनता है। परीक्षा टिप: भिन्न को पहले न्यूनतम रूप में लें। / From \(p^2=2q^2\), \(p\) is even. Put \(p=2k\); then \(q^2=2k^2\), so \(q\) is also even. This contradicts only a coprime pair. Exam tip: always begin with a fraction in lowest terms.

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एक विद्यार्थी ने मान लिया कि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ \(p\) और \(q\) पूर्णांक हैं तथा \(q\ne0\), और \(p^2=2q^2\) से निष्कर्ष निकाला कि \(p\) और \(q\) दोनों सम हैं। यदि उसने \(p\) और \(q\) को सह-अभाज्य नहीं माना था, तो यह निष्कर्ष अपने-आप विरोधाभास क्यों नहीं है? / A student assumes that \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where \(p\) and \(q\) are integers and \(q\ne0\), and concludes from \(p^2=2q^2\) that both \(p\) and \(q\) are even. If the student did not assume \(p\) and \(q\) to be coprime, why is this conclusion not automatically a contradiction?

Correct Answer: A. क्योंकि दो सम पूर्णांक सह-अभाज्य नहीं होते; विरोधाभास तभी मिलता है जब भिन्न को पहले न्यूनतम रूप में माना गया हो। / Because two even integers are not coprime; a contradiction arises only when the fraction is assumed to be in lowest terms.. Explanation: \(p^2=2q^2\) से \(p\) सम होता है। \(p=2k\) रखने पर \(q^2=2k^2\), इसलिए \(q\) भी सम है। विरोधाभास केवल सह-अभाज्य \(p,q\) के साथ बनता है। परीक्षा टिप: भिन्न को पहले न्यूनतम रूप में लें। / From \(p^2=2q^2\), \(p\) is even. Put \(p=2k\); then \(q^2=2k^2\), so \(q\) is also even. This contradicts only a coprime pair. Exam tip: always begin with a fraction in lowest terms.