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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Expert Level 65

एक विद्यार्थी कहता है कि \(1+\sqrt{2}\) परिमेय है क्योंकि 1 परिमेय संख्या है। उसके दावे का सही खंडन कौन-सा है?

A student claims that \(1+\sqrt{2}\) is rational because 1 is a rational number. Which argument correctly refutes the claim?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

A. यदि \(1+\sqrt{2}\) परिमेय होता, तो उसमें से 1 घटाने पर \(\sqrt{2}\) परिमेय होता, जो असंभव है।If \(1+\sqrt{2}\) were rational, subtracting 1 would make \(\sqrt{2}\) rational, which is impossible.

Explanation

Simple Explanation

मान लें \(1+\sqrt{2}\) परिमेय है। परिमेय संख्याओं के घटाव का परिणाम परिमेय होता है, इसलिए \((1+\sqrt{2})-1=\sqrt{2}\) परिमेय होना चाहिए। यह \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: परिमेय संख्या जोड़ने या घटाने से अपरिमेयता नहीं बदलती। / Assume \(1+\sqrt{2}\) is rational. Rational numbers are closed under subtraction, so \((1+\sqrt{2})-1=\sqrt{2}\) would be rational. This contradicts the known irrationality of \(\sqrt{2}\). Exam tip: adding or subtracting a rational number cannot make an irrational number rational.

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Correct Answer: A. यदि \(1+\sqrt{2}\) परिमेय होता, तो उसमें से 1 घटाने पर \(\sqrt{2}\) परिमेय होता, जो असंभव है। / If \(1+\sqrt{2}\) were rational, subtracting 1 would make \(\sqrt{2}\) rational, which is impossible.. Explanation: मान लें \(1+\sqrt{2}\) परिमेय है। परिमेय संख्याओं के घटाव का परिणाम परिमेय होता है, इसलिए \((1+\sqrt{2})-1=\sqrt{2}\) परिमेय होना चाहिए। यह \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के विरुद्ध है। परीक्षा टिप: परिमेय संख्या जोड़ने या घटाने से अपरिमेयता नहीं बदलती। / Assume \(1+\sqrt{2}\) is rational. Rational numbers are closed under subtraction, so \((1+\sqrt{2})-1=\sqrt{2}\) would be rational. This contradicts the known irrationality of \(\sqrt{2}\). Exam tip: adding or subtracting a rational number cannot make an irrational number rational.