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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Expert Level 16

1 इकाई भुजा वाले वर्ग के विकर्ण को एक विद्यार्थी परिमेय संख्या मानता है। इस दावे को खंडित करने के लिए निम्न में से कौन-सा तर्क सही है?

A student claims that the diagonal of a square of side 1 unit is a rational number. Which argument correctly disproves this claim?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

A. यदि विकर्ण \(mn हो और \(m,n\) सह-अभाज्य हों, तो \(m^2=2n^2\) से \(m\) तथा \(n\) दोनों सम सिद्ध होते हैं, जो असंभव है। / If the diagonal is \(m / n\) with \(m,n\) coprime, then \(m^2=2n^2\) shows that both \(m\) and \(n\) are even, which is impossible.

Explanation

Simple Explanation

विकर्ण की लंबाई \(\sqrt{2}\) है। \(\sqrt{2}=m/n\) को न्यूनतम रूप में मानने पर \(m^2=2n^2\) मिलता है। \(m=2k\) रखने पर \(n\) भी सम निकलता है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। विकल्प C गलत है, क्योंकि अनंत दशमलव आवर्ती भी हो सकता है। परीक्षा में न्यूनतम रूप की शर्त लिखें। / The diagonal is \(\sqrt{2}\). Assuming \(\sqrt{2}=m/n\) in lowest terms gives \(m^2=2n^2\). Put \(m=2k\); then \(n\) is also even, contradicting coprimality. Option C is wrong because an infinite decimal may repeat. Exam tip: state the lowest-terms assumption first.

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1 इकाई भुजा वाले वर्ग के विकर्ण को एक विद्यार्थी परिमेय संख्या मानता है। इस दावे को खंडित करने के लिए निम्न में से कौन-सा तर्क सही है? / A student claims that the diagonal of a square of side 1 unit is a rational number. Which argument correctly disproves this claim?

Correct Answer: A. यदि विकर्ण \(m / n\) हो और \(m,n\) सह-अभाज्य हों, तो \(m^2=2n^2\) से \(m\) तथा \(n\) दोनों सम सिद्ध होते हैं, जो असंभव है। / If the diagonal is \(m / n\) with \(m,n\) coprime, then \(m^2=2n^2\) shows that both \(m\) and \(n\) are even, which is impossible.. Explanation: विकर्ण की लंबाई \(\sqrt{2}\) है। \(\sqrt{2}=m/n\) को न्यूनतम रूप में मानने पर \(m^2=2n^2\) मिलता है। \(m=2k\) रखने पर \(n\) भी सम निकलता है, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। विकल्प C गलत है, क्योंकि अनंत दशमलव आवर्ती भी हो सकता है। परीक्षा में न्यूनतम रूप की शर्त लिखें। / The diagonal is \(\sqrt{2}\). Assuming \(\sqrt{2}=m/n\) in lowest terms gives \(m^2=2n^2\). Put \(m=2k\); then \(n\) is also even, contradicting coprimality. Option C is wrong because an infinite decimal may repeat. Exam tip: state the lowest-terms assumption first.