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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Expert Level 16

एक विद्यार्थी मानता है कि \(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\), जहाँ \(m\) और \(n\) सह-अभाज्य हैं। प्रमाण के दौरान यदि \(m\) और \(n\) दोनों 3 से विभाज्य सिद्ध हो जाएँ, तो विद्यार्थी के कथन में कौन-सी त्रुटि है?

A student assumes that \(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\), where \(m\) and \(n\) are coprime. During the proof, if both \(m\) and \(n\) are shown to be divisible by 3, what is the error in the student's assumption?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

A. दोनों संख्याओं का 3 से विभाज्य होना उनके सह-अभाज्य होने के विरुद्ध हैBoth numbers being divisible by 3 contradicts their being coprime.

Explanation

Simple Explanation

सह-अभाज्य \(m,n\) का कोई सामान्य अभाज्य गुणनखंड नहीं होता। दोनों 3 से विभाज्य हों तो \(\gcd(m,n)\ge3\), अतः \(\frac{m}{n}\) सरलतम रूप में नहीं है। परीक्षा में सामान्य गुणनखंड जाँचें। / Coprime \(m,n\) have no common prime factor. If both are divisible by 3, then \(\gcd(m,n)\ge3\), so \(\frac{m}{n}\) was not in lowest terms. Exam tip: check the claimed common factor.

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एक विद्यार्थी मानता है कि \(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\), जहाँ \(m\) और \(n\) सह-अभाज्य हैं। प्रमाण के दौरान यदि \(m\) और \(n\) दोनों 3 से विभाज्य सिद्ध हो जाएँ, तो विद्यार्थी के कथन में कौन-सी त्रुटि है? / A student assumes that \(\sqrt{3}=\frac{m}{n}\), where \(m\) and \(n\) are coprime. During the proof, if both \(m\) and \(n\) are shown to be divisible by 3, what is the error in the student's assumption?

Correct Answer: A. दोनों संख्याओं का 3 से विभाज्य होना उनके सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है / Both numbers being divisible by 3 contradicts their being coprime.. Explanation: सह-अभाज्य \(m,n\) का कोई सामान्य अभाज्य गुणनखंड नहीं होता। दोनों 3 से विभाज्य हों तो \(\gcd(m,n)\ge3\), अतः \(\frac{m}{n}\) सरलतम रूप में नहीं है। परीक्षा में सामान्य गुणनखंड जाँचें। / Coprime \(m,n\) have no common prime factor. If both are divisible by 3, then \(\gcd(m,n)\ge3\), so \(\frac{m}{n}\) was not in lowest terms. Exam tip: check the claimed common factor.