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Subjects
Class 9 Mathematics Number Systems Proof of irrationality of square root 2 and square root 3 Hard Level 18

यदि (m,n) सहभाज्य हैं और दोनों सम सिद्ध हो गए, तो (\gcd(m,n)) को लेकर कौन-सा विरोधाभास सही है?

If (m,n) are coprime and both are proved even, what is the correct contradiction about (\gcd(m,n))?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

A. \(\gcd(m,n)=1\) और \(\gcd(m,n)\ge 2\) दोनों एक साथ सत्य नहीं हो सकते\(\gcd(m,n)=1\) and \(\gcd(m,n)\ge 2\) cannot both be true

Explanation

Simple Explanation

सहभाज्य संख्याओं के लिए \(\gcd(m,n)=1\) होता है। लेकिन यदि \(m\) और \(n\) दोनों सम हैं, तो 2 दोनों का उभयनिष्ठ भाजक है, इसलिए \(\gcd(m,n)\ge 2\) होगा। एक ही समय में महत्तम समापवर्तक 1 और कम-से-कम 2 नहीं हो सकता; यही विरोधाभास है और इससे प्रारम्भिक मान्यता गलत सिद्ध होती है। परीक्षा-युक्ति: सहभाज्यता और दोनों संख्याओं के सम होने को देखकर तुरंत 2 को उभयनिष्ठ भाजक जाँचें। / For coprime numbers, \(\gcd(m,n)=1\). However, if both \(m\) and \(n\) are even, then 2 is a common divisor, so \(\gcd(m,n)\ge 2\). The greatest common divisor cannot be 1 and at least 2 at the same time; this is the contradiction that disproves the initial assumption. Exam tip: whenever both numbers are even, immediately identify 2 as their common divisor.

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यदि (m,n) सहभाज्य हैं और दोनों सम सिद्ध हो गए, तो (\gcd(m,n)) को लेकर कौन-सा विरोधाभास सही है? / If (m,n) are coprime and both are proved even, what is the correct contradiction about (\gcd(m,n))?

Correct Answer: A. \(\gcd(m,n)=1\) और \(\gcd(m,n)\ge 2\) दोनों एक साथ सत्य नहीं हो सकते / \(\gcd(m,n)=1\) and \(\gcd(m,n)\ge 2\) cannot both be true. Explanation: सहभाज्य संख्याओं के लिए \(\gcd(m,n)=1\) होता है। लेकिन यदि \(m\) और \(n\) दोनों सम हैं, तो 2 दोनों का उभयनिष्ठ भाजक है, इसलिए \(\gcd(m,n)\ge 2\) होगा। एक ही समय में महत्तम समापवर्तक 1 और कम-से-कम 2 नहीं हो सकता; यही विरोधाभास है और इससे प्रारम्भिक मान्यता गलत सिद्ध होती है। परीक्षा-युक्ति: सहभाज्यता और दोनों संख्याओं के सम होने को देखकर तुरंत 2 को उभयनिष्ठ भाजक जाँचें। / For coprime numbers, \(\gcd(m,n)=1\). However, if both \(m\) and \(n\) are even, then 2 is a common divisor, so \(\gcd(m,n)\ge 2\). The greatest common divisor cannot be 1 and at least 2 at the same time; this is the contradiction that disproves the initial assumption. Exam tip: whenever both numbers are even, immediately identify 2 as their common divisor.